立体几何专项经典例题 [例说立体几何解题中的转化策略――“补形法”] 范文.docx

立体几何专项经典例题 [例说立体几何解题中的转化策略――“补形法”] 正方体、长方体都是很基本的多面体，所含线线、线面、面面的位置关系的内容十分丰富，通过构造正方体、长方体解题，思路自然方法简捷补形法”就是指将一个几何体补成另一个几何体（如常见的补成正方体、长方体、平行六面体等），然后在所补的几何体中研究原几何体中的有关元素的位置关系及其计算方法，就其本质就是一种图形的转化思想，巧用补形法，对解决常见立体几何问题，能起到化繁为简、一目了然的作用，通过学生课后解题的反馈，笔者特意找了些补形的资料，结合近几年的高考题，来说明这种方法的常见运用，希望对学生有所借鉴 正四面体补成正方体 例1、一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）如图1） 解：将这个正四面体补成一个正方体，已知条件中 四个顶点所在的球面就是这个正方体的外接球， 由题设知正方体的棱长为1，所以有， 所以，S = 所以球的表面积为 例2、正三棱锥的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点 ，那么异面直线EF、SA所成的角等于（ ）度 与例1一样，补成正方体后（如图2），知道E、F分别为正方体上下底面中心，EF//GA ,所以EF、SA所成的角就是GA与AS所成的角，即为45°。

由此可见，把正四面体补成正方体不但便于求距离，还便于求角 三条侧棱两两垂直的三棱锥可补成正方体或长方体 例3、如图3，已知球O的面上有四个点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC,DA=AB=BC=,则球O的体积等于（ ） 因为AD、AB、BC是三条两两垂直且相等的棱，所以可以补成以这三条棱为侧棱的正方体，CD就是所要找的对角线，及外接球的直径所以球的体积为=若AD、AB、BC的长度不相等，但互相垂直可以补成长方体 例4、如图4，在底面是梯形的四棱锥S-ABCD中，， SA平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=, 求四棱锥S-ABCD的体积；（2）求平面SCD与平面SBA 所成二面角的正切值 解：延长AD到E，使DE=AD，以AE、AB、AS为棱构造棱长为 1的正方体（ 如图5），则有 （1） (2)延长CD、BA相交于F，连接SF，已知SF// ,且SF 为平面SAB和平面SCD的交线又由已知易证 平面SBC，所以SF平面SBC，所以为 平面SCD与平面SBA所成二面角的平面角在 中，SB=，从而得=. 三、有三个平面两两垂直的几何体可补成长方体或正方体 例5、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则+的最大值为（ ）。

由于三个投影面两两垂直，故可以把它补成一个长方体，这样三条投影就成了长方体的面对角线，而这已知的一条棱长成了长方体的对角线，一个抽象的三视图问题就转化为我们熟悉的长方体的问题了，再利用基本不等式的知识，问题就迎刃而解了 解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算如图6，设长方体的长宽高分别为，由题意得，， 由此解得，又因为， 解得，所以， 当且仅当时取等号，即+的最大值为4. 四、对棱相等的三棱锥补成长方体 例6、四面体SABC的三组对棱分别相等，且依次为，则四面体的体积是( ). 分析：四面体的三组对棱相等，联想到长方体中相对面的面对角线长度相等，从而，构造长方体 解：如图7，将四面体SABC补成一个长方体，设长宽高分别为，则有： ，解得：，即，所以== 补形法的思想即是图形间的相互等价转化，是一种化归的思想，本文通过几种常见的补形法的介绍，旨在让学生面对形形色色的几何体问题，多一种解决问题的途径我们可以进一步认识到，要较好的使用补形法，往往与分割法是分不开的，平时应有意识地锻炼学生的分割思想，比如在一个正方体、长方体中如何得到正四面体、对边相等的三棱锥等常见的几何体。

只有经常训练这样的逆向思维，才可以灵活地解诀决立体几何中的角、距离和体积等问题 4。