中学趣味数学-巧分乳酪题型归纳.doc

中学趣味数学:巧分乳酪题型归纳 乔记餐馆虽说吃食不算最好，但却以美味乳酪而远近闻名块块乳酪状如圆盘，绕有风趣一刀下去，就把一块乳酪一切为二连切两刀，不难将其分成四块，三刀则切成六块一天，女招待罗西请乔把乳酪切成八块乔：好，罗西很简单，我只要这样切四刀就成了罗西把切好的乳酪往桌子上送时，忽然悟到乔只需要切三刀便可以把乳酪分成八块罗西想出了什么妙主意？ 罗西豁然开朗，悟到圆柱形乳酪是一个立体图形，可以在中线处横截一刀将其一切为二如果允许移动切开的部分，那么连切三刀也行可以把第一次切开的两块迭放在一起，切第二刀成四块，再把四块跌放在一起，最后一刀切成八块罗西的解法是如此简单，几乎可以说是平凡的然而它给人以明确的启示：对于有意义的切分问题，可以用有限差分演算进行研究并用数学归纳法加以证明有限差分演算是发现数字序列普通项公式的有力工具今天，数字序列日益引起人们的兴趣，因为它具有极其广泛的实际应用范围，还因为计算机能够以极快的速度执行序列的运算 罗西第一次切乳酪的方法是在乳酪顶面的若干中线同时切数刀乳酪具有如同薄饼那样平坦的顶面让我们来观察一下，根据在一张薄饼上切数刀的过程，能够生成一些什么数字序列。

假如沿着薄饼若干中线同时切数刀，显然，同时切n刀至多可以切出2n块 若在其边沿为一条简单闭合曲线的任意平面上同时切下n刀，这种方法所切成的块数，是否最多也是2n块呢？否可以随意画出许多既非凸面，并且形状各异的平面，即使一刀也可切成你所希望的块数能否画出一种图形，仅切一刀便可以切出任何有限数目的全等的块？若能办到，这种图形的周长应具有什么特性，才能确保只需要一刀便可以切成全等的n块？若不同时进行切分，薄饼的切分将更为有趣你很快会发现：仅当n〉=3时，切n刀方可切成不止2n块 这里，我们并不考虑所切成的块是否全等或面积相同当n=1，2，3，4时，可以切成的最多块数分别是2，4，7，11这一大家所熟悉的序列是根据下列公式求得的： 1+n（n+1）/2 其中，n是所切的刀数此序列的前10项（n自0开始）是1，2，4，7，11，16，22，29，37，46 请注意，第一行差分是1，2，3，4，5，6，7，8，9第二行差分是1，1，1，1，1，1，1，1，1， 这强烈地暗示着此序列的普通项是一个二次项 为什么说强烈暗示呢？因为虽然可以用有限差分演算找到一个公式，但是并不能保证该公式对于无限序列也成立。

这一点尚需证明在薄饼公式这一例子中，不难通过数学归纳法做出一个简单的证明 从这点出发，你可以发现大量的引人入胜的研究方向，其中有许多将导致非同寻常的数字序列，公式以及数学归纳法证明这里有一些问题可供你作为初步尝试采用下列各种方法，最多可以切成几块？ 1在马蹄形的薄饼上切n刀在球形或罗西所切的那种圆柱形乳酪上切n刀用切小圆甜饼的刀在薄饼上切n刀在状如烛环状（即中心有一个圆孔）的薄饼上切n刀在油炸圈（圆环）上切n刀 关于以上这些问题，假设切分是同时进行的，若改成连切方式，并且允许重新安排切开的部分，其答案如何变化？。