柯西收敛原理与数项级数的概念PPT课件..ppt

数学分析II第十章 无穷级数1 柯西收敛原理与数项级数的概念生物数学教研室1. Cauchy收敛原理定理 1 (Cauchy收敛原理)设 是一个序列,则 有极限的充要条件是:当 时,有定理 2 (函数的Cauchy收敛原理)Cauchy序列设 在 的一个空心邻域内有定义,则当 时有极限的充要条件是:当 时,有2. 数项级数及其敛散性的概念表达式 称为一个无穷级数.通项对于给定的级数 ,称级数的前 项之和为级数的部分和.收敛,且称 为这个级数的和,记作收敛判别法(否则发散)若部分和序列 有极限 ,则称级数例 1无穷级数收敛性举例vKoch 雪花做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”观察雪花分形过程设三角形周长为面积为第一次分叉：周长为面积为依次类推第二次分叉：周长为面积为第三次分叉：周长为面积为周长为面积为第 次分叉：于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）例 2讨论等比级数 ( 为常数) 的收敛性.:当 时级数发散,当 时级数收敛.例 3是否收敛.若收敛,求其和.判断级数例 4(书上无!)证明:即定理 3:设 为给定的一个无穷级数,则该级数收敛 的必要条件是: 其通项趋于零,即(当 ).定理 4:级数 收敛的充要条件是: 当 时,有例 5证明:调和级数 是发散的.证明:( 一般取特殊数)(说明前面的必要条件不充分)3. 收敛级数的性质v 若 与 都是收敛的,并分别收敛于 及 , 则级数 也收敛,并收敛于v 若级数 收敛于 ,则对任意常数 ,级数 也收敛,并收敛于v 设有两级数 与 .若存在一个 ,使得 当 则两个级数敛散性相同.v 将收敛级数的项任意加括号所成的新级数,仍然收 敛到原级数的和. (反之不成立!)1. 级数收敛与否,与前有限项的取值无关.2. 设 收敛, 发散,则 一定发散. 设 发散, 发散,则 不一定发散. 例如: 发散, 发散.Remark:判断级数 是否收敛;若收敛,求其和.思考题思考题答案故级数收敛,其和为本节小结v Cauchy收敛原理v 数项级数及其敛散性的概念v 收敛级数的性质v 本节可以判别收敛的方法。