高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程课件新人教A版选修21.ppt

第二章　§2.4　抛物线2.4.1　抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一　抛物线的定义思考1　　平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？连接两定点所得线段的垂直平分线.答案思考2　　平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？一条直线.答案思考3　　到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？抛物线.答案梳理梳理(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1).准线相等焦点知识点二　抛物线的标准方程思考　　抛物线的标准方程有何特点？(1)以方程的解为坐标的点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于 .答案梳理梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)题型探究类型一　抛物线的定义及理解￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿设动点M(x，y)，上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x＋4y－12＝0的距离，所以动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线.A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对答案解析设动点Q(x′，y′)，则有x′＝x＋y，y′＝xy，又有x2＋y2＝1，即(x＋y)2－2xy＝1，所以x′2－2y′＝1，故Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是抛物线.(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2＋y2＝1上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是_______.(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)答案解析抛物线抛物线的判断方法(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离.(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.反思与感悟跟跟踪踪训训练练1　平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.解答￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿类型二　抛物线标准方程及求解命题角度命题角度1　抛物线的焦点坐标或准线方程的求解　抛物线的焦点坐标或准线方程的求解答案解析根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程.反思与感悟因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，跟跟踪踪训训练练2　(1)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝___；准线方程为_______.2x＝－1答案解析焦点坐标为(10，0)，准线方程为x＝－10.(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.①y2＝40x；解答②4x2＝y；解答③3y2＝5x；解答④6y2＋11x＝0.解答左顶点为(－3，0)，∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.命题角度命题角度2　求解抛物线的标准方程　求解抛物线的标准方程例例3　根据下列条件分别求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；解答设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.解答抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程.(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.反思与感悟设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，抛物线的焦点坐标为(－2，0)，准线方程为x＝2.跟跟踪踪训训练练3　已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.解答类型三　抛物线在实际生活中的应用例例4　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解答反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.跟跟踪踪训训练练4　喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？解答如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，所以管柱OA的长为1.8 m.当堂训练答案解析A.y＝－1 B.y＝－2 C.x＝－1 D.x＝－2√√22334455112.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为A.4 B.－2 C.4或－4 D.12或－2由题可设抛物线的标准方程为 x2＝ － 2py(p>0)，由定义知点 P到准线的距离 为 4， 故 ＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝ － 8y.将 点 P的坐标代入 x2＝ － 8y，得m＝±4.答案解析√√22334455112233445511因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 ＝1，p＝2.3.若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝___.2答案解析4.若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝_____.2233445511答案解析5.已知M为抛物线y2＝4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2，3)，则|MN|＋|MF|的最小值为_____.答案解析2233445511规律与方法3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.。