第三章导数及其应用(精).doc

第三章 导数及其应用3.1 变化率与导数变化率问题自主探究学习能够通过对日常实例的分析， 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程 . .会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度 .1. 平均变化率： 已知函数 y=f(x)，令 x= x2x1 ， y f (x2 )f (x1) ，则当 x0 时，比值 f (x2 )f (x1) =y ，称作函数 f(x)从 x1 到 x2 得平均变化率 .x2x1x2. 瞬时速度：物体在某一时刻的速度.名师要点解析要点导学平均变化率是本节中的重要概念，求函数平均变化率的步骤是：（ 1）求自变量的增量x= xx0 ，函数的增量yyy0f ( x)f ( x0 ) f (xx)f ( x0 )（ 2）求平均变化率yf (x0x)f ( x0 ) ，要注意x、 y 的值可正、可负，但xxx 0 ，y 可为零，若函数f(x)为常值函数，则y =0【经典例题】【例 1 】已知质点 M 按规律 s=2t2+3 作直线运动 (位移单位： cm,时间单位： s),(1) 当 t=2， t=0.01 时，求s;t(2)当 t=2， t=0.001 时，求s;t(3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度【分析】 利用平均变化率的求解步骤来解决问题 .【解】：∵s s(t t) s(t)t t2(t t )2 3 (2t 2 3)t=4t+2 t,∴ (1)当 t=2， t=0.01 时，s=4×2+2 ×0.01=8.02 (cm/s).t(2)当 t=2， t=0.001 时，1s=4×2+2 ×0.001=8.002(cm/s).ts(3) v limlim (4t+2t)=4t=4×2=8(cm/s).x 0 tx 0s 即平均速度，当【点拨】 Δs即位移的改变量，t 即时间的改变量，t 越小，求出t的 s 越接近某时刻的速度 .t【例 2】 (2004 年陕西省高考模拟试题)某一物体的运动规律为s=t3 -t2+2t+5( 其中 s 表示位移， t 表示时间，单位：s).则物体在 2s 时的瞬时速度为 _____________.【分析】 Δs即位移的改变量，t 即时间的改变量，s 即瞬时平均速度t【解】s( 2t )3(2t ) 22( t 2) 5 13 ( t) 35( t ) 210 tttt=( t)2+5·Δt+10.∴当t→0时，limslim ( t 2+5·Δt+10)x 0tx 0=10,即为 t=2 时的瞬时速度 .【点拨】 解题时要注意式子的整体代入，不要有所遗漏 . 导数的概念自主探究学习理解并掌握导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法 .导数：一般地，函数y=f(x) 在 xx0 处的瞬时变化率是limf (x0x)f ( x0 )=x0xy. 我 们 称 它 为 函 数 y=f(x)在x x0 处 的 导 数 ， 记 作 f′(x或f ′(x0) ， 即lim0)x 0 xf′(x0)= lim0f ( x0x)f ( x0 ) .xx对导数的定义要注意两点：第一：x 是自变量 x 在 x0 处的该变量，所以x 可正可负，但 x 0 ；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量之比的极限值，因此它是一个常数而不是变数 .名师要点解析要点导学函数在某点的导数即为函数在该点的瞬时变化率，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数.如果 f(x)在开区间 ( a,b)内任一点 x 导数都存在，则称 f(x)在区间 (a,b)内可导 .这样，对开区间 (a,b)内每一个值 x ，都对一个确定的导数f′(x)，于是在区间 (a,b)内 f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y=f(x)的导函数，记为f ′(x).求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的方法是：(1)求函数 y=f(x)的增量0+ x)-f(x0);y=f(xyf ( x0x) f ( x0 )(2)求平均变化率x;x2y(3)取极限，得函数 f′(x0)= lim .x 0 x【经典例题】【例 1】求函数 y=x2 在点 x=1 处的导数【分析】 ①求函数增量y;②求函数的变化率yyx;③求极限 lim.x)2-12x 0 x【解】y=(1+2=2·Δx+( x) ,∴y2x( x) 22x .xx∴limylim (2)2limx =2+0=2.xxx 0x0x 0∴ y′|x=1=2.【点拨】 应用求函数在某一点的导数的步骤进行求解 .【例 2】已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f ′(-1)=4 ，求 a 的值 .【分析】 这道题函数 f(x)中含有字母 a,已知 f′(-1)=4, 那么先要把 f′(-1)用 a 表示出来，这样才能求出 a 的值 .【解】y=a(-1+ x)3 +3(- 1+ x)2+2-［ a(-1) 3+3(-1) 2+2 ］ =a· (x)3 +(3-3a)( x)2+(3a-6) x.∴ya (x) 33(1 a) ( x) 23( a 2) x2xx=a· (x) +(3-3 a) ·Δx+3 a-6.∴ limylim ［ a( x)2+(3-3 a)x+3a-6］ =3a-6.x 0xx 0∴ f′(-1)=limy=3 a-6.x 0 x又∵ f′(-1)=4,10∴ 3a-6=4.∴ a .3故所求 a 的值为 10 .3【点拨】 利用导数定义先求导数，然后代入再求 a 的值 .导数的几何意义自主探究学习了解导数的几何意义，函数 y=f(x)在一点处的导数就是曲线 y=f(x)在这点处的切线的斜率；了解导数与切线斜率的关系 .1.导数的几何意义k=tanα=f′(x0)3图 3-4函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义， 就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率 .曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0).切线方程可表示为 y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).2.可以利用导数求曲线的切线方程,方法：①求出函数 y=f(x)在点 x处的导数 f′(x00).②得切线方程 y-f(x0)=f′(x0)( x-x0).特例：如果曲线 y=f( x)在点 P(x0， f(x0 ))处的导数不存在，就是切线平行于y 轴，这时根据切线定义，可得切线方程为x=x0 .名师要点解析要点导学学习了导数的几何意义后， 可以知道， 由曲线在一点处的导数能够知道曲线在这点处的切线的特征，反过来，由曲线在一点处的切线斜率，借助图象，能够知道曲线在这点处的导数的特征 .导数与切线的关系 .① f′(x切线与 x 轴正向的夹角为锐角 .0)>0,② f′(x切线与 x 轴正向的夹角为钝角 .0)<0,③ f′(x0)=0，切线与 x 轴平行 .④ f′(xy 轴平行 .0)不存在，切线与【经典例题】【例 1】曲线 f(x)= x3+2x+1 在点 M 处的切线的斜率为2，求 M 的坐标【分析】 求 f(x)的导数 f′(x)，根据斜率为2，先求出 M 的横坐标，再代入到f(x)中得到纵坐标 .3，【解】 ∵ f(x)=x+2 x+1∴ f ( x)limf ( xx)f ( x)x0xlim( xx)32(xx)1( x32x 1)x 。