量子力学讲义第8910章.doc

第三篇 对称性与不变性对称性的重要意义：伽利略变换下的不变性→牛顿力学的基石之一 洛仑兹变换下的不变性→相对论的基石之一对称性←→守恒律（量）21世纪的重大问题之一：理论越来越对称，实验越来越多地发现不对称~ “矛盾”？！（参见李政道《物理学的挑战》）本篇主要内容：1、转动对称性问题~自旋与角动量；2、粒子交换对称性问题~全同粒子问题；3、时空交换对称性问题~对称性与守恒律问题第八章 自旋与角动量8.1 电子自旋1925年实验提出→1928年相对论波动力学自动从理论上引入量子力学自旋 ~ 描述微观粒子特征的基本物理量一、 关于自旋的实验事实（原子物理已讨论）① 纳黄线的精细结构；②复杂（反常）塞曼效应；③斯特恩-盖拉赫实验→为了解释实验现象，引入新的自由度（在内禀空间中）二、乌伦贝克-哥德斯密特假设1、 每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上（取作z轴）的投影只能取两个值 2、 每个电子的自旋磁矩与自旋角动量的关系为 自旋磁矩与自旋角动量的比值称电子自旋的回转磁比率： ~ 朗德因子。

与轨道角动量的回转比率比较： / ~ 朗德因子，知注意：轨道角动量有经典对应 ~ ，自旋角动量没有经典对应如果设想为经典自转→违背相对论自旋是内禀自由度（对经典讲，是全新的概念）8.2 自旋算符与自旋波函数问题：自旋算符如何定义？自旋如何描述？基本思路 ~ 由对易关系定义算符无经典对应）已知“轨道”： 一、自旋算符的对易关系及自旋算符的本征值定义： 实验表明：类比： ~角量子数有 ~自旋量子数二、泡利算符的对易关系及泡利算符的本征值令 ~泡利算符 反对易关系： 易知 三、自旋算符在表象的矩阵表示表象中 现在求： 令 ①： ③： ， 取最简形式，有 这样自旋算符的矩阵表示就全部求出： 相应的泡利矩阵为： 四、电子自旋波函数取-表象：有 即， 取有 ，构成正交归一完备集任一自旋波函数可以展开成 其中，~ 电子自旋向上的几率；~电子自旋向下的几率归一化要求有 。

引导学生自学教材P290-293的例题1-3例：教材P294 例4只讲思路，不讲计算细节） 求的本征函数和本征值求该本征态中的可能值、相应几率和平均值解： 本征值方程为 由久期方程 将代入方程求a，得 由归一化条件，得 将用展开 ，的几率；的几率同理讨论的相关问题作业：习题8.2、2，3，4，68.3 泡利方程 磁共振（重点讲清思路，不推导细节）一、考虑自旋后的电子波函数 将用展开，系数为的函数：二、考虑自旋后的力学量算符一般形式： 三、泡利方程将有电磁场的S-方程推广到包含自旋的情况自旋磁矩 ~ 泡利方程四、用分离变量法求解泡利方程令 设 ~定态关于，前面已经讨论，本章注意力在自旋问题）五、顺磁共振和核磁共振1、自由电子在均匀恒定磁场中的运动：~ 守恒，电子的自旋状态要发生变化（高能态低能态），必然要与外界交换能量2、再加上正弦场： 令 ，由可得 3、电子自旋共振： 若t=0时，电子处于自旋向下态，即 当外场（称为拉莫频率）时，有此式表明，当 时，电子自旋向上的几率为1，自旋向下的几率为0比较： → → z轴反转，能级跃迁。

→ 可见，在半周期，与外界交换能量这种在静磁场作用下，电子的磁能级分裂，并在弱交变磁场的作用下所引起的共振吸收和共振发射的现象，称为电子自旋共振可用类似的方法讨论核磁共振（自学教材或参考有关文献）8.4 角动量算符的基本性质（一般性讨论 ~ 代数法的实例）一、角动量算符的定义式： 二、角动量算符的本征值谱 设 1、引入新算符一系列对易关系 ~ 见教材P307 （9）（10）（11）由此可得2、的本征值为① 设m的上限为j，则 ② 相邻的： 可见 是的本征矢，本征值为，即有 同理有 个3、的本征值为①∵j为m的最大值，将作用于，并利用，有②j的取值范围：设m有N个值，且已知 ，可见，j取零、整数和半整数如轨道角动量j=l，电子自旋角动量三、表象中角动量的矩阵表示已知 问题： 由 （1） （2）的非零矩阵元为 对（1）式两边取共轭：，两边同乘以（1）式：，取实部 非零矩阵元 ，取共轭 。

再利用与的关系，得到非零矩阵元：，作业：习题8.3、1，2，4；习题8.4、38.5 两个角动量的相加一、总角动量算符及其对易关系二、总角动量的本征值与本征矢1、无耦合表象与耦合表象 无耦合表象：以的共同本征态为基矢，记，有 耦合表象：以的共同本征态为基矢，记，有2、两种表象基矢之间的关系 ~ C-G系数 将用{}展开 ~ 给定： ~ 称为C-G系数，它是由“无耦合表象”到“耦合表象”的么正矩阵元只要知道了C-G系数，就可以建立起两种基矢的关系三、C-G系数的求法及应用1、C-G系数不为零的条件（我们只给出结果，证明见教材）①；②2、C-G系数的计算，C-G系数表（计算非常复杂，实用中可直接查表~略）8.6 光谱的精细结构耦合：能级分裂~精细结构（同样的n,l，能级有两个）8.7 复杂（反常）塞曼效应弱磁场中：分裂数不是三个，间隔也不尽相同~复杂（反常）塞曼效应8.8 自旋单态与三重态一、总自旋角动量及其对易关系对于电子，二、的共同本征态取{}为力学量完全集：，的共同本征态有4个：，取{}为力学量完全集，显然，都是的本征态，本征值分别为。

问题是，它们是否是的本征矢？①是的本征矢证： 而 ， ， 同理可证明 由 ，记的共同本征态为，则②不是的本征矢（自证）但可以把的这两个本征态叠加，构成的本征态：令 ，要求 ，可得由归一化条件 → 小结列表的共同本征态 S 1 1 1 0 三重态（对称） 1 -1 0 0 单态（反对称）作业：习题8.5、4，5；习题8.8、1，2，3第九章 全同粒子9.1 全同性原理 全同粒子体系的波函数一、全同粒子与全同性原理全同粒子：固有（内禀）性质（质量，电荷，自旋，……）完全相同的粒子量子力学中，全同粒子不可区分（经典~可用轨道区分）→全同性原理： 在全同粒子中，两全同粒子相互交换不改变体系的状态“全同性”不只是一个抽象的概念，它是一个可观测量~见后面的讨论在量子力学中的粒子，要么“全同”，要么“很不同”二、的交换对称性交换算符对两粒子体系，如氦原子中的两个电子：，显然，具有交换不变性~交换对称性。

推广到一般情况~N个全同粒子组成的体系，具有交换不变性~交换对称性 → 是一个守恒算符三、波函数的交换性设 描述N个全同粒子组成的体系 由全同性原理知与描述同一状态，即 即交换对称性→全同粒子体系的波函数对粒子交换具有一定对称性： ~对称波函数；反对称波函数 守恒→这种对称性不随时间而变化四、波函数的交换对称性决定于粒子的自旋实验表明： 自旋为的半整数倍 ~ 费米子→波函数是反对称的；自旋为的整数倍 ~ 玻色子→波函数是对称的五、全同费米体系的波函数 泡利不相容原理先以两粒子为例 ~忽略相互作用，如何由单粒子波函数构成体系的波函数？ ~ 有交换简并问题：能用作为体系波函数吗？否！不满足反对称要求，必须反对称化：若两粒子处于同一状态，即 ~ 泡利不相容原理（1925）可推广到N个粒子组成的体系 ~ 见教材：繁而不难，这种表述不便实际应用将采用“二次量子化”处理 ~ 用“粒子数表象”因全同粒子体系 ~ 只数“数”，不标粒子坐标（不可区分）六、全同玻色子体系的波函数以两粒子为例 ~ 波函数要对称化。

1、 当时：2、 当时：推广到N个粒子体系的波函数请自学教材（略讲） ~ 数学的排列组合问题七、全同粒子体系的总波函数忽略自旋-轨道耦合：波函数的交换对称性总波函数 空间波函数 自旋波函数费米子 反对称 对称 反对称 反对称 对称 玻色子 对称 对称 对称 反对称 反对称对二电子体系，总波函数的四种形式见教材P345引导同学们自学教材中的例题 ~ 重点是P349 例2 ~ 如何构成总波函数例：教材习题9.1、5 ~ 说明“全同性”是可以“观测”的解：① 没有交换对称性两粒子的波函数可表为：令，上式可化成 ~ ，略去与本题无关的质心运动部分，相对运动部分的波函数为→在的球壳中找到另一个粒子的几率为~ 几率密度② 交换反对称波函数这样，反对称的相对运动波函数可表为由此可算出 ③ 交换对称波函数类似可以求得。