信号与系统第二十六讲.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑信号与系统第二十六讲 第六章信号的空间分析 .根本概念(6.1和6.2节内容) 信号与多维矢量空间 线性(矢量)空间 内积(Innerproduct)空间线性赋范空间 信号能量与矢量(范数)对应 内积运算与正交、相关概念的联系 1 范数(Norm)(p318) 矢量x=(x1,x2......xN)(N维)一般处境下,二阶范数为:x=[∑x ∞ 2 n= ∞ 2n ∞ ] 12 与此对应,在连续信号空间x=[x(t)dt] ∫ ∞2 其平方表示信号的能量 2 12 在二维空间中x2=x+x→即矢量之长度内积(点积) 研究两矢量相对位置之关系(对应两信号波形之相对关系) 二维矢量空间之关系(推导见p321面) 2 2122 xx=(x1,x2)y=(y1,y2)夹角 1－ 2 y1 2 y2 cos( 1 2)=cos 1cos 2 sin 1sin 2 x2y2x1y1 .＝2.221/2221/221/2221/2 (x1+x2)(y1+y2)(x1+x2)(y1+y2) x1y1x2y2 ＝2.21/2221/2 (x1+x2)(y1+y2) 3 x1y1+x2y2=x2y2cos( 1 2)x 此式反映了两矢量之间的相对位置的“校准”处境。

x1y1+x2y2为二维矢量的内积 y1 2 y2 两矢量夹角90cos( 1 2)=0内积为零两矢量夹角0cos( 1 2)=1内积为最大值 多维处境内积符号及表达式 离散:x,y=∑xiyi=xy T i=1∞ N 连续:x.y=∫ ∞x(t)y(t)dt 4 柯西－施瓦慈（Caycy Schwarz)不等式 x,y≤x,xy,y 内积平方小于等于各自范数平方之积 2 x,y 对于二维:=cos( 1 2) x2y2 x,y 1≤≤1 x2y2 x,y ≤1 x,xy,y 2 内积空间,信号能量受限 5 6.3-6.4信号的正交函数分解 正交矢量 正交函数 正交函数集 帕塞瓦尔定理 6 一、正交矢量 矢量：V1 和 V2 加入如下运算， 是它们Ve的差，如下式： V1 c12V2=Ve 122 122 7 122 V1V2cosθV1.V2 c12V2=V1cosθ== V2V2 V1.V2 c12=2 V2 c V2彼此接近的程度12表示 V1和 当 ， 完全重合，那么VV随夹角增大， c12减小； 1 2 θ=0,c12=1 o当 V2相互垂直θ=90,c12=0， V1和 8 V=Vx+Vy V=V+V+V9 二维正交集 三维正交集 二、 正交函数 f1(t)≈c12f2(t)(t1tt2) t2122 ε=[f(t) cf(t)]dt1122∫(t1 t2)t1 2dε令那么误差能量最小 ε=0 dc12 10 2 t2d 12[f(t) cf(t)]dt=0 1122∫dc12 t2 t1t1 t2 t2d12 f1(t)dt 2∫f1(t)f2(t)dt ∫t1 tt2 t1 dc12 +2c12 ∫ t2t1 t2t1 f2(t)dt=0 2 解得 c12 ∫= f1(t)f2(t)dt t2t1 ∫ f(t)dt 11 2 2 正交条件 若c12=0,那么f1(t)不包含f2(t)的分量,那么称正交。

正交的条件： ∫t t2 1 f1(t)f2(t)dt=0 12 例：f(t)= +1 (πt2π) 1 试用sint 在区间（0，2 π）来近似f(t) (0tπ) - 13 解： c12= 2π f(t)sintdt 2π0 2π1π4 =[∫sintdt+∫( sint)dt= ππ0π ∫ sintda 2 4 f(t)≈sint π 14 例：试用正弦sint 在（0，2 π）区间内来表示余弦cost鲜明 ∫ 所以 2π costsintdt=0 c12=0 说明cost 中不包含 sint 分量，因此cost 和 sint 正交. 15 三、 正交函数集 n个函数 g1(t),g2(t),Kgn(t)构成一函数集，如在区间 (t1,t2)内得志正交特性，即 ∫t∫t t1 t2 gi(t)gj(t)dt=0 2 (i≠j) 1 g(t)dt=Ki 2i 那么此函数集称为正交函数集 16 任意函数由n个正交的函数的线性组合所近似 f(t)≈c1g1(t)+c2g2(t)+L+cngn(t) = ∑c r=1 n r gr(t) 由最小均方误差准那么，要求系数 得志 i c ci= ∫ t2 t1 f(t)gi(t)dt t2t1 ∫ gi(t)dt 2 1=Ki ∫ t2 t1 f(t)gi(t)dt 17 在最正确迫近时的误差能量 t21 222 ε=f(t)dt cK∑rr ∫tt2 t1 1r=1 n ] 归一化正交函数集： ∫ ε t2 t1 g(t)dt=1 1 =f ∫t2 t1 t1 t2 2i ci=∫f(t)gi(t)dt t1 2 t2 2 (t)dt ∑ n cr 2 ] 18 r=1 复变函数的正交特性 f1(t)≈c12f2(t) c12 ∫=∫ t2 t1t2t1 f1(t)f(t)dtf2(t)f(t)dt *2 *2 两复变函数正交的条件是 ∫ t2 t1 f1(t)f(t)dt=∫f(t)f2(t)dt=0 t1 19 *2 t2 *1 6.4 用完备正交集，帕塞瓦尔定理 1 22 ε=f(t)dt cK∑rr ∫t2 t1 t1r=1 2 t2 n ] limε=0 n→∞ 2 f(t)=∑crgr(t) r=1 20 ∞ {}g(t)i另一种定义：在正交集 之外再 没有一有限能量的x(t)得志以下条件 ∫ t2 t1 x(t)gi(t)dt=0 三角函数集 {cosnω1t}n→∞ {sin 复指数函数集 nω1t}n→∞ jnω1t {e} n→∞ 21 — 14 —。