角的概念的推广.ppt

角的概念的推广角的概念的推广定义定义1 1：：有公共端点的两条射线组成的有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角几何图形叫做角顶顶点点边边边边问题问题1 1：：在初中角是如何定义？在初中角是如何定义？ 定义定义2 2：：平面内一条射线绕着端点从一个位平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角置旋转到另一个位置所成的图形叫做角ABo顶顶点点始边始边　终边终边问题问题2 2：：生活中还有哪些类似的现象？生活中还有哪些类似的现象？ （（1 1）体操运动员转体）体操运动员转体720720º º，跳水运动员，跳水运动员向内、向外转体向内、向外转体10801080º º （（2 2）经过）经过1 1小时时针、分针、秒针转了多小时时针、分针、秒针转了多少度？少度？ 注：注：这些例子所提到的角这些例子所提到的角不仅不在范围不仅不在范围[0° ,360°]中，而且方向不同中，而且方向不同，所以有必要将角的，所以有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角广到任意角？  逆时针逆时针 顺时针顺时针定义定义：正角：按正角：按逆时针逆时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角负角：按负角：按顺时针顺时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角　零角：射线零角：射线不作不作旋转时形成的角旋转时形成的角任任意意角角y要点要点: 1)置角的顶点于原点置角的顶点于原点2)始边重合于始边重合于X轴的正半轴轴的正半轴终边落在第几象限就是第几象限角终边落在第几象限就是第几象限角 ⅠⅠ Ⅱ ⅢⅢ ⅣⅣxO终边终边终边终边终边终边始边始边终边终边练习：练习：判定下列角是第几象限的角？判定下列角是第几象限的角？ 30°，120°，-60°，390°， -100°， 200°，-460° 与与30°终边相同的角的一般形式为终边相同的角的一般形式为30°＋＋K·360°，K ∈∈ Zxy o30°-330°390°-330°=30°-360°=30°+1x360° =30°-1x360° … , … ,390°=30°+360° 30° =30°+0x360°与与ａａ终边相同的角的一般形式为终边相同的角的一般形式为ａａ＋＋K K ·· 360 360°°，，K ∈ ZK ∈ Z注注: : （（1 1））K ∈∈ Z（（2 2）） a a 是任意角是任意角 （（3））K·360°与与a 之间是之间是“+”号，如号，如K·360°－－30 °，，应看成应看成K·360 °+（（－－30 °）） （（4））终边相同的角不一定相等，但相终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同等的角终边一定相同，终边相同的角有无，终边相同的角有无数多个，它们相差数多个，它们相差360°的的整数倍整数倍。

例题分析例题分析 :例例1 1：在：在0 0°°～～360360°°范围内，找出与下列各角范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定是第几象限角终边相同的角，并判定是第几象限角 （（3））－－950°08 ′．．（（1））1110°；； （（2））－－900°；；∴∴与与－900°角角终边相同的角是终边相同的角是1 180 °角，角，(2)∵∵－900°=180°－3×360 °它是第它是第二象限的角；象限的角；解：解：∴∴与与11101110°角终边相同的角是角终边相同的角是3030°角，角，它是第三象限的角；它是第三象限的角；(1)∵∵1110°=30°＋3×360°(3) ∵∵－950 °08′=129°52′－3×360°∴∴与与－－950 °08′角终边相同的角是角终边相同的角是129°52′，它是第二象限的角，它是第二象限的角; 练习：练习：（1 1））一一角角为为3030°°，，其其终终边边按按逆逆时时针针方方向向旋旋转三周后的角度数为转三周后的角度数为 （（2）写出与－）写出与－210°角终边相同的角角终边相同的角 ．． 在在0～～360°范围内与范围内与－－210°角终边相同的角是角终边相同的角是 。

（（3）集合）集合M=﹛α∣ ∣α＝k·90°,k∈Z﹜中，各角的终边都在（中，各角的终边都在（ ）） ．． A．．x轴正半轴上轴正半轴上 B．．y轴正半轴上轴正半轴上 C．．x轴或轴或y轴上轴上 D．．x轴正半轴或轴正半轴或y轴正半轴上轴正半轴上例例2：写出终边在：写出终边在y轴上的角ａ的集合轴上的角ａ的集合 解：终边在解：终边在y轴的正半轴上的角的集合为轴的正半轴上的角的集合为 ﹛ａａ︱︱ａａ=k·360°+90°,k∈z﹜终边在终边在y轴的负半轴上的角的集合为轴的负半轴上的角的集合为﹛ａａ︱︱ａａ=k·360°+270°,k∈z﹜终边在终边在y轴上的角的集合为轴上的角的集合为﹛ａａ︱︱ａａ=k·180°+90°,k∈z﹜ 例例3:3:写出与下列各角的终边相同的角的集合写出与下列各角的终边相同的角的集合S,S,并把并把S S中适合不等式中适合不等式－－360360°°≤β ≤β ≤ 720720°° 元素元素β的写出来：的写出来：（（1））60°；（；（2））－－21°；（；（3））363°14′解：解：﹙1﹚与与60°终边相同的角的集合是终边相同的角的集合是 S=﹛β︱︱β=k·360°+60°,k∈z﹜ ﹙2﹚与－与－21°终边相同的角的集合是终边相同的角的集合是 S=﹛β︱︱β=k·360°－－21°,k∈z﹜ 在在－360°≤β ≤ 720°范围有范围有: －－300 °, 60 °, 420 °在－在－360°≤β ≤ 720°范围有范围有: －21 °, 339 °, 699 °﹙3﹚与与363°14′终边相同的角的集合是终边相同的角的集合是 S=﹛β︱︱β=k·360°+363°14′,k∈ ∈z﹜﹜ 在－在－360°≤β ≤ 720°范围有范围有:－－356 °46′, 3°14′, 363°14′（（1）请用集合表示下列各角）请用集合表示下列各角;①①0°～～90°间的角间的角 ②②第一象限角第一象限角 ③③锐角锐角 　　　　　　　　　　　　④④小于小于90°角．角．练习：练习：（（2）分别写出：）分别写出：①①终边落在终边落在x轴负半轴上的角的集合；轴负半轴上的角的集合；②②终边落在终边落在y轴上的角的集合；轴上的角的集合；③③终边落在第一、三象限角平分线上的角终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；的集合；④④终边落在四象限角平分线上的角的集合终边落在四象限角平分线上的角的集合．．小结小结：：1.1.任意角任意角 的概念的概念正角：射线按逆时针方向旋转正角：射线按逆时针方向旋转形成的角形成的角负角：射线按顺时针方向旋转负角：射线按顺时针方向旋转形成的角形成的角零角：射线不作旋转形成的角零角：射线不作旋转形成的角1)1)置角的顶点于原点置角的顶点于原点2)2)始边重合于始边重合于X X轴的正半轴轴的正半轴2.2.象限角象限角终边落在第几象限就是第几象限角终边落在第几象限就是第几象限角3.3.终边与角终边与角ａａ相同的角相同的角ａａ＋＋k k··360360°，，k∈Zk∈Z 4 4：判断一个角是第几象限角，：判断一个角是第几象限角，方法是：方法是： 所给角所给角ａａ改写成改写成ａａ+k+k··360360°,k∈Z∈Z(0(0°≤≤ａａ≤ 360360°) )的形式的形式, ,ａａ在第几象限在第几象限就是第几象限就是第几象限的角的角。

5: 5:在在0 0°°～～360360°°内找与已知角终边相同的内找与已知角终边相同的角，角，方法是：方法是：用所给角除以用所给角除以360360°°所给角是所给角是正正的：按通常的除法进行；所给角是的：按通常的除法进行；所给角是负负的：角度的：角度除以除以360360°，商是负数，它的绝对值应比被除数，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大为其相反数时相应的商大1 1，以便使余数为正值以便使余数为正值作业：作业：课本习题课本习题4.1 14.1 1、、3 3。