分式方程竞赛题.pdf

分式方程竞赛题 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]  第一讲 分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根． 例 1 解方程 解 令y＝x2＋2x－8，那么原方程为 去分母得 y(y－15x)＋(y＋9x)(y－15x)＋y(y＋9x)＝0， y2－4xy－45x2＝0， (y＋5x)(y－9x)＝0， 所以 y＝9x或y＝－5x． 由y＝9x得x2＋2x－8＝9x，即x2－7x－8＝0，所以x1＝－1，x2＝8； 由y＝－5x，得x2＋2x－8＝－5x，即x2＋7x－8＝0，所以x3＝－8，x4＝1． 经检验，它们都是原方程的根． 例 2 解方程 224727218014xxxxxx＋－＝＋272724xxx－18＝0 解 设y＝241xxx，则原方程可化为y＋72y－18＝0 y2－18y＋72＝0， 所以 y1＝6 或y2＝12． 当y＝6 时，24=61xxx，x2＋4x＝6x－6，故x2－2x＋6＝0，此方程无实数根．  当y＝12 时，24=121xxx，x2＋4x＝12x－12，故x2－8x＋12＝0,故x2－8x＋12＝0， 所以 x1＝2 或x2＝6． 经检验，x1＝2，x2＝6 是原方程的实数根． 例 3 解方程 分析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为 25231+(3)201322xxxxx， 整理得 253201232xxxxx， 去分母、整理得 x＋9＝0，x＝－9． 经检验知，x＝－9 是原方程的根． 例 4 解方程 1625+=2736xxxxxxxx＋． 分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是 1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为 111111112736xxxx   ， 即 11=(6)(7)(2)(3)xxxx，  所以 (x＋6)(x＋7)＝(x＋2)(x＋3)． 解得x＝－92． 经检验x＝－92是原方程的根． 例 5 解方程 11111+=(1)(1)(9)(10)12x xx xxx＋＋． 分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数 1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为 111111111191012xxxxxx， 整理得 去分母得 x2＋9x－22＝0， 解得 x1＝2，x2＝－11． 经检验知，x1＝2，x2＝－11 是原方程的根． 例 6 解方程 分析与解 分式方程如比利式ab＝cd，且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为 222222(232)(232)(253)(253)=232253xxxxxxxxxxxx，  222244=232253xxxxxx， 所以 x＝0 或 2x2－3x－2＝2x2＋5x－3． 解得x＝0 或x＝18． 经检验，x＝0 或x＝18都是原方程的根． 例 7 解方程 分析与解 形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为 即226222=88xxxx． 当x≠0 时，解得x＝±1． 经检验，x＝±1 是原方程的根，且x＝0 也是原方程的根． 说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验． 像11xaxa这类特殊类型的方程可以化成一元二次方程，因而至多有两个根．显然a≠1时，x1＝a与x2＝1a就是所求的根．例如，方程1133xx，即1133xx，所以x1＝3，x2＝13． 例 8 解方程 解 将原方程变形为 22221123+=+1132xxxxxx， 设2211xxyx，则原方程变为3212332yy．  解得123y ，232y ． 当2212=13xxx时，352x ； 当2213=12xxx时，x＝1； 经检验x＝1 及x＝352 均是原方程的根． 例 9 解关于x的方程 1+=22axbxbxax． 解 设y＝axbx，则原方程变为1122yy． 所以y1＝2 或y2＝12． 由=2axbx，得x1＝a－2b；由1=2axbx，得x2＝b－2a． 将x1＝a－2b或x2＝b－2a代入分母b＋x，得a－b或 2(b－a)，所以，当a≠b时，x1＝a－2b及x2＝b－2a都是原方程的根．当a＝b时，原方程无解． 例 10 如果方程 只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根． 分析与解 将原方程变形，转化为整式方程后得 2x2－2x＋(a＋4)＝0． ① 原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即 △＝4－4·2(a＋4)＝0．  解得a＝－72．此时方程①的两个相等的根是x1＝x2＝12． （2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为 0 或2． （i）当x＝0 时，代入①式得a＋4＝0，即a＝－4．这时方程①的另一个根是x＝1(因为 2x2－2x＝0，x(x－1)＝0，x1＝0 或x2＝1．而x1＝0 是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根． （ii）当x＝2 时，代入①式，得 2×4－2×2＋(a＋4)＝0， 即a＝－8．这时方程①的另一个根是x＝－1(因为 2x2－2x－4＝0．(x－2)(x＋1)＝0，所以x1＝2(增根)，x2＝－1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根． 因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是 －72，－4，－8，其对应的原方程的根一次为12，1，－1 练习一 1．填空： （1）方程111082xx的一个跟是 10，则另一个跟是__________． （2）如果方程21=1xbxmaxcm有等值异号的根，那么m＝____________． （3）如果关于x的方程222151+=1kkxxxxx有增根x＝1，则k＝____． （4）方程11 10+=113xxxx的根是________． 2．解方程 3232453+02252xxxxxxxx．  3．解方程 332222+=211xxxxxxx． 4．解方程 2332+=+3223xxxx． 5．解方程 22222245()20()48()111xxxxxx． 6．解方程 918+=+2716xxxxxxxx． 7．m是什么数值时，方程 有根 。