从单层网络到多层网络.pdf

27卷第4期(总160期)统计物理与复杂系统研究前沿进展专题Ⅱ3从单层网络到多层网络 ——结构、动力学和功能陆君安（武汉大学数学与统计学院 430072）在 20 世纪末 , 小世界和无标度网络模型的提出，打破了人们习惯性地用随机图来描述现实中的复杂网络的传统思维，确立了复杂网络研究的标志性里程碑自然和社会中存在着大量复杂系统，如 WWW、Internet、通讯网络、电力网络、生物神经网络、新陈代谢网络、科研合作网、演员合作网络、社会关系网，等等，尽管看上去各不相同，但是它们有着惊人的相似之处，概括起来，复杂网络有以下几个主要特征：① 网络的规模巨大：现实网络的规模通常都非常大，节点数目一般在几万、几十万到几亿、几十亿 , 因此研究如此“海量”节点的网络 , 需要寻找更好的方法和模型来刻画② 稀疏性：现实网络中各个节点之间的连接通常都比较稀疏，统计告诉我们大多数真实网络的边数大约是节点数 N 的线性阶，即 O(N) 阶 , 譬如几万个节点的网络，它的边数一般在几十万、几百万，而不像全连接网络是 N 的 2 次方阶③小世界特性：现实网络的平均路径长度都是很小的，所谓“六度分离”就是说虽然世界很大，但是世界上任意两个人平均只要通过六个关系就可以认识。

而小世界的另外一个特性就是具有较高的聚类系数，它指出社会网络中一个人的朋友之间往往也是朋友，所以朋友圈是很容易形成的，这一点我们在使用中都会有体会④节点度（即节点的边数）的幂律分布特性 : 所谓网络的度分布就是网络节点具有不同边数百分比的分布，也就是随机选取网络中一个节点其度为 k 的概率最近邻网络譬如环，每一个节点的度均为 2，所以它的度分布就是一个 d“尖峰”函数而完全随机网络的度分布接近于泊松分布，即网络节点的度数差不多都在一个平均数的附近，而度数远离平均数的几乎不存在，这种完全随机网络在过去的几十年中是网络研究的主要模型到了 20 世纪末，巴拉巴希（Barabasi）等人发现了反映许多真实实际网络的幂律分布，他们在 1998 年开展对万维网研究，实测结果揭示了令人惊异的事实 :万维网是由少数高连结性的页面串连起来的，80% 以上页面的连结数不到 4 个然而只占节点总数不到万分之一的极少数节点，却有 1000 个以上的连结后来在电影演员合作网络、科学引文网络等也有类似的幂律分布特征幂律分布表示为 P(k) ～ k-g(g≥ 1)，它的提出也是复杂网络进展中最引人注目的事情它告诉我们网络节点的度数并不是都在一个平均数的附近，而是存在一部分度数非常大的节点（Hubs 节点），造成度数的极大差异，像社会上百分之几的极少数人却掌握了百分之几十甚至一半以上的财富。

最近十多年来，复杂网络研究已经成为科学和工程的前沿领域，取得许多重要的成果但是直至目前复杂网络领域大多数的研究还是集中在单个网络（或者说单层网络）而忽略了实际复杂系统中多种网络相互作用的存在，譬如包括不同的运输工具（航空网、铁路网和公路网）的交通网络，包括物种的生态网络的交互网络和食物网，包括基因调控网络、代谢网络、蛋白质 – 蛋白质相互作用网络，等等所以单层网络已经不能满足实际复杂系统研究的要求，为此，最近几年国际上提出“网络的网络 (Network of networks)”、 “多层网络（Multiplex network）”和“相互依存网络 （Multiplex Networks and Interdependent Networks）”模型，成为当今复杂网络领域最前沿的重要研究方向之一现代物理知识统计物理与复杂系统研究前沿进展专题Ⅱ4现实中大多数复杂系统的节点具有多种功能，并且相互连接和作用，而这多种功能有质的区别，不能叠加，从而就构成了多层网络下面我们先来看几个例子 图 1 是一个 3 层社会网络，3 层包括朋友网络（虚线）、家庭网络（实线）和工作关系网络（双线），这 3 种网络的边（关系）是具有不同性质的，同一个节点（人）在每一层中扮演不同的角色，因此不能把它看成单层网络。

图 1 朋友、家庭和工作关系网络 （引自 K. -M. Lee et al., Networks of Networks: The Last Frontier of Complexity, Springer (2014)）流行病传播和消息传播是复杂网络上的两大基本传播过程，已有研究大多都是独立地分析这两个单层网络的传播机理然而，实际中接触网络上的疾病传播和信息通讯网络上的关于疾病消息的传播，它们紧密相关并相互影响而过去人们研究流行病传播虽然已经建立很多模型，但是都没有考虑社会网络中关于疾病传播的信息会影响流行病的传播比如，大规模图 2 社会关系和疾病传播网络（引自 Chris T. Bauch’ et al., Science(2013)）的流行病爆发依赖于关于疾病消息的传播，尤其是流行病传播初期，个体意识到存在感染邻居将会采取措施保护自己，从而极大程度抑制了流行病传播国外科学家曾分析了社会因素对流行病传播的影响，如图2，A 是人们的社会网络，B 是疾病接触网络，C 是两层之间的相互作用网络，每一个人都是这种两层网络中的个体这种两层网络表现出极其复杂的动力学效果，人们对疫苗的接种是否有利于降低流行病的认识，会极大地影响疾病的传播，譬如一个社会知名人士说某种疫苗存在着风险，这会导致疫苗接种率的下降从而引起流行病的蔓延。

人们发现疾病接触网络上的流行病爆发会引发社会网络上的消息爆发，而消息的传播会增加疾病的爆发阈值，从而阻碍疾病的传播所以在研究疾病传播时一定要结合社会对疾病消息传播，目前信息 - 疾病耦合网络、社会 - 生物传播系统已成为一个新的研究方向,它有助于进一步揭示个人、经济和社会等方面因素在流行病传播过程中的影响机制，为流行病预警和控制提供了理论指导图 3 给出了面对一场灾难的复杂系统的有效协调响应，需要整个基础设施网络提供至关重要的电力、水利、交通、通信、食品供应等，它们相互之间紧密依赖，加上政府、管理人员、医疗、药物等的配合，表现出多层次的复杂结构这些基础设施之间有着复杂的关系，有多个连接，反馈和前馈路径，各种分支拓扑结构所以现代的可靠运行必须依赖于计算机控制系统，由数据采集与监视控制系统，以保证整个复杂系统安全高效地运作这是典型的系统的系统多层网络最典型最重要的例子应该是互联网与电图 3 面对一场灾难的复杂的系统的系统（引自 K.-M.Lee et al., Networks of Networks: The Last Frontier of Complexity, Springer(2014), 徐明明绘制）27卷第4期(总160期)统计物理与复杂系统研究前沿进展专题Ⅱ5它可以分解成层内超拉普拉斯矩阵和层间超拉普拉斯矩阵两部分：，其中层内超拉普拉斯矩阵是各个层内的拉普拉斯矩阵的直和 层间超拉普拉斯矩阵是层间拉普拉斯 矩阵和单位矩阵网、电信、金融网络的耦合网络，譬如互联网以电网为支撑，而电网又通过电信网得到指令。

电网、电信、银行全部登陆互联网，并在网上互通信息美国曾经发生过一场事故，最初是由一台计算机使一部智能染上蠕虫病毒，然后感染了另外一些智能，接着传到了美国的计算机网上，在美国摧毁了通信网络，继而使电站无法工作，停电又使交通网络陷于瘫痪这次病毒感染在不同网络之间来回传递，导致重大事故发生因此可以说，各种网络的网络、形形色色的多层网络，在我们身边已无处不在，仅限于单层网络的研究已经远不能满足现实的需要，我们必须改变目前在多层网络方面的理论、方法和技术手段方面相对匮乏的局面那么，多层网络的结构、动力学性质、脆弱性和鲁棒性等有哪些特点，比单层网络表现出哪些更为复杂的现象呢 ? 下面我们从几个方面讨论，其中大多数都是最近几年开始研究探讨的问题，有的还处于待研究状态多层网络的结构图 4 和图 5 是两层和 4 层网络示意图，每层的节点数目是相同的，但是各层有不同的拓扑结构，连接边可以是有向边或无向边、可以是加权边或无权边，而层间连接是沟通不同层的渠道，也可以是有向或无向、加权或无权所以，当层内连接和层间连接关系给定后，多层网络的结构就完全确定了我们知道，网络的结构（也就是网络各节点之间的相互作用关系）完全由网络所对应的拉普拉斯矩阵所决定。

所谓拉普拉斯矩阵，它的第 i 行第 j 列元素就是网络的第 j 个节点对第 i 个节点的作用，在无权网络中，如果第 j 个节点与第 i 个节点有连接则矩阵的第 i 行第 j 列元素为-1， 否则为0；并且保持矩阵的每一行元素之和为0这样，网络的结构就与矩阵一一对应了，而拉普拉斯矩阵在数学上这些非常好的性质，从而为研究网络提供了有力的工具研究发现网络拉普拉斯矩阵的特征值，能够反映网络的某些重要的动力学（如传播、同步等）特性下面我们来考虑一个 M 层每层 N 个节点的多重网络假设层间连接是相同的，无向全连接无自环我们称整个多网络拉普拉斯矩阵为超拉普拉斯矩阵 ，图 4 两层网络示意图（引自 S. Go´mez et al., Phys Rev Lett.(2013)）图 5 四层网络示意图（引自 A. Sole-Ribalta et al., Phys Rev E (2013)），其中上面图表示层内超拉普拉斯矩阵是各层的层内拉普拉斯矩阵的直和；中间图表示层间超拉普拉斯矩阵是层间拉普拉斯矩阵和单位矩阵的张量积；下间图表示层间的连接现代物理知识统计物理与复杂系统研究前沿进展专题Ⅱ6的张量积层间超拉普拉斯矩阵谱等于层间 拉普拉斯矩阵谱 LI的 N 重。

也就是说，层间拉普拉斯矩阵 LI的谱也是整个多层网络超拉普拉斯矩阵 的特征值这些就是分析多层网络结构和谱特性的最基本关系这些特征值一般不容易得到解析表达式，但是对于几种特殊情况是可以得到解析表达式多层网络的度分布 我们已经看到，网络的度分布对于网络来说是非常重要的那么如何刻画多层网络的度分布呢？譬如两层网络都是 SF 网络（或者随机 ER 网络、小世界网络），或者两层是不同的网络，而层间连接可以是度正相关连接（两层网络度大与度大节点相互连接）、度负相关连接（两层网络之间度大与度小节点相互连接），也可以是随机连接，如图 6 展示随机连接、正相关和负相关连接实际问题中最常见的是正相关连接，譬如在朋友关系 - 贸易网络中，往往社会关系多的人生意也做得大研究这个问题需要概率统计中的多元随机变量及其分布，联合分布函数和边缘分布函数等方法多层网络上的扩散与同步网络上的传播、扩散、同步等动力学行为是复杂网络研究的基本问题，特别是关于同步一直是人们关注的问题关于两个振子的同步现象的发现可以追溯到 1665 年荷兰物理学家惠更斯（Huygens），他发现两个钟摆不管从什么不同的初始位置出发，经过一段时间以后它们总会趋向于同步摆动 。

后来 1680 年，同样是荷兰的旅行家肯珀（Kempfer）在泰国旅行，图 6 层间连接的度相关性 （引自 K. -M. Lee et al., Networks of Networks: The Last Frontier of Complexity, Springer (2014)）在湄公河上顺流而下时看到了成千上万萤火虫同步闪光的一种奇特的生物现象：这些成群成群的萤火虫，开始时杂乱纷纭地各自闪光，后来却会变得时而同时闪光，时而又同时不闪光，非常有规律而且在时间上很准确今天，两个或多个系统的同步在核磁共振仪、信号发生器、颗粒破碎机、激光设备、超导材料和通信系统等领域起着非常重要的作用同步现象也会是有害的，2000 年 6 月 10 日当伦敦千年桥落成时，成千上万的市民和游客开始涌上大桥庆祝，逐渐地引起这座近 700 吨钢铸大桥开始发生振动，桥体的摆动偏差甚至高达 20 厘米Internet 上也有一些对网络性能不利的同步化现象例如，Internet 上的每一个路由器各自都要周期性地发布路。