高一数学：二次函数知识点归纳.docx

高一数学：二次函数学问点归纳高一数学：二次函数学问点归纳I.定义与定义表达式一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c 为常数， a0，且 a 打算函数的开口方向， a0 时，开口 方向向上， a0 时，开口方向向下， IaI 还可以打算开口大小， IaI 越大开口就越小， IaI 越小开口就越大.)则称 y 为x 的二次函数二次函数表达式的右边通常为二次三项式II.二次函数的三种表达式一般式： y=ax^2+bx+c(a，b，c 为常数， a0)顶点式： y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点 P(h，k)]交点式： y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与 x 轴有交点A(x?，0)和 B(x?，0)的抛物线]注：在 3 种形式的相互转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-bb^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x^2 的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形对称轴为直线x=-b/2a对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。

特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴(即直线 x=0)2.抛物线有一个顶点 P，坐标为P(-b/2a， (4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0 时， P 在 y 轴上;当=b^2-4ac=0 时， P 在 x 轴上 3.二次项系数 a 打算抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口;当 a0 时，抛物线向下开口 |a|越大，则抛物线的开口越小4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同打算对称轴的位置 当 a 与b 同号时(即ab0)，对称轴在 y 轴左;当 a 与 b 异号时(即ab0)，对称轴在 y 轴右5.常数项 c 打算抛物线与 y 轴交点抛物线与 y 轴交于(0，c)6.抛物线与 x 轴交点个数=b^2-4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点b^2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点b^2-4ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 X 的取值是虚数(x=- bb^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数 i，整个式子除以 2a)V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，即 ax^2+bx+c=0此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。

函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根1.二次函数 y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k， y=ax^2+bx+c(各式中， a0)的图象外形一样，只是位置不同，它们的 顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴y=ax^2(0，0)x=0y=a(x-h)^2(h，0)x=hy=a(x-h)^2+k(h，k)x=hy=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)x=-b/2a当 h0 时， y=a(x-h)^2 的图象可由抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个单位得到，当 h0 时，则向左平行移动|h|个单位得到.当 h0，k0 时，将抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个单位，再向上 移动 k 个单位，就可以得到 y=a(x-h)^2+k 的图象;当 h0，k0 时，将抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个单位，再向下 移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)^2+k 的图象;当 h0，k0 时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到 y=a(x-h)^2+k 的”图象;当 h0，k0 时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动 |k|个单位可得到 y=a(x-h)^2+k 的图象;因此，争辩抛物线 y=ax^2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般 式化为 y=a(x-h)^2+k 的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线 的大体位置就很清楚了.这给画图象供给了便利.2.抛物线 y=ax^2+bx+c(a0)的图象：当 a0 时，开口向上，当 a0 时开口向下，对称轴是直线 x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac- b^2]/4a).3.抛物线 y=ax^2+bx+c(a0)，若 a0，当 x-b/2a 时， y 随 x 的增 大而减小;当 x-b/2a 时， y 随 x 的增大而增大.若 a0，当 x-b/2a 时， y 随 x 的增大而增大;当x-b/2a 时， y 随 x 的增大而减小.4.抛物线y=ax^2+bx+c 的图象与坐标轴的交点：(1)图象与 y 轴肯定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac0，图象与 x 轴交于两点 A(x?，0)和 B(x?，0)， 其中的 x1，x2 是一元二次方程 ax^2+bx+c=0(a0)的两根.这两点间的距离 AB=|x?-x?|当△=0.图象与 x 轴只有一个交点;当△0.图象与 x 轴没有交点.当 a0 时，图象落在 x 轴的上方， x 为任何实数时，都有 y 当 a0 时，图象落在 x 轴的下方， x 为任何实 数时，都有 y0.5.抛物线 y=ax^2+bx+c 的最值：假设 a0)，则当 x=-b/2a 时， y 最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最 值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y 的三对对 应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式 为顶点式： y=a(x-h)^2+k(a0).(3)当题给条件为已知图象与 x 轴的两个交点坐标时，可设解析 式为两根式： y=a(x-x?)(x-x?)(a0).7.二次函数学问很简洁与其它学问综合应用，而形成较为简单的 综合题目。

因此，以二次函数学问为主的综合性题目是中考的热点 考题，往往以大题形式消灭。