从平面向量到空间向量、空间向量的运算.docx

知识强化一、知识概述（一）空间向量1、 空间向量的定义在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.2、 空间向量的表示方法一种用有向线段届表示，A叫作向量的起点，B叫作向量的终点；一种用a, b, c表示，也可用冬樊 表示.3、 向量的模与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用I岳I或同表 示.4、 向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点作OA = a,OB = b，则zaob 叫做向量a与b的夹角，记作与.通常我们规定：用心）孟气且（"="，当万时，向量a与b 垂直，记作alb；当或"时，向量a与b平行，记作a//b.5、方向向量与法向量若l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称屈为直线l的方向向量.若直线l垂直于平面a，那么把直线l的方向向量a叫作平面a的法向量.（二）空间向量的运算1、空间向量的加减法空间向量的加法：符合平行四边形法则或三角形法则，如：OB = 0A + AB =a + b空间向量的减法：符合三角形法则，如：ba = oa-ob加法的运算性质: （2）加法交换律：疽+舌=并，（1）加法结合律:(&+£)+(? =(3++;2、空间向量的数乘定义：与平面向量一样，实数X与空间向量％的乘积X%仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.定义的意义：当入＞0时，如与山方向相同；当入＜0时，如与 方向相反；当 入=0时，总3；求的长度是U的长度的仇|倍.数乘运算律：（1）如=心皿^氏）；（2） 疝+劲=疝+液3 +兴”=疝+兴沁/尹矗）；（3） （姒“1（扇原三田游用.3、 共线向量共线向量定理：空间两个向量%与舌W 共线的充分必要条件是存在实数X, 使得"=威.4、 空间向量的数量积空间两个向量郁的数量积是一个数，等于同囱s’S舌"记作打.两个向量数量积的性质：z、a*e =1 a I cos（L7?e\（1） ' ' * 1 ；-t- -4- -4- -4-（2） 仅Lbo争b = D；（3） |邛=脂；—¥ —H（4） ' /同恂；⑸时图沁I.数量积的运算律：（1） 交换律：新=牖；（2） 分配律:云$"） =搞十哉；（3） .说明：（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 的符号所决定.口 （2）在数量积中，若心6，且椅=。

不能推出舌=6，因为其中s’S舌）(3)在实数中，有(a-b)c = a(b・c)，但是(京茅我(溢).二、典型例题剖析例1、如图，、已知正方体ABCD-ABCD^中向点E是上底面A1C1的中心，化简aa-^-aS-^-ad⑵分析：对向量运算法则的理解是解决此类题目的关键. 解：(1淄+"+石=砥(2)aa+-aS+-a52 2= A^+^(AB + AD}二葛+：(硒+屯)=有+：丽=^44 +也占= AE.向量荫河口图所示.点评：化简向量表达式一定要观察立体图形，运用向量的运算法则，把空间向量转 化为平面向量解决.例2、如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分 别是AC、BF的中点.判断观与心是否共线？DF分析：由共线向量定理，要判断赤与商是否共线，即看能否找到x,使赤=面 成立.解：•.M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形./. MN = MA + AF + FN=-CA+AF + -FB.2 2^■：MN = MC-^CE + EB + BN = --CA + CE-AF--FB,2 2:.-ca+^f+-Jb = --ca+ce-^f--Jb,2 2 2 2「.赤=瓦+河+虱=2汹 +态+丽 =2丽鬲蹄，即赤与菰共线.点评：判定向量共线就是要找到x,使a=xb成立，要充分运用空间向量运算法则， 结合空间图形，化简得出a=xb，从而得出a与b共线.例3、如图，已知在空间四边形ABCD中，AB±CD，AC^BD.求证：ADXBC.分析:A8S = aS>c5 =\ AB |-| CD |-cos90o = 0;同理Wn AC^BD = 0,所以要证明AD Y BCM需证明AD-BC=卿可.证明：AB _LCD,:. AB^CD = 0.■: AC±BD,:.京.豆=0.■/ 15^BC =（AC + c5y（BD + DC） = AC^BD + 左.赤 + CD^BD + CD^DC=AC^DC + CD*（BD + DC） = AC^DC + CD^BC=CD^（BC + CA） = CD^BA = 0,AD LBC.点评:运用向量法证明垂直问题，依据.利用向量解决线线垂直问 题大大简化了运算过程.例4、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1, E、F分别是AB、 AD的中点，计算：I)分析：本题主要是通过数量积的定义来求解，a・b=lallblcos. 解:（y）EF^2 = -B5^BA = -\B5\^\BA\ cos <=ixl xlx cos 60° =2 4~EF^BA = ~.4—.—.1—.—1 ————(2) EF^BD = -BD^BD = -\BD |-| BD\cos =ixl xlx cos 0° =2 2/. EF^BD = -.2 1- 1- I 1- 1- I 1- b 1- 1-(3) EF»DC = - BD*DC = -\ BD |・| DC \ cos < BD, DC >2 2= lxlxlxcosl20° = -ln2 4/. EF^DC = --.4点评：向量的数量积通常是通过定义来求，但一定要注意向量夹角只与向量的方向 有关.如e«s=i2。

而不是60°.例5、如图所示，在正四面体PABC中，若E、F分别在棱PC、AB上，且\cS\_\A?\_ 1\PC\~ |aS|-3(1) 设两=瓦屈2龙=试用a、b、c表示两虱;(2) 求异面直线PF和BE所成的角的余弦值.解：(1)币=瓦+前=瓦+当届=瓦+当例-前1 —h 2 —h 2 1=-PB+ - PA = -a+-b,3 3 3 3bS = ~pS-pS = -7c-pb= -c-bQ汗妨设棱长为1,则\ a\=\b\=\c\= 1,娅=b*c =海=；, 凸3) = _;,| 矛 1= J(;o+ :琲=丰3 33 3 3易知|旬日科乎， g 同瓦\ = 一*:.异面直线所与蹄■所成的甫的余弦值为:.。