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二次根式化简求值的常用技巧陈开金二次根式（常见的有分式型，复合二次根式型，无限循环型或混合型）的化简求值，是中考及各 级各类数学竞赛中的常见题目.下面举例谈谈八种常见方法一一约分法、裂项法、取倒法、 配方法、公式法、平方法、方程法、换元法,供读者参考.一、约分法:对“分式型”代数式，分子分母都是多项式时，有时可以先分别因式分解，通过约分 达到化简目的. _ _例1化简—.—._ 21 + t14 - t15 —v10v7 -、M•3-云解：原式=-一 --.—- 7(%3 + 侦 2) —，\；5(\；3 + \ 2)布-拓（据 + 杉）7 f 5）=一^ =点-还、:3 + 十2二、裂项法:对于一些连续相加的分式型二次根式，如果拆项后能互相抵消,则可用此法.例 v'n(n +1) 1、'n xn +1所以原式= 1 —) +( —= —) + ( —= .] )v2 <2 、泠 <2003 v2004, 1 , v501=1 —. = 1 - .〔2004 1002三、取倒法:如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解，常常可先取倒再用第二 种方法解决.例3化简吊A3 十三+ 2 .v;3 + 2侦 2 +1解：设原式=0 + W2] D = X，33 + t2) + 3 2 +1)II 1则」一 = =+ ―一x <3 +、'2 v2 +1=R-，+ 切-1=、3 -1,1 \ 3 +1所以原式=一 -1 化简 —+ = = + 1 • 2 + \，'2 3*'2 + 2v'3 2004,2003 + 2003、：2004解:因为 .— .一(n +1)侦 n + nun +111x.n(n +1)( F n +1 + 0,y > 0,使得 2xy = mb,x2 + y=2^2 - 2 x 豆 x 1 +1 + 19 - 2 x 3 x 2 y‘2 x 8=2丫（ 2 -1）2 + t（3 - 2互）2=2x2 - 2 + 3 - 2切=1.五、 公式法：对于 i：a± Jb,若a〉0,b〉0,且存在k〉0,使得a2 — b = k2,则ya±i：b ="牡*■ ± 丁 ~—,这可以利 2用算术平方根的定义进行证明。

例6 化简（7 + 3y(C) x=y解：设m =1, y = ^― +—== +—,则x与y的大小关系为() c tab v'bc Vac(B) xVy(D)随a、b、c的取值变化而定1 1,n = ,k = ^^,则 x = m2 + n2 + k2, y = mn + nk + mk.vb vcLn 1 I" 1|^为m2 + n2 + k2 - mn - nk - mk = (m - n)2 + (n - k)2 + (m - k)2 ,2又因为a。

bc,从而mk,所以m2 + n2 + k2 - mn - nk - mk〉0.故m2 + n2 + k2〉mn + nk + mk,答案为（A）o例11 （十二届初二“希望杯”）化简 买 E二‘3 一的结果是2、：30 - 6\'2 + 心解：设a = t'2, b = M, c = 3,则原式=a + b - c2(abc - ac2 + a2c)a + b - c _ 1 2ac(b - c + a) 2ac1 V 62(6 12 .年级初中学科数学版本1期数内容标题二次根式化简求值的常用技巧分类索引号G.622.46分类索引描述与自学主题词二次根式化简求值的常用技巧栏目名称学法指导供稿老师审稿老师录入李桂华一校康纪云二校审核由于72 -45 = 4 = 22,所以 a=7,k=2,所以原式="7 +、： 45=：M + M='':+」23/2 血 = + .22六、 平方法：对于被开方数为和差型的复合二次之和（差）,常以退为进，先求出它的平方例7化简 也宅乂0二3 * * * * * * 1010 +1解:设原式=x，则x2 = 2主+2 = 2,10 +1所以原式=J2.七、 方程法:对于一些带……号的无限循环式的化简，通常可设原式值为x,设法建立一个关于 x的方程求解.例8化简求值\：6 +气，6 + \：6 +解:设原式=x，则x= t6 + x,两边平方得x2 - x -6 = 0, 即（x-3）（x+2）=0,取正数 x=3.。