高考数学科学复习创新方案提升版素能培优(三)利用导数研究函数的性质.docx

考情分析：在近三年的新高考卷中，利用导数研究函数性质的问题经常出现在选择、填空题中，综合考查函数的单调性、奇偶性、极值、最值、零点等知识点．考点难度2023Ⅰ卷T11抽象函数求值、奇偶性、极值点中Ⅱ卷T6知单调性求参数的最小值易Ⅱ卷T11根据极值情况判断关于参数的不等式是否成立中2022Ⅰ卷T7构造函数比较大小难Ⅰ卷T8求四棱锥外接球的体积，利用导数法求最值难Ⅰ卷T10极值、零点、切线、对称中心中Ⅰ卷T12求导法则，抽象函数的奇偶性、周期性难2021Ⅰ卷T15求最小值中考向一　利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题例1　(1)(2023·扬州三模)已知函数f(x)的导函数为g(x)，f(x)和g(x)的定义域均为R，g(x)为偶函数，f(x)－ex－sinx也为偶函数，则下列不等式一定成立的是(　　)A．f(0)＝0 B．g(0)＝0C．f(x)＜f(ex) D．g(x)＜g(ex)答案　C解析　根据题意，设h(x)＝f(x)－ex－sinx，由于h(x)为偶函数，则h(－x)＝h(x)，即f(－x)－e－x＋sinx＝f(x)－ex－sinx，等号两边同时求导可得－f′(－x)＋e－x＋cosx＝f′(x)－ex－cosx，即－g(－x)＋e－x＋cosx＝g(x)－ex－cosx，又由g(x)为偶函数，变形可得g(x)＝(ex＋e－x)＋cosx，故f(x)＝(ex－e－x)＋sinx＋c(c为常数)．对于A，由于c不确定，f(0)＝0不一定成立，A错误；对于B，g(0)＝×(1＋1)＋1＝2，B错误；对于C，设F(x)＝ex－x，则F′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，F′(x)＝ex－1＞0，F(x)为增函数，当x∈(－∞，0)时，F′(x)＝ex－1＜0，F(x)为减函数，则F(x)≥F(0)＝1，故ex＞x在R上恒成立，又由g(x)＝(ex＋e－x)＋cosx≥1＋cosx≥0，f(x)为R上的增函数，则f(x)＜f(ex)，C正确；对于D，g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，不能保证g(x)＜g(ex)成立，D错误．故选C.(2)(多选)(2024·滁州模拟)对于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　)A．f(x)在x＝处取得极大值B．若f(x)C．f()0，令f′(x)＝0，即2ln x＝1，解得x＝，当00，故函数f(x)在(0，)上单调递增，当x>时，f′(x)<0，故函数f(x)在(，＋∞)上单调递减，故函数f(x)在x＝处取得极大值f()＝，故A正确；因为f(x)f(x)＋＝在(0，＋∞)上恒成立．令g(x)＝，故k>g(x)max，因为g′(x)＝，令g′(x)＝0，解得x＝，当00，则g(x)单调递增，当x>时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，所以当x＝时，g(x)max＝g＝，则k>，故B错误；因为函数f(x)在(，＋∞)上单调递减，所以f(2)0，使得f(x1)＝g(x2)＝t成立，则x1－2x2的最小值为(　　)A．2－ln 4 B．2＋ln 4C．e－ln 2 D．e＋ln 2答案　A解析　由题意，设x1ln x1＝x2ex2＝e x2ln e x2＝t，即f(x1)＝f(e x2)＝t，由f′(x)＝1＋ln x，得在上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在上，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(x)≥f＝－，且f(1)＝0，f(x)的图象如图所示．由图可知，当t∈(0，＋∞)时，x1＝e x2，即x2＝ln x1，且x1>1，所以x1－2x2＝x1－2ln x1，令h(x)＝x－2ln x，且x∈(1，＋∞)，则h′(x)＝1－＝，当12时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(2)＝2－2ln 2＝2－ln 4，即x1－2x2的最小值为2－ln 4.故选A.考向二　构造函数研究函数问题角度　由原函数与导函数混合式构造函数例2　(多选)(2024·深圳模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)满足xf′(x)－f(x)＝x2(ln x＋1)，且f(1)＝0，则(　　)A．f(x)在(1，＋∞)上单调递增 B．f(x)在上有极小值C.的最小值为－1 D．f(x)的最小值为0答案　AB解析　因为函数f(x)及其导函数f′(x)满足xf′(x)－f(x)＝x2(ln x＋1)，则＝ln x＋1，即′＝(xln x)′，令＝xln x＋c(c为常数)，所以f(x)＝x2ln x＋cx.因为f(1)＝0＋c＝0，所以c＝0，所以f(x)＝x2ln x．对于A，当x>1时，f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)>0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故A正确；对于B，由f′(x)＝0可得x＝e－＝，且<<1，当0，此时f(x)单调递增，所以f(x)在上有极小值，故B正确；对于C，令g(x)＝＝xln x，其中x>0，则g′(x)＝ln x＋1，当0时，g′(x)>0，此时函数g(x)单调递增，所以g(x)min＝g＝－，故C错误；对于D，f′(x)＝x(2ln x＋1)，当0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增，所以f(x)min＝f＝ln ＝－，故D错误．故选AB.由f(x)与f′(x)混合式构造函数的常见类型(1)对于xf′(x)＋kf(x)>0(<0)，构造g(x)＝xk·f(x)．(2)对于xf′(x)－kf(x)>0(<0)，构造g(x)＝.(3)对于f′(x)＋kf(x)>0(<0)，构造g(x)＝ekx·f(x)．(4)对于f′(x)－kf(x)>0(<0)，构造g(x)＝.　(2023·苏州模拟)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log2·f，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>c B．c>b>aC．a>c>b D．c>a>b答案　B解析　因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，由题意知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在(－∞，0]上单调递减，又g(x)是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，因为20.6>1，0b>a.故选B.角度　同构法构造函数例3　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　　)A．a0，则实数a的取值范围是(　　)A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)C．(9，＋∞) D．[9，＋∞)答案　D解析　当x1，x2∈(1，3]，且x10⇒>⇒ln >ln ⇒3x1－3x2>aln x1－aln x2⇒3x1－aln x1>3x2－aln x2，令f(x)＝3x－aln x，x∈(1，3]，即等价于∀x1，x2∈(1，3]，当x1f(x2)，即函数f(x)在(1，3]上单调递减，即∀x∈(1，3]，f′(x)＝3－≤0，即∀x∈(1，3]，a≥3x，由x∈(1，3]，得3x∈(3，9]，所以a≥9，所以实数a的取值范围是[9，＋∞)．故选D.同构式的基本概念和应用(1)同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式．(2)同构式的应用①在方程中的应用：如果方程f(a)＝0和f(b)＝0呈现同构特征，则a，b可视为方程f(x)＝0的两个根；②在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而结合函数的单调性来比较大小或解不等式．　1.(2024·扬州模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)A．b>c>a B．a>b>cC．b>a>c D．c>b>a答案　D解析　因为a＝＝＝，c＝＝，故可构造函数f(x)＝，x>0，则f′(x)＝＝，所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以a＝f(2)b>a.故选D.2．(2023·杭州模拟)设a＝e－ln 2，b＝e－ln 3，c＝e－(其中e≈2.71828是自然对数的底数。