数字图像处理第11章.pps

第十一章 图 像 复 原￿ 第十一章 图 像 复 原11.1 图像退化与复原 11.2 非约束复原 11.3 最小二乘类约束复原 11.4 非线性复原方法 11.5 其他图像复原技术11.6 编程实例 第十一章 图 像 复 原￿ 11.1 图像退化与复原 数字图像在获取的过程中，由于光学系统的像差、 光学成像衍射、 成像系统的非线性畸变、 摄影胶片的感光的非线性、 成像过程的相对运动、 大气的湍流效应、环境随机噪声等原因， 图像会产生一定程度的退化因此，必须采取一定的方法尽可能地减少或消除图像质量的下降，恢复图像的本来面目，这就是图像复原， 也称为图像恢复￿ 第十一章 图 像 复 原￿ 图像复原与图像增强有类似的地方， 都是为了改善图像但是它们又有着明显的不同图像复原是试图利用退化过程的先验知识使已退化的图像恢复本来面目，即根据退化的原因， 分析引起退化的环境因素，建立相应的数学模型， 并沿着使图像降质的逆过程恢复图像从图像质量评价的角度来看， 图像复原就是提高图像的可理解性而图像增强的目的是提高视感质量，图像增强的过程基本上是一个探索的过程， 它利用人的心理状态和视觉系统去控制图像质量， 直到人们的视觉系统满意为止。

第十一章 图 像 复 原￿ 图像复原是利用退化现象的某种先验知识，建立退化现象的数学模型，再根据模型进行反向的推演运算，以恢复原来的景物图像因而，图像复原可以理解为图像降质过程的反向过程建立图像复原的反向过程的数学模型，就是图像复原的主要任务经过反向过程的数学模型的运算，要想恢复全真的景物图像比较困难所以， 图像复原本身往往需要有一个质量标准， 即衡量接近全真景物图像的程度，或者说，对原图像的估 计是否到达最佳的程度￿由于引起退化的因素众多而且性质不同，为了描述图像退化过程所建立的数学模型往往多种多样，而恢复的质量标准也往往存在差异性，因此图像复原是一个复杂的数学过程，图像复原的方法、技术也各不相同 第十一章 图 像 复 原￿ 11.1.1 图像降质的数学模型￿￿图像复原处理的关键问题在于建立退化模型输入图像f(x, y)经过某个退化系统后输出的是一幅退化的图像为了讨论方便， 把噪声引起的退化即噪声对图像的影响一般作为加性噪声考虑， 这也与许多实际应用情况一致，如图像数字化时的量化噪声、 随机噪声等就可以作为加性噪声，即使不是加性噪声而是乘性噪声， 也可以用对数方式将其转化为相加形式。

第十一章 图 像 复 原￿ 原始图像f(x, y)经过一个退化算子或退化系统H(x, y)的作用， 再和噪声n(x, y)进行叠加，形成退化后的图像g(x, y)图11-1表示退化过程的输入和输出的关系，其中H(x, y)￿ 概括了退化系统的物理过程，就是所要寻找的退化数学模型 图11-1 图像的退化模型 第十一章 图 像 复 原￿ 数字图像的图像恢复问题可看作是： 根据退化图像g(x , y)和退化算子H(x , y)的形式，沿着反向过程去求解原始图像f(x , y)， 或者说是逆向地寻找原始图像的最佳近似估计图像退化的过程可以用数学表达式写成如下的形式： ￿￿ g(x, y)=H［f(x, y)］+n(x, y) (11-1)￿￿在这里，n(x, y)是一种统计性质的信息在实际应用中， 往往假设噪声是白噪声，即它的频谱密度为常数，并且与图像不相关 第十一章 图 像 复 原￿ 在图像复原处理中， 尽管非线性、 时变和空间变化的系统模型更具有普遍性和准确性，更与复杂的退化环境相接近，但它给实际处理工作带来了巨大的困难， 常常找不到解或者很难用计算机来处理因此，在图像复原处理中， 往往用线性系统和空间不变系统模型来加以近似。

这种近似的优点使得线性系统中的许多理论可直接用于解决图像复原问题，同时又不失可用性￿第十一章 图 像 复 原￿ 一幅连续图像f(x, y)可以看作是由一系列点源组成的因此，f(x, y)可以通过点源函数的卷积来表示即(11-2) 式中，δ函数为点源函数，表示空间上的点脉冲￿在不考虑噪声的一般情况下， 连续图像经过退化系统H后的输出为 (11-3) 把式(11-2)代入式(11-3)得 (11-4) 第十一章 图 像 复 原￿ 性和空间不变系统的情况下， 退化算子H具有如下性质: (1) 线性：设f1(x,y)和f2(x,y)为两幅输入图像，k1和k2为常数， 则 (11-5)由该性质还可推出下面两个结论： ￿① 当k1=k2=1时, 式(11-5)变为 (11-6)② 如果f2 (x , y)=0，则式（11-5）变为 (11-7)第十一章 图 像 复 原￿ (2) 空间不变性: 如果对任意f ( x , y )以及a和b，有 (11-8)则对于线性空间不变系统，输入图像经退化后的输出为 (11-9)第十一章 图 像 复 原￿ 式中，h(x-α, y-β)为该退化系统的点扩展函数， 或叫系统的冲激响应函数。

它表示系统对坐标为(a, β)处的冲激函数δ(x-α, y-β)的响应也就是说，只要系统对冲激函数的响应为已知，那么就可以清楚图像退化是如何形成的因为对于任一输入f (a, β)的响应， 都可以通过上式计算出来此时，退化系统的输出就是输入图像信号f (x, y)与点扩展函数h(x, y)的卷积， 即￿ (11-10) 第十一章 图 像 复 原￿ 图像退化除了受到成像系统本身的影响外，有时还要受到噪声的影响假设噪声n(x, y)是加性白噪声，这时上式可写成 在频域上，式(11-11)可以写成 (11-12) (11-11) 其中，G(u, v)、F(u, v)、N(u, v)分别是退化图像g(x, y)、原图像f(x, y)、噪声信号n(x, y)的傅立叶变换；H(u, v)是系统的点冲激响应函数h(x, y)的傅立叶变换，称为系统在频率域上的传递函数 第十一章 图 像 复 原￿ 式(11-11)和式(11-12)就是连续函数的退化模型可见， 图像复原实际上就是已知g(x, y)求f(x, y)的问题或已知G(u, v)求F(u, v)的问题，它们的不同之处在于一个是在空域，一个是在频域。

￿显然，进行图像复原的关键问题是寻找降质系统在空间域上的冲激响应函数h(x, y)，或者降质系统在频率域上的传递函数H(u, v)一般来说，传递函数比较容易求得因此，在进行图像复原之前，一般应设法求得完全的或近似的降质系统传递函数，要想得到h(x, y), 只需对H(u, v)求傅立叶逆变换即可￿第十一章 图 像 复 原￿ 11.1.2 离散图像退化的数学模型￿￿1. 一维离散退化模型￿￿设f(x)为具有A个采样值的离散输入函数，h(x)为具有B个采样值的退化系统的冲激响应函数，则经退化系统后的离散输出函数g(x)为输入f(x)和冲激响应h(x)的卷积，即 g(x)=f(x)*h(x) 为了避免上述卷积所产生的各个周期重叠（设每个采样函数的周期为M），分别对f(x)和h(x)用添零延伸的方法扩展成周期M=A+B-1的周期函数， 即 第十一章 图 像 复 原￿ (11-13a)(11-13b)输出为 (11-14)式中，x=0, 1, 2, …, M-1 第十一章 图 像 复 原￿ 因为fe(x)和he(x)已扩展成周期函数，故ge(x)也是周期性函数， 用矩阵表示为 (11-15) 第十一章 图 像 复 原￿ 因为he(x)的周期为M，所以he(x)=he(x+M)，即 第十一章 图 像 复 原￿ M×M阶矩阵H可写为 （11-16） 第十一章 图 像 复 原￿ 可将式（11-15）写成更简洁的形式，即 (11-17) 式中， g、f都是M维列向量，H是M×M阶矩阵，矩阵中的每一行元素均相同，只是每行以循环方式右移一位，因此矩阵H是循环矩阵。

循环矩阵相加或相乘得到的还是循环矩阵 第十一章 图 像 复 原￿ 2. 二维离散模型￿￿设输入的数字图像f(x, y)大小为A×B，点扩展函数h(x, y)被均匀采样为C×D大小为避免交叠误差，仍用添零扩展的方法， 将它们扩展成M=A+C-1和N=B+D-1个元素的周期函数 （11-18a）（11-18b）第十一章 图 像 复 原￿ 则输出的降质数字图像为 式中：x=0, 1, 2, …, M-1； y=0, 1, 2, …, N-1 式(11-19)的二维离散退化模型同样可以用式（11-17）所示的矩阵形式表示，即 式中，g、 f是MN×1维列向量，H是MN×MN维矩阵其方法是将g(x, y)和f(x, y)中的元素排成列向量 第十一章 图 像 复 原￿ (11-20) 第十一章 图 像 复 原￿ (11-21) Hi(i=0, 1, 2,…, M-1)为子矩阵，大小为N×N，即H矩阵由M×M个大小为N×N的子矩阵组成， 称为分块循环矩阵分块矩阵是由延拓函数he(x, y)的第j行构成的，构成方法如下: 第十一章 图 像 复 原￿ (11-22) 若把噪声考虑进去, 则离散图像退化模型为 (11-23) 第十一章 图 像 复 原￿ 写成矩阵形式为 上述线性空间不变退化模型表明，在给定了g(x, y)，并且知道退化系统的点扩展函数h(x, y)和噪声分布n(x, y)的情况下，可估计出原始图像f(x, y)。

￿假设图像大小M=N=512，相应矩阵MH的大小为MN×MN=262 144×262 144，这意味着要解出f (x, y)需要解262 144个联立方程组，其计算量十分惊人 第十一章 图 像 复 原￿ 11.2 非约束复原 11.2.1 逆滤波￿由式(11-24)可得 (11-25) 逆滤波法是指在对n没有先验知识的情况下，可以依据这样的最优准则，即寻找一个 ，使得 在最小二乘方误差的意义下最接近g，即要使n的模或范数（norm）最小： (11-26) 第十一章 图 像 复 原￿ 式(11-26)的极小值为 (11-27) 如果我们在求最小值的过程中，不做任何约束，称这种复原为非约束复原由极值条件￿ (11-28) 解出 为 (11-29) 对式(11-29)作傅立叶变换， 得 (11-30) 第十一章 图 像 复 原￿ 可见，如果知道g(x, y)和h(x, y)，也就知道了G(u, v)和H(u, v)根据上式， 即可得出F(u, v)，再经过反傅立叶变换就能求出f(x, y)逆滤波是最早应用于数字图像复原的一种方法并用此方法处理过由漫游者、探索者等卫星探索发射得到的图像。

第十一章 图 像 复 原￿ 11.2.2 非约束图像复原的病态性质￿￿由式(11-30)进行图像复原时，由于H(u,v)在分母上，当u-v平面上的某引起点或区域H(u, v)很小或等于零，即出现了零点时， 就会导致不稳定解因此，即使没有噪声，一般也不可能精确地复原f(x, y)如果考虑噪声项N(x, y)， 则出现零点时， 噪声项将被放大，零点的影响将会更大，对复原的结果起主导地位， 这就是无约束图像复原模型的病态性质它意味着退化图像中小的噪声干扰在H(u, v)取得很小值的那些频谱上将对恢复图像产生很大的影响由简单的光学分析知道，在超出光学系统的绕射极限时，H(u, v)将很小或等于零，因此对多数图像直接采用逆滤波复原会遇到上述求解方程的病态性 第十一章 图 像 复 原￿ 为了克服这种不稳定性，一方面可利用我们后面要讲的有约束图像复原；另一方面，可利用噪声一般在高频范围，衰减速度较慢， 而信号的频谱随频率升高下降较快的性质，在复原时， 只限制在频谱坐标离原点不太远的有限区域内运行，而且关心的也是信噪比高的那些频率位置Nathan在用逆滤波图像复原时采用的是限定恢复转移函数最大值的方法。

其H(u, v)和恢复函数M(x, y)， 如图11-2所示 第十一章 图 像。