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2019考研数学完整版及参考答案 一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则（ ）(A) . (B) .(C) . 　　　　　(D) 　 . 　　 （2）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（A）连续的奇函数. （B）连续的偶函数（C）在间断的奇函数 （D）在间断的偶函数. （ ）（3）设函数可微，，则等于（ ） （A）. （B） （C） （D） （4）函数满足的一个微分方程是 [ ] （A） （B） （C） （D） （5）设为连续函数，则等于（）（Ａ）. （B）.(C)　.　　(D) . （6）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若，则. (B) 若，则. (C) 　若，则. (D) 　若，则. 　　　　　　　（7）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是 [ ](A) 若线性相关，则线性相关. (B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. （8）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（）（Ａ）.　　　　　　　　　　　（Ｂ）.（Ｃ）.　　　　　　　　　　　（Ｄ）.　　　一．填空题（9）曲线 的水平渐近线方程为（10）设函数在处连续，则（11）广义积分.（12） 微分方程的通解是（13）设函数由方程确定，则 （14）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 .三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分） 试确定的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求 .（17）（本题满分10分）设区域， 计算二重积分（18）（本题满分12分）设数列满足（Ⅰ）证明存在，并求该极限；（Ⅱ）计算.（19）（本题满分10分） 证明：当时，. （20）（本题满分12分）设函数在内具有二阶导数，且满足等式.（I）验证；（II）若，求函数的表达式. （21）（本题满分12分）已知曲线L的方程（I）讨论L的凹凸性；（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵的秩；（Ⅱ）求的值及方程组的通解.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.(Ⅰ)　求的特征值与特征向量；(Ⅱ)　求正交矩阵和对角矩阵,使得.数学答案1. A【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，，故应选(Ａ). 【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：因为，所以单调增加，即，又，则　，即.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.165【例6.1】，P.193【１（３）】.2. B【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数去计算，然后选择正确选项.【详解】取　 .则当时，，而，所以为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006文登最新模拟试卷（数学三）（8）.3. C【分析】题设条件两边对求导,再令即可.【详解】两边对求导,得　 .上式中令，又，可得，故选（C）.【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期班《高等数学》第2讲第2节【例12】，《数学复习指南》理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1【典例精析】.4. D【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 .则对应的齐次微分方程的特征方程为 .故对应的齐次微分方程为 .又为原微分方程的一个特解，而为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式（为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D）.【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式.. 完全类似例题见文登暑期班《高等数学》第7讲第2节【例9】和【例10】，《数学复习指南》P.156【例5.16】，《数学题型集粹与练习题集》（理工类）P.195（题型演练3），《考研数学过关基本题型》（理工类）P.126【例14】及练习.5. C【分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】 由题设可知积分区域如右图所示，显然是型域，则　　　　　　原式.故选（Ｃ）.【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.完全类似例题见文登暑期班《高等数学》第10讲第2节例4，《数学复习指南》（理工类）P.286【例10.6】，《考研数学过关基本题型》（理工类）P.93【例6】及练习.6. D【分析】 利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则 ， 即 .消去，得 　　　　　　　,整理得　.（因为），若，则.故选（Ｄ）. 【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.相关定理见《数学复习指南》（理工类）Ｐ.251定理1及Ｐ.253条件极值的求法.7. A【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记，则.所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.8. B【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得　　　　，而　，则有.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.　（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例2.19】，文登暑期班《线性代数》第2讲例12.　9. 【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】 . 故曲线的水平渐近线方程为 .【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期班《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（理工类）P.180【例6.30】，【例6.31】.10. 【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】 由题设知，函数在 处连续，则 ，又因为 .所以 .【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.完全类似例题见文登暑期班《高等数学》第1讲第1节【例13】，《数学复习指南》（理工类）P.35【例1.51】.88年，89年，94年和03年均考过该类型的试题，本题属重点题型.11. 【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.　　　　　【详解】 .【评注】 本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限.完全类似例题见文登暑期班《高等数学》第5讲第6节【例1】，《数学复习指南》（理工类）P.119【例3.74】.12 .【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】 原方程等价为，两边积分得　，整理得　　　　　　　.（）【评注】 本题属基本题型.完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.139.13. 【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对求导（注意是的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】 方法一：方程两边对求导，得.　　　又由原方程知，.代入上式得　.方法二：方程两边微分，得　　　　　　，代入，得.方法三：令，则　　　　　　，故　.【评注】 本题属基本题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期班《高等数学》第2讲第2节【例14】，《数学复习指南》（理工类）P.50【例2.12】.14. 【分析】 将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 于是有 ，而，所以.【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.完全类似例题见文登暑期班线性代数第1讲例6，《数学复习指南》（理工类）P.378【例2.12】15.【分析】题设方程右边为关于的多项式，要联想到的泰勒级数展开式，比较的同次项系数，可得的值.【详解】将的泰勒级数展开式代入题设等式得 整理得 比较两边同次幂系数得 ，解得 .【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》理工类P.124表格.16.【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】.令，则，所以 .【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期班《高等数学》。