第四投影基础.ppt

第四章第四章 投影基础投影基础1这部分是绘图和读图的理论基础这部分是绘图和读图的理论基础 本章主要学习用本章主要学习用正投影法正投影法表达空表达空间形体的间形体的基本原理基本原理及其及其作图方法作图方法1 1、投影法的基本知识、投影法的基本知识 了解投影的一般知识，掌握正了解投影的一般知识，掌握正投影法的基本概念投影法的基本概念2 2、点、线、面的投影、点、线、面的投影2§4.§4.1 1 投影体系的建立投影体系的建立投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图31、中心投影法：、中心投影法：全部投影线都 从一点投射出H特性：投影大小与物体和投影面之间距离有关4.1.1、投影法、投影法投射中心投射线S投影面ABCabc42、平行投影法、平行投影法：所有投影线都相互平行1）、正投影法：（主要学习此种投影方法）投射线互相平行且垂直于投影面特性：投影大小与物体和 投影面之间距离无关。

投射方向P投影面52）、斜投影法：投影线倾斜于投影面投射线互相平行但不垂直于投影面P特性：投影大小与物体和 投影面之间距离无关投射方向6使用正投影法时把物体放在观察者和投影面之间，观察者的使用正投影法时把物体放在观察者和投影面之间，观察者的视线代替投射线，并假想视线互相平行，且垂直于投影面，视线代替投射线，并假想视线互相平行，且垂直于投影面，这样得到的图形，称为正投影图这样得到的图形，称为正投影图4.1.24.1.2 正投影图正投影图74.1.34.1.3 投影体系投影体系投影的基本性质： ★ 1、真实性 ★ 2、积聚性 ★ 3、类似性 一个视图不能完整地反映物体的空间形状81. 1. 实形性实形性CDEBAHabedc当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形9edca（（b））CDEBAH2. 2. 积聚性积聚性当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段103. 3. 类似性类似性CDEedcBAabH当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。

当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小11物体的三面投影图物体的三面投影图1、三面投影图的形成、三面投影图的形成三投影面体系由三个相互垂直的投影面所组成正立投影面简称正面水平投影面 简称水平面侧立投影面简称侧面两投影面的交线称为投影轴OX、OY、OZVHWXYZO122、、物体在三投影面体系中的投影物体在三投影面体系中的投影•正面投影—由前向后投影；•水平面投影 —由上向下投影；•侧面投影—由左向右投影3、三投影面的展开、三投影面的展开VHWOXYHZYW侧面W绕 OZ轴向右旋转90ο水平面H绕OX轴向下旋转90ο规定：正面V保持不动VHWXYZO13俯俯长长主主高高上上前前后后下下上上左左右右下下前前后后右右左左4、位置关系和投影关系：、位置关系和投影关系：5 5、方位关系、方位关系俯视图——在主视图的下方左视图——在主视图的右方主、俯视图—长对正（等长）主、左视图—高平齐（等高）俯、左视图—宽相等（等宽））主视图—反映物体的上下和左右俯视图—反映物体的前后和左右左视图—反映物体的前后和上下注注：俯、左视图靠近主视图的一边，表示物体的后表面；远离主视图的一边，表示物体的前表面。

左左宽宽主左俯14 Pb ●●AP采用多面投影采用多面投影 过空间点过空间点A的的投射线投射线与投影面与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影面上的投影B1●B2●B3● 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影a ●§4.§4.2 2 点的投影点的投影解决办法？解决办法？15§4.2.1点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影 过A作垂直于V、H面的投射线A a´、Aa，分别与H面交于a，与V面交于a´，a、 a´即为点A的两面投影VHOXAaa'V16VHOX实际作图时不画投影面边框aa´axa´aOXHOXAaa´V17点的两面投影规律：（1）、点的两面投影连线垂直于相应的投影轴，即 aa'⊥ox；（2）、点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应投影面的距离，即： a'ax=Aa aax=Aa'18HWV投影面投影面◆◆正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V面）面）◆◆水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H面）面）◆◆侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W面）面）投影轴投影轴oXZOX轴轴 V面与面与H面的交线面的交线OZ轴轴 V面与面与W面的交线面的交线OY轴轴 H面与面与W面的交线面的交线Y三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直§4.2.2 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影19WHVoX空间点空间点A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A的正面投影的正面投影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。

小写字母表示a ●a●a ●A●ZY20Oa"aywXYHYWZaa'axazayhxyz a 由点A的x、y值确定，a'由点A 的x、Z确定，a"由点A的y、z值确定VHWXYZOa'aa"Aaxazay21§4.2.3 投影面和投影轴上的点1 投影面上的点有一个坐标为零投影面上的点有一个坐标为零2 投影轴上的点有两个坐标为零投影轴上的点有两个坐标为零HWVoXZYCBDd’cc’b’d”c”bb’’XOYHYWZcc”d”b’bc’b’’ Dd’22点A的x坐标值=oax =aay=a'az=Aa"反映点A到W面的距离 Y坐标值=oay=aax=a"az=Aa'反映点A 到V面的距离 Z坐标值=oaz=a'ax=a"ay=Aa反映点A到H面的距离Oa"aywXYHYWZaa'axazayhxyz a 由点A的x、y值确定，a'由点A 的x、Z确定，a"由点A的y、z值确定VHWXYZOa'aa"Aaxazay§4.2.4 点的三面投影与直角坐标的关系23例1、已知点的坐标值为：A（20，10，15）和B（0，15，20）求它们的三面投影图。

解：（1）量取坐 标值；XOYHYWZaa'a"bb'b"（2）作点的 投影24例2、已知各点的两面投影，求作其第三投影，并判断点对投影面的相对位置ab'c点A的三个坐标值均不为0，A为一般位置点B的Z坐标为0，故点B为H面上的点点C的x、y坐标为0，故点C为z轴上的点bb"c' c"xyHywzoa'a"z25 1、两点的相对位置、两点的相对位置 要在投影图上判断空间两点的相对位置，应根据这这两两点在每个的面投影关系和坐标差点在每个的面投影关系和坐标差来确定例：由投影图判断A、B两点的空间位置aa'bb'XOYHYWZa"b"（1）由A、B两点V、H面投影可确定点A在点B左方2）由A、B的H、W面投影可确定A在B前方3）由A、B的V、W面投影可确定A在B下方因此点点A位于点位于点B左、前、下方左、前、下方§4.2.5 两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点262、、 重影点重影点重影点重影点——空间两点在一个面的投影重合于一点叫做重影点重影点 如图：C、D两点的水平投影证明影为一点OXc（d）c'd'又因点C在点D的正上方，C点可见，D点被遮盖。

作图时不可见点加括号结论结论：如果两个点的某面如果两个点的某面投影重合时，则对该投影投影重合时，则对该投影面的投影坐标值大者为可面的投影坐标值大者为可见，小者为不可见见，小者为不可见27例：已知点D 的三面投影，点C在点D的正前方15mm，求作点C的三面投影，并判别其投影的可见性解：由已知条件知：XC=XD ZC=ZD YC-YD=15mm∴点C、D在V面上的投影重影 c c'c"又∵YC > YD　∴C的V面投影为可见点，则D的V面投影为不可见点YH d'OXYWZdd"( )28YWZVHXOAa'a"aBb'bVHWXYZbBAb'b"a"aa'WVHXYOZABaba"b"(b')a'XYWYHZaa"bb"c"cc'a'b'1、点A在V面上，故 YA=02、点B在X轴上，故ZB= YB =03、点C在原点上，故 Zc= Yc = Xc =0XYWOYHZaa"bb"a'b'XYWOYHZaa"bb"a' （（b‘））点A在点B的上方（ZA＞ZB)点A在点B的右方（XA＜XB)点A在点B的前方（YA＞YB)点A在点B的正前方(XA=XBZA=ZB, YA＞YB )点A和点B称为V面上的重影点。

294.3.1、各种位置直线的投影特性、各种位置直线的投影特性§4.3 3 直线的投影直线的投影1、直线对一个投影面的投影特性、直线对一个投影面的投影特性 直线的投影一般情况下仍为直线，在特殊情况下聚为一点1）、直线平行于投影面abABH在该面上的投影ab反映空间直线AB的真实长度即：ab=AB302）、直线CD垂直于投影面在该面上的投影有积聚性，其投影为一点HCDc（d）313）直线EF倾斜于投影面 在该面上的投影长度变短，即：ef=EF cosαEFefαH322 2、、 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面33 反映线段实长。

且垂直反映线段实长且垂直于相应的投影轴于相应的投影轴1. 1. 投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线②② 另外两个投影另外两个投影，①① 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性投影特性投影特性: :●c (d )cdd c ●a b a(b)a b ●e f efe (f )341、投影面垂直线、投影面垂直线1）、铅垂线：直线⊥H面，∥V、W面OXYHYWZa（b）a'b'a"b"水平投影积聚为一点a'b'=a"b"=ABa'b' ⊥OX， a"b" ⊥OYW352）、正垂线：直线⊥V面，∥H、W面OXYHYWZcdc' (d')c"d"正面投影积聚为一点cd=c"d"=CD cd⊥OX， c"d"⊥OZ363）、侧垂线：直线⊥W面，∥H、V面OXYHYWZefe'f 'e'' （f "）侧面投影积聚为一点ef=e'f '=EFef⊥OYH，e'f'⊥OZ371、V面投影积聚为一点2、 a" b" =ab=AB=实长3、ab⊥OX轴 , a" b" ⊥ OZ 轴 β=90°α、γ=0°XYWYHZaa"bb"a'b'( )VHWXYZAb'b"a"a'B1、H面投影积聚为一点。

2、 a" b" = a'b' =AB=实长3、 a'b' ⊥OX轴 , a" b" ⊥ OY W 轴 α =90° β 、γ=0° XYWOYHZa"b"a'b'XYWOYHZaba'WVHXYZABabb'a'1、w面投影积聚为一点2、 a'b' =ab=AB=实长3、ab⊥OYH轴 , a'b' ⊥ OZ 轴 γ =90°α、 β =0°YWZVHXa"a'b'( )38b a aba b b aa b ba 2. 投影面平行线投影面平行线①① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大并反映直线与另两投影面倾角的实大②② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线γ投投 影影 特特 性：性：与与H面的夹角面的夹角:α 与与V面的角面的角:β与与W面的夹角面的夹角: γ实长实长实长实长实长实长βγααβba aa b b 39OXYHYWZaa'a"bb'b"1）、水平线：平行于H面，对V、W面倾斜水平投影ab=AB正面投影a'b'∥OX，侧面投影a"b"∥OYwβγab与OX、OYH的夹角β、γ等于AB对V、W面的倾角。

VHWXYZbAb'b"a"aa'Bβγ402）、正平线：平行于V，对H、W倾斜OXYHYWZcdc'd'c"d"αγ正面投影c'd'=CD水平投影cd∥OX侧面投影c"d"∥OZc'd'与OX、OZ的夹角α、γ等于CD对H、W面的倾角YWZVHXc"413）、侧平线：平行于W面，对V、H面倾斜侧面投影e"f"=EF水平投影ef∥OYH，正面投影e'f'∥OZe"f"与OYW、OZ的夹角α、β等于EF对V、H面的倾角OXYHYWZαβefe'f 'e"f"WVHXYOZFEfef"e"e'f'421、a′b′=AB=实长2、ab∥OX轴 , a" b" ∥ OZ轴3、β=0°α、γ反映实际大小 1、ab=AB=实长2、 a′b′ ∥OX轴 , a" b" ∥ OYW轴3、 α =0° β 、γ反映实际大小 YWZVHXa"VHWXYZbAb'b"a"aa'BXYWYHZaa"bb"a'b'XYWOYHZaa"bb"a'b'WVHXYOZABaba"b"b'a'XYWOYHZaa"bb"a'1、 a" b" =AB=实长2、 a′b′ ∥OZ轴 , ab ∥ OYH轴3、 γ =0° β、 α 反映实际大小 43投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性1、直线在所平行的投影面上的投影反映直、直线在所平行的投影面上的投影反映直线的实际长度。

线的实际长度2、直线在另外两个投影面上的投影平行于、直线在另外两个投影面上的投影平行于相应的轴（所平行投影面相应的轴（所平行投影面上的坐标轴）443 3. . 一般位置直线一般位置直线投影特性：投影特性： 三个投影都缩短三个投影都缩短即即: 都不反映空间线都不反映空间线段的实长及与三个投影段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜根投影轴都倾斜abb a b a 45 一般位置直线的投影，既不能反映一般位置直线的投影，既不能反映该线段的实长，又不能反映该线段对投该线段的实长，又不能反映该线段对投影面的倾角本节介绍用影面的倾角本节介绍用直角三角形法直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角 4.3.2、、一般位置直线的实长及对投影面的倾角一般位置直线的实长及对投影面的倾角46 一一般般位位置置线线段段在在投投影影图图上上反反映映不不出出线线段段的的实实长长及及对对投投影面的倾角影面的倾角 1.几何分析几何分析 2.作图要领作图要领 用用线线段段在在某某一一投投影影面面上上的的投投影影长长作作为为一一条条直直角角边边，，再再以以线线段段的的两两端端点点相相对对于于该该投投影影面面的的坐坐标标差差作作为为另另一一条条直直角角边边，，所所作作直直角角三三角角形形的的斜斜边边即即为为线线段段的的实实长长，，斜斜边边与与投投影影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。

长间的夹角即为线段与该投影面的夹角 3.直角三角形直角三角形的四个要素的四个要素 实实长长、、投投影影长长、、坐坐标标差差及及直直线线对对投投影影面面的的倾倾角角已已知知四要素中的任意两个，便可确定另外两个四要素中的任意两个，便可确定另外两个4748为求得线段为求得线段AB的实长，过的实长，过A点作点作AC∥∥ab，，则得到直角三角形则得到直角三角形ABC，，在该三角形中在该三角形中AC＝＝ab，，BC＝＝Bb－－Aa＝＝ΔΔZ(A、、B两点的两点的Z坐标差坐标差)，而，而∠∠BAC即即αα角，斜边即角，斜边即AB实长实长 以以ab为一直角边，以为一直角边，以ΔΔZ为另一直角边，作出直角三角形为另一直角边，作出直角三角形aB1b，，则在该直角三角形中，则在该直角三角形中，aB1边长为线段边长为线段AB的实长，的实长，∠∠baB1为线为线段段AB的的αα角角 49［例］已知线段［例］已知线段AB＝＝25mm及其投影及其投影ab和和a′′，，试求该线段的试求该线段的V投影投影a′′b′′ 利用利用ab和和AB＝＝25mm，，确定确定A、、B两点的高标差两点的高标差bB1，，从而求从而求出出b′(有两解有两解) ，或利用，或利用ΔY和和AB＝＝25mm，，确定确定a′b′的长度，的长度，求出求出b′ 504.3.3、、直线上的点几分割线段成定比直线上的点几分割线段成定比1、从属性、从属性： 点在直线上，点的各面投影必定在该直线的点的各面投影必定在该直线的同面投影上；同面投影上；反之，点的各面投影均在直线的同面投影上，则该 点必在此直线上。

点必在此直线上OXYHYWZaa'a"bb'b"kk'k"512、定比性：、定比性： 直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变OXYHYWZaa'a"bb'b"kk'k"即：AK: KB=ak: kb=a'k': k'b'=a"k": k"b"52例1、试在直线AB上取一点C，使AC:CB=1:2，求作C点解：分点C的投影必在AB的同面投影上 且 ac:cb =a'c': c'b' =1:2OXaba'b'123cc'53例2、已知直线CD及点M的两面投影，判断 M是否在CD上解1、OXcdc'd'mm'作侧平线CD和点M的侧面投影，由作图知点M的侧面投影不在cd上，所以M不在CD上c"d"m"zYHYW54解2、在H面作任一直线cE，使cE=c'd'并截取cM1=c'm'EM1连dE，过M1作dE的平行线与cd交于m1mOXcdc'd'm'm1因为m1与m不重合，所以M不在CD上55 空间两直线的相对位置分为 平行平行、相交相交、交叉交叉 1、平行两直线、平行两直线：投影特性：投影特性：空间两直线相互平行，它们的各组同面投影必定相互平行。

ABCDabcd反之，若两直线的各同面投影相互平行，则两直线在空间一定平行4.3.4、、两直线相对位置两直线相对位置562、相交两直线、相交两直线ab cdABCDKkK是两直线的共有点，∴K在平面上的投影k必在ab上，又必在cd上交点K的三面投影符合点的投影规律★相交的两直线是共面的直线57OXZYHYWabcdka'b'c'd'k'a"b"c"d"k"583、交叉两直线、交叉两直线 在空间即不平行也不相交的两直线为交叉两直线交叉两直线 同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律如图示aa'bb'cc'dd'AB两面投影的交点连线不⊥OX轴，∴为交叉两直线59aa'bb'cc'dd' 投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点对重影点应区分其可见性，即根据重影点对同一投影面的坐标值大小来判断坐标值大者为可见点，小者为不可见点11'22'33'44'( )( )60例1、判断两直线的相对位置OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'交点的连线垂直于OX，且两直线为一般位置直线，由两面投影可判断为相交两直线。

∵ab与cd在一直线上，而ab∥cd，∴两直线平行∵CD为侧平线，利用点分割线段成比例进行判断为交叉两直线Emk61例2、过C点作水平线CD与AB相交dd'先作CD的正面投影kk'aa'bb'cc'••62例3、已知：两直线AB、CD的投影及点M的水平投影m，试作一直线MN∥CD并与直线AB相交于N点·aa'bb'cc'dd'mOXnn'm'作图：过m作mn∥cd，并与ab交于n；由n求出n'；过n'作n'm'∥c'd'，求得m'63两直线相交成直角的投影•当两直线相交成直角时，如果两直线平行于某一投影面，则两直线在该投影上的投影的夹角仍为之直角•如果两直线相交成直角，且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在该投影面上仍然反映直角关系•如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面的投影的夹角不是直角64bbaaOfeefX例例4 4 过点过点A A 作作EF EF 线段的垂线线段的垂线ABAB65例例 5 作三角形作三角形ABC，， ABC为直角，使为直角，使BC在在MN上，且上，且BC AB=2 3bbcABab|yA-yB|bc=BCcnmaaXmnO66Ø点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。

Ø点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性Ø点分割直线成定比——定比定理 小小 结结67§4.4 4.4 平面的投影平面的投影4.4.1、、平面的表示法平面的表示法1、几何元素表示法、几何元素表示法 几何元素表示平面几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：用几何元素表示平面有五种形式：（（1 1）不在一直线上的三个点；）不在一直线上的三个点；（（2 2）一直线和直线外一点；）一直线和直线外一点；（（3 3）相交两直线；）相交两直线；（（4 4）平行两直线；）平行两直线；（（5 5）任意平面图形任意平面图形平面的迹线表示法平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线特殊位置平面平面的迹线为平面与投影面的交线特殊位置平面用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示68●●●●●●abca b c 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点●●●●●●abca b c 直线及直线及线外一线外一点点abca b c ●●●●●●d●d ●两平行直两平行直线线abca b c ●●●●●●两相交两相交直线直线●●c●●●●aba b 平面平面图形图形c 692、轨线表示法、轨线表示法平面与投影面的交线，称为平面的轨线。

轨线是投影面上的平面与投影面的交线，称为平面的轨线轨线是投影面上的直线，分别在相应的投影轴上，不作任何表示和标注直线，分别在相应的投影轴上，不作任何表示和标注平面和投影面的交线，称为平面和投影面的交线，称为平面的迹线平面的迹线 平面和平面和H面的交线，称为面的交线，称为水平迹线水平迹线，和，和V面的交线，面的交线，称为称为正面迹线正面迹线，和，和W面的交线，称为面的交线，称为侧面迹线侧面迹线 70两相交迹线两相交迹线 两平行迹线两平行迹线 71铅垂面正垂面侧垂面水平面正平面 侧平面平行于某一投影面垂直于某一投影面特殊位置平面对三个投影面都倾斜投影面垂直面投影面平行面一般位置平面4.4.2、、平面的投影特性平面的投影特性1 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性72 平面的投影一般仍是相类似的平面图形，在特殊情况下积聚为直线 1）平面平行于投影面ABCabcH投影△abc反映空间平面△ABC的真实形状 真实性 732）、平面垂直于投影面DEFdefH在投影面上的投影积聚为直线 积聚性 743）平面倾斜于投影面KLMKlmH投影△klm面积变小。

类似性 751、投影面垂直面、投影面垂直面 垂直于某一个投影面，而倾斜于其余两个投影面的平面为投影面垂直面 垂直的投影面上投影有积聚性其余两投影面的投影为类似形OXZYHYWaa'a"bb'b"cc'c"βγ2 平面在三个投影面的投影特性平面在三个投影面的投影特性76 投影面垂直面的投影特性：  平面在所垂直的投影面上的投影积聚积聚 为直线； 其余两投影面仍为原形的类似形， 但比实形小； 平面具有积聚性的投影与投影轴的 夹 角，分别反映平面与相应投影面的倾角772、投影面平行面、投影面平行面 平行于某一个投影面的平面称为投影面平行面，该平面必然垂直于其余两个投影面OXZYHYWaa'a"bb'b"cc'c"在所平行的投影面上的投影反映实形积聚为直线，并平行于相应的投影轴78 V面投影反映实形，H、 W投影积聚成一条直线，且分别平行与OX轴、OZ轴YWXYWYHZab(c)b"VHWXYZAb"aa'BbCXOYHZab"a'b H面投影反映实形，V、 W投影积聚成一条直线，且分别平行与OYW轴、OX轴YWZVHXCWVHXYZABab'Cc"XYWOYHZab(c)c" W面投影反映实形，V、 H投影积聚成一条直线，且分别平行与OYH轴、OZ轴79投投 影影 特特 性性 平面在所平行平行的投影面上的投影反映 实形实形；  其余两投影积聚为直线积聚为直线，并分别平 行于相应的投影轴。

803、一般位置平面、一般位置平面 对三个投影面都倾斜的平面其特性为：其特性为： 1、它的各面投影均不反映实形，也不具有积聚性 2、不直接反映该平面与投影面的倾角OXYWYHZaa'a"bb'b"cc'c"814.4.3、平面上的点和直线、平面上的点和直线1、平面上的点和直线、平面上的点和直线•定理一定理一：： 若点在平面内，它必在平面内的一条直线上•定理二定理二：若一直线过平面内的一点，且平行于该 平面上另一直线，则此直线在该平面内•定理三定理三：若直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内82（（1 1）） 平面上取直线平面上取直线 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线abcabcddeeABCEDFff83例1、已知△ABC平面内点K的V面投影k'，求作K的H面投影解1OXaa'bb'cc'OXaa'bb'cc'解2··d'dk'kk'm'mk84例2、已知四边形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，完成H 面投影。

解1OXaa'bb'cc'd'de'eOXaa'bb'cc'd'解2e'ed852、平面上的投影面平行线、平面上的投影面平行线 凡在平面上且平行于某一投影面平行于某一投影面的直线，称为平面上的投影面平行线 平面内的水平线——直线在平面内，又平行于水平面的直线 平面内的正平线——直线在平面内，又平行于正面的直线 平面内的侧平线——直线在平面内，又平行于侧面的直线86 例3、作△ABC平面内的正平线，它距V面为8mmOXaa'bb'cc'因为正平线的水平投影平行于OX，先作34∥OX，使其距V面8mm，再求出3'4'3483'4'87 例4、在△ABC内取一点K，使点K距V面8mm，距H 面12mmOXaa'bb'cc'解：128122'1'33'44'kk'3、过点、直线作平面、过点、直线作平面881）、与投影面平行的圆）、与投影面平行的圆 当圆平行于某一投影面时，圆在该投影面上的投影仍为圆，其余两投影积聚为直线，其长度等于圆的直径，且平行于相应的投影轴OXYHYWZ4、特殊位置圆的投影特性、特殊位置圆的投影特性892）、与投影面垂直的圆）、与投影面垂直的圆 当圆与投影面垂直时，圆在它所垂直的投影面上的投影积聚为直线，其余两投影为椭圆。

XOaa'bb'cc'dd'90重点掌握：重点掌握：三、如何在平面上确定直线和点三、如何在平面上确定直线和点二、二、熟悉各种位置平面的投影特性，熟悉各种位置平面的投影特性， 尤其是特殊位置平面的投影特性尤其是特殊位置平面的投影特性一、一、掌握（以平面图形的表示为主）在第一掌握（以平面图形的表示为主）在第一 角中三面投影的作图方法角中三面投影的作图方法91要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性⒈⒈ 一般位置平面一般位置平面⒉⒉ 投影面垂直面投影面垂直面⒊⒊ 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形——类似性类似性在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 ——积聚性积聚性另外两个投影类似另外两个投影类似 在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 ——实形性实形性。

另外两个投影积聚为直线另外两个投影积聚为直线 92二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线⒈⒈ 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上⒉⒉ 平面上的直线平面上的直线⑴⑴ 过平面上的两个点过平面上的两个点 ⑵⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线93§4.5 直线与平面、平面与平面直线与平面、平面与平面 之间的相对位置之间的相对位置4.5.1、、 直线与平面、平面与平面平行直线与平面、平面与平面平行 1、、 直线与平面平行直线与平面平行定理定理：直线平行于平面上的某一条直线直线平行于平面上的某一条直线 即：如果直线平行于平面，则直线的各面投影必与平面上一直线的同面投影平行94由于由于ef∥∥bd，，e′′f′∥′∥b′′d′′，即，即EF∥∥BD，且，且BD是是ABC平面上的一直线，平面上的一直线，所以，直线所以，直线EF平行于平行于ABC平面 95［例［例1 1］试过］试过K点作一水平线，使之平行于点作一水平线，使之平行于△△ABC 先在先在△△ABC上作上作一水平线，如直线一水平线，如直线AD（（ad，，a′′d′′）；）；再再过点过点K（（k，，k′′），作），作k′′l′∥′∥a′′d′′，，kl∥∥ad，，则直线则直线KL（（kl，，k′′l′′））为所求。

为所求 96［例［例2］试过］试过K点作一正平线，使之平行于点作一正平线，使之平行于P平面平面 因因PV是是P平面上特殊平面上特殊的正平线，所以过点的正平线，所以过点K（（k，，k′′）作）作KL∥∥PV，，即即作作k′′l′∥′∥PV，，kl∥∥X轴，则轴，则直线直线KL（（kl，，k′′l′′））为所为所求 97［例［例3］试过］试过K点作一铅垂面点作一铅垂面P(用迹线表示用迹线表示)，使，使之平行于之平行于AB直线直线 由于铅垂面的由于铅垂面的H投投影为一直线，故若作影为一直线，故若作铅垂面平行于铅垂面平行于AB直线，直线，则则PH必平行于必平行于ab因因此，过此，过k作作PH∥∥ab；过；过PX作作PV⊥⊥X轴，则轴，则P平平面为所求面为所求 98 当直线与垂直于投影面的平面平行时，在平面垂直的投影面上，直线的投影平行平行于平面有积聚性的同面投影992、平面与平面平行、平面与平面平行几何条件几何条件：1）、若一个平面上平面上的两相交直线的两相交直线分别平行于另一平面上平行于另一平面上的两相交直线，的两相交直线，则两平面相互平行。

2）、若两投影面垂直垂直面相互平行面相互平行，则它们具有积聚性的那组投具有积聚性的那组投影影必相互平行caa'bb'c'd'dee'ff 'gg'100 两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此则此两平面平行两平面平行 AB∥∥A1B1，，BC∥∥B1C1，，所以，平面所以，平面ABC和和平面平面A1B1C1相平行相平行 101两平行平面和第三个平面相交，其交线一定互相两平行平面和第三个平面相交，其交线一定互相平行因此，两平行平面的同面迹线一定平行因此，两平行平面的同面迹线一定平行如图所示，如图所示，P面平行于面平行于Q面，则面，则PV∥∥QV，，PH∥∥QH102例3、过点K作平面平行于△ABC解：••a'ab'bc'ck'k分析：按几何条件，只要过点K作两相交直线KL、KH对应地平行于已知平面的一对相交直线，此平面即为所求作图：KL∥AB， KH∥BCll'hh'103例4、判别如图所示的两平面是否平行解：1'12'(2)3'34'(4)a'ab'bc'c因两平面均为铅垂面，在H面的投影互相平行，所以两平面平行。

1044.5.2、直线与平面、平面与平面相交、直线与平面、平面与平面相交1、直线与平面相交、直线与平面相交 交点是直线与平面的共有点交点是直线与平面的共有点讨论：（1）求直线与平面的交点； （2）判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性 只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况1）、一般位置直线与特殊位置平面相交105例1、求直线AB与铅垂面△DEF的交点K，并判别可见性分析：因△DEF的水平投影def有积聚性，交点K是△DEF内的点，它必在def上，又因K是AB上的点，它的水平投影k必在ab上，因此k就是K的水平投影由k可求得k'a'ab'bd'de'ef 'fkk'1'1(2')2106例2、求直线AB与水平面的交点K，并判别 可见性aa'bb'k'•k由图知：圆平面是水平面，其正面投影有积聚性，可先求出V面的投影k'，再求出H面投影k由于a'k'在水平面的上方，故水平投影ak可见，kb被圆遮住的部分为不可见1072）、特殊位置直线（垂直线）与一般位置 平面相交 例3、求铅垂线DE与△ABC的交点K，并判别可见性。

•aa'bb'cc'd'e'(e)d(k)借助于辅助线的方法求出交点nn'•判别可见性：由V面的b'c'与d'e'的重影点1'(2')求出H面的1在直线DE上，2在BC上，1的Y坐标大于2，所以d'k'可见，k'e'被遮住部分不可见k'1'(2 ')12108例4、求直线MN与平面△ABC的交点aa'bb'cc'n'•m(m')nk'd'dk•作图：连c'k'与a'b'交于d'，由d'求出d，连cd交mn于kk为所求判别可见性：在H面中mn与ac的交点1（2），即是直线MN与平面上AC边对H 面的重影点，求出1'、2'；因1'的Z坐标大，所以kn可见11'(2)2'1092、平面与平面相交平面与平面相交 两平面相交，其交线为直线直线，交线是两平面的共有线共有线，同时交线上的点是两平面的共有点讨论：A、求两平面的交线（方法） 1）、确定两平面的两个共有点； 2）、确定一个共有点及交线的方向 B、判别可见性 只讨论有一个平面处于特殊位置的情况110分析：∵△ABC与△DEF交线的正面投影为m'n' △DEF的DE、EF的正面投影d'f '、e'f '与△ABC的正面投影的交点，由m'n'求出m、n，mn为可见与不可见的分界线。

判别可见性：∵V面m'n'f '在△a'b'c'的上方，∴mnf 可见，demn被△ABC遮挡部分为不可见m'mn'naa'bb'cc'dd'ee'ff '例5、平面△ABC为投影面平行面与一般位置平面△DEF相交，求交线并判别可见性111例6、求平面△ABC与铅垂面△DEF的交线KL ，并判别可见性aa'bb'cc'dd'ee'ff 'kl分析：∵△DEF是铅垂面，∴其水平投影有积聚性可直接求出k、l，再由k、l求出k'、l'，交线是可见与不可见的分界线k'l'1124.5.3 垂直垂直 直线与平面垂直的几何条件是：如果一直线垂直直线与平面垂直的几何条件是：如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面 AB、、CD为两相交直线，而为两相交直线，而KL⊥⊥AB，，KL⊥⊥CD，则，则KL⊥⊥P 如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线 1 1 直线与平面垂直直线与平面垂直 113 直线直线AB和和AC分别是分别是△△ABC平面上的水平线和正平面上的水平线和正平线，若直线平线，若直线AD垂直于垂直于△△ABC平面，则根据直角定理平面，则根据直角定理有：有：ad⊥⊥ab，，a′′d′⊥′⊥a′′c′′ 114 当平面用迹线表示时，因当平面用迹线表示时，因PH、、PV是是P面上特殊的水平线和面上特殊的水平线和正平线，所以直线正平线，所以直线KL⊥⊥P时，应当有时，应当有kl⊥⊥PH、、k′′l′⊥′⊥PV。

115［例［例1］试求点］试求点K到到△△ABC的距离的距离 分析分析：求点到平面的：求点到平面的距离，需自该点向平面作距离，需自该点向平面作垂线，并求出垂线与平面垂线，并求出垂线与平面的交点的交点(垂足垂足)，然后确定，然后确定该点到垂足之间线段的实该点到垂足之间线段的实长 1161）在）在△△ABC上任作一水平线上任作一水平线BD（（bd，，b′′d′′））和正平线和正平线AE（（ae，，a′′e′′）；）； 2）自）自K点向点向BD、、AE引引垂线，即作垂线，即作kl⊥⊥bd，，k′′l′⊥′⊥a′′e′′，，得垂线得垂线KL（（kl，，k′′l′′）；）； 1173）过）过KL作辅助面作辅助面P，，求出垂求出垂足足F（（f，，f′′）；）； 4）用直角三角形法求出）用直角三角形法求出KF的实长的实长K1f，则，则K1f即为所求即为所求的距离 118［例［例2］求］求A点到点到P平面的距离平面的距离 1）作）作AK⊥⊥P；； 2）过）过AK作正垂辅助面作正垂辅助面Q；； 3）求平面）求平面P、、Q的交线的交线MN；； 4）求）求MN与与AK的交点的交点K；； 5）求）求AK实长实长kA1。

119 在投影图上，除了可用一组几何元素或平面迹在投影图上，除了可用一组几何元素或平面迹线表示平面外，尚可用线表示平面外，尚可用平面的法线表示平面平面的法线表示平面用法线表示的平面称为线表示的平面称为法线平面法线平面法线平面的三个投影法线平面的三个投影用用n、、n′′、、n″″标注 ［例［例3］已知一个过］已知一个过A点的法点的法线平面线平面(N为法线为法线)，试将该平，试将该平面转换成由两条相交直线表面转换成由两条相交直线表示的平面示的平面 1201）过）过A点作水平线点作水平线AK，使，使ak⊥⊥n；； 2）过）过K点作正平线点作正平线KL，使，使k′′l′⊥′⊥n′′；； 3））KA、、KL两相交直线即两相交直线即为所求 1212 平面与平面垂直平面与平面垂直 如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面（图都垂直于该平面（图a）；）；反之，如果两平面互相垂直，则反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上（图定在第一个平面上（图b）。

(a)(b)122［例［例1］试过］试过EF直线作一平面垂直于直线作一平面垂直于ABCD平面平面 解：自解：自EF直线上的任一直线上的任一点点E，向，向ABCD平面作垂平面作垂线线EH，则，则FEH平面垂直平面垂直于于ABCD平面，即为所求平面，即为所求 123［例［例2］试判断］试判断△△ABC、、△△DEL两平面是否相互垂直两平面是否相互垂直1）自）自△△DEL上任一点，上任一点，如如E点，作直线点，作直线EF垂直垂直于于△△ABC；； 2）在）在EF上除上除E点外，点外，任取一点，如任取一点，如F点，检点，检查查F点是否在点是否在△△DEL平平面上由图可见，面上由图可见，F点点不在不在△△DEL平面上，故平面上，故两平面不垂直两平面不垂直 124小小 结结掌握： ★ 1、平面投影特性，尤其是特殊位特殊位置平面置平面的投影特性； ★ 2、如何在平面上确定直线和点直线和点； ★ 3、两平面平行的条件平行的条件； ★ 4、直线与平面 、平面与平面相交的解题思路：空间及投影分析，其目的找出交点或交线的已知投影；判别可见性125P21 17,22,23(1,5,6)26,36,37126。