中学数学数学公式公式变换.doc

数学公式是数学理论的主要呈现方式之一，运用数学公式变换解决问题不仅是一种数学技能，也是中学生学好数学的一个难点文章梳理了数学公式、公式变换的概念，归纳了中学数学公式变换的方法与类型，并例举若干公式变换在数学解题中的应用关键词：中学数学；数学公式；公式变换AbstractMathematical formula is one of the main presentation ways of mathematical theory. Applying mathematical formula transformation to solve problems is not only a mathematical skill, but also a difficulty for middle school students to learn mathematics well. This paper sorts out the concepts of mathematical formula and formula transformation, sums up the methods and types of mathematical formula transformation in middle school, and gives examples of the application of formula transformation in mathematical problem solving.Key words: middle school mathematics; Mathematical formula; The formula transformation目 录1引言 P52公式变换的基础知识 P62.1 数学公式与数学公式变换 P62.2 数学公式变换的要求与方法 P62.3 中学数学公式的类型 P83例举几种公式变换的应用 P93.1 完全平方公式的变换 P93.2 数列递推公式的变换 P93.3 组合数公式的变换 P113.4 基本不等式的变换 P123.5 三角公式的变换 P133.6 面积公式的变换 P144结论 P15致谢 P16参考文献 P173例谈公式变换在中数解题中的应用1 引 言在数学知识体系中，数学公式是基础且重要的一部分，它是数学概念的延伸与发展，是数学定理的集中表现。

毫不夸张地说，公式是数学知识的精华所在，也是解决数学问题的重要途径之一随着数学问题的日新月异，问题类型与题干条件的不断变更，简单地运用基本公式来解题已经远远不够面对如今复杂的中学数学问题，要想找到答题的捷径，学会公式变换非常有必要公式变换，顾名思义就是在不改变公式本质的前提下对公式进行适当的变换，灵活运用公式变换后的形式解决各式各样的难题在学习公式变换的灵活应用中，我们对公式的认识已经不能仅仅停留在基础和表面，必须深刻地理解公式的意义和实质，寻找最巧妙的方法，做最适当的变换，来解决复杂的数学难题学会公式变换，不仅仅对学习数学有极大的帮助，而且对自我的提升也有一定的促进作用一方面，在中学数学中，利用公式变换可以迅速且准确地找到解题突破口，比如最经常遇到的几何中的面积公式、恒等变换中的三角公式、灵活的基本不等式、复杂的数列递推公式等，这一部分的问题可以说是中学数学学习过程中的重点及难点，所以掌握公式变换对学习中学数学来说，很可能会获得事半功倍的效果另一方面，公式变换是对原有的基本公式进行灵活、适当的变换，这就需要考验学生的思维能力，面对不同的数学题时，该如何去思考、去发现解题关键点，该运用哪种公式变换的方式才能更快更准确地找出答案。

所以，通过公式变换的学习，不仅能够帮助学生更好地解题，还可以改变学生原有的思维定势，有效调动学生学习的积极性和培养学生的探索精神和创新精神因此，在中学数学课堂中，培养学生公式变换的能力理应成为中学教师着重关注的教学模块，为了更好地帮助学生学习数学，教师也应积极寻找和总结出自己对各种公式的理解与变换方法，正所谓：“工欲善其事，必先利其器”，正因为中学生自身的能力还不够成熟，所以教师更需要适当地点拨处在发展阶段的学生，从而帮助他们更好地学习2 公式变换的基础知识2.1 数学公式与数学公式变换数学公式是数学体系中尤为重要的一部分，客观来说，数学公式是人们通过研究自然界物与物之间存在的某些联系，进而对其进行分析、归纳与总结，从而得到一定规律，并通过一定的方式表达出来的一种表达方法它是表征自然界中不同事物数量之间等或不等的联系，它确切地反映了事物内在和外在的关系，是我们从一种事物到达另一种事物的依据，同时也对我们在学习生活中理解事物的本质和内涵起着重要作用数学公式的变换是指在原有公式的基础上，通过改变公式的表达形式，而不改变公式的本质概念数学公式的变换是为了在符合题意的情况下，力求解题过程与方法的最优化，从而对原来的基本公式进行一系列恰当的方法达到变换的结果，以找到解题的突破口。

2.2 数学公式变换的要求与方法（一）公式变换的要求（1）公式变换要“有矢”公式之所以要进行变换，就是为了更贴合问题情境，更好地解决问题，这也是公式变换最终要体现的应用目的在做题的过程中，我们应先认真审题，仔细思考，有针对、有方向、有目的地选用相应的公式进行变换，从而提高公式运用的准确度和效能如果没有一定的方向和目的，随意对公式进行变换，只会大大降低解题效率，这也就失去了公式变换的意义所以，公式变换一定要做到有的放矢2）公式变换要“有据”数学公式往往是由一系列字母和符号组合而成的，其中，字母可以代表数、式以及函数等有数学意义的式子，这也就要求公式变换要有一定的依据数学中很讲究是否有意义，如果式子没有意义，对它进行变换也就毫无意义所以，公式变换要在式子有意义的情况下进行，如移项、分配、代换、迭代、重组、取特殊值等，这一系列的变换方法都离不开有意义的公式所以，公式变换要有所依据3）公式变换要“有益”公式变换的作用不单单停留在表面上，它不仅仅体现在对基础公式功能的拓展，更体现在公式变换对数学思想的提升作用，学生通过公式变换的学习，将有效提高自我思考以及创新能力，而且能够通过公式变换更深刻地理解公式的本质和内涵，也就是说，通过变换从而换一个角度更清楚地理解公式本质，更有益于体现公式的内涵。

所以，公式变换要有所益处二） 公式变换的方法对一个基本公式进行变换的方法有很多，如移项、分配、结合、代换、迭代、配凑、逆用等1）移项这种方法就是将一个或几个数、字母或式子从左边移到右边，或者从右边移到左边，所移动的式子都要进行变号，这样才能保证等号两边值不变一个式子是否要进行移项，首先要观察式子的特点，如果等号左右出现相同项，进行移项可以将式子简化以方便计算形如：，等号左右都出现，，数字，则进行移项后得到：，即，从而将一个复杂繁琐的算式化简成简单又美观的算式2）分配分配最常见的就是分配律的应用，举个简单的例子，，这道计算题如果直接先对括号里的分数进行计算也尚未不可，只不过计算过程相当繁琐，如果认真观察式子，就会发现-24是前面四个分数的分母的公倍数，所以利用乘法分配律的方法对该式子进行变换运算，将有效节省计算时间，并能准确又美观地得到最后的答案即：原式，显然，利用乘法分配律变换式子之后，算式就变得一眼能算出答案了3）结合结合包括加法结合律和乘法结合律加法结合律用字母表示为，如，通过结合律的方式，先计算，再计算，能够更快且准确地计算出结果同样的，乘法结合律用字母表示为，如，显然，先计算再乘以12比较容易。

所以，结合的方法对计算具有上述特征的算式的帮助很大，也就是要在式子具有能够结合的特点的情况下才能应用该方法4）代换代换在中学数学中并不陌生，最常见的则是“1”的代换，常常运用在函数当中，如指数函数中、对数函数中以及三角函数中5）迭代迭代也叫辗转法，是一种重复活动，每一次对过程的重复都称为一次“迭代”，通过反复迭代，可以归纳总结出一定的规律，从而运用到问题中6）配凑法配凑法是通过对原式进行适当变换后，凑成一种公式模式再套用，这种方法的优点是使思维打破静态，激发和培养学生的发散思维配凑法常用在求函数解析式中，如：已知，求的解析式这道数学题条件很简单，却往往让许多学生无从下手，如果仔细观察的话，我们可以发现，所以不妨令，即，又因为，即定义域为，所以的解析式为这种做法正是利用公式的配凑法，凑1减1，从而找到内在联系以解决问题7）逆用公式，即运用逆向思维，这也是一种打破思维定势的有效方法，它改变了头脑思考的角度，从反向考虑问题，另辟蹊径，往往能得到意想不到的结果2.3 中学数学公式的类型在中学数学学科内容中，涉及到的公式非常多1. 在关于数这块知识中，有三角函数公式中正余弦、正切的和差角、二倍角公式，数列递推公式中等差、等比数列的公式，基本不等式，完全平方公式等。

2. 在关于几何这一块中，我们学习了圆的公式、弧长的公式，几何面积公式中立体图形（圆柱、圆锥、三棱锥、球等）的面积公式、圆的面积公式、扇形的面积公式等3. 在统计概率中有平均数、标准差、方差等公式显而易见，无论是哪一模块的数学内容，都离不开公式的应用，可见数学公式是数学体系中非常关键重要的内容，学生若能在理解每一种公式类型的基础上，再加以变换、应用，方能在数学这门学科中更上一层楼，并获得学习数学的乐趣和信心3 例举几种公式变换的应用3.1 完全平方公式的变换对于完全平方公式，有以下几种变换形式：1.2.3.4.完全平方公式的逆推形式例一：已知，，求的值解：因为，，所以本例题采用整体思想法，巧用上述第二种完全平方公式的变形方法，这比直接展开求值简单很多例二：解方程解：方程两边同时除以2，得配方得即，所以，本例题采用的是配方法求解一元二次方程，而配方法就是利用完全平方公式，从而达到简化方程的效果以便于求解3.2 数列递推公式的变换变换数列递推公式的主要目的是为了将一个数列的通项公式转化成等差数列、等比数列或有一定规律所在的数列形式，从而使得等差或等比数列的相关公式得以应用，以更好地解决问题。

接下来举几个典型的例子加以说明例三：已知数列中，，，求的通项公式这道题中出现了分式，对于这种类型的题目，常采用“倒数法”对原通式进行变换取倒数变换后：，显然是首项为，公差为3的等差数列，所以，则能够顺利解出这道数列题，主要就是对题干中的递推公式采用“倒数变换法”，学生在做这类型题目时，应注意往“倒数法”这一方向进行思考，才能获得最适当、便捷的方法与技巧来解决问题当遇到和这两种递推公式时，很多学生都觉得很复杂，但实则简单我们常将其变换为：和，再分别利用累加法和累积法，就可以迅速又准确地得到答案所以，针对这类数列题，只要掌握了必要的技巧，就会有意想不到的收获例四：在数列{}中，，当时，，求数列的通项公式解：联立与，再相减即可得到变换递推公式：因此，{}是以为首项，以5为公比的等比数列所以，，即，所以综上，当遇到型递推公式时，先按照原式写出前一项，即，联立两式，相减得：，可得到{}是等比数列，再顺势往下做，便能正确求得最后的答案等差、等比数列是中学里最基本的两种数列类型，是数列中的重要部分，也是每年考试考查的热点之一，一般题中所给的递推公式主要是为了考察学生是否。