双曲线及其标准方程教案.pdf

双曲线及其标准方程一．教学目标：(1) 知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；(2) 过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；(3) 情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题二教学重点双曲线的定义三教学难点：双曲线方程的推导四教学过程：（一）复习回顾定义平面内与两个定点R、E的距离之和等于常数2aC2a>IFiFz|)的点的轨迹表达式标准方程I MFi I+ I MF2 I= 2a(2a >I FiF2 I) 2 2 x-—+义-＝1(a>b>O) a2. b2 2 X 2 上＋—＝1(a>b>O)矿矿图形^_- y 噜,)\ V I X F,(0\-c) 焦点F; (-c,0), F2 (c, 0) F;(O,-c),Fi O,c) a,b,c的关系c2 =a2-b2 （二）双曲线的定义：1.问题：若把椭圆定义中＂距离之和“改为＂距离之差”，那么动点的轨迹是什么？它的方程是怎么样的呢？2.双曲线的定义平面内与两定点F,,F2的距离的差的绝对值是常数（小千IF,F2 I)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F;,F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．3简单演示（使用几何画板）．4. IIMF;|—|MF211= 2a C *) 注意：0 (＊）式中是差的绝对值，在0<2a＜闭E|条件下：I MF; I - I MF2 I= 2a时为双曲线的一支（含E的一支）; IMF21-IM们＝2a时为双曲线的另一支（含F，的一支）．＠当2a＝团E|时，IIMF; 1-1 MF2 II= 2a表示两条射线＠当2a＞闭E|时，IIMF; 1 - 1 MF2 II= 2a不表示任何图形（三）．双曲线标准方程的推导．现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．F F FF 标准方程的推导(1)．建系设点：取过焦点P2的直线为x轴，线段12的垂直平分线为y轴（如图所示）建立直角坐标系，设M(x,y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c> 0)，那么F;,F2的坐标分别是肛－c,0),F2(c,O) 又设点M与Fl、F2的距离的差的绝对值为2a.(2)点的集合：由定义可知，双曲线就是集合：P={MIIMF; HMF211=2a}={MIMF;HMF2I＝土2a)(3)代数方程IMF,I气(x+c)2+y2,lM凡1＝扣－c）2+y2．．奴(x+c)2寸－J（x-c)2+y2 ＝士2a(4)化简方程：将这个方程移项，使式子两边平衡，再两边平方得：(x+c)2+y2=4a五4a成：勹了了了＋（x—c)2+)/2 ，移项整理两边平方可得：(c2-a2)x2 -a炽＝a2(c2-a2)（我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化，使其简洁易记）由双曲线定义，2c>2a即c>a,所以2c-2a>O设c2—a2=b2(b>0)，代入上式2 2 X y 沁2_a2y2=a沪—-—= l 得：. 即矿b2 ，这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程两种标准方程的比较（引导学生归纳）：(1)了歹＝1(a>O,b>O)表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是：肛－c,O),Fi{c,O)，这里c2=a2+b2. (2)丁了＝1(a>O,b> O)表示焦点在y轴上的双曲线，焦点是：F;(O,-c), F2(0,c) ，这里c2=a2 +b2.（只需将(1)方程的x,y互换即可得到）强调指出：(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上（这从建立直角坐标系可以看出来）．（2）双曲线标准方程中，a>O,b>O,但a不一定大于b : (3)如果X项的系数是正的，那么焦点在x轴上：如果y项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别千椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．（4）双曲线标准方程中a,b,c的关系是c2=a2 +b2 ，不同于椭圆方程中c"=a" - b" . （四）．例题分析：练习：写出下列双曲线的焦点坐标：y (1) X 2 y 2 — — —= 1 16 9 X2 y2 (2)— — —= 1 9 16 y2 x2 (3)— -—= 1 16 9 y2 x2 (4)— ——= l 9 16 例l．已知双曲线的焦点为Fl(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到Fl 、F2的距离的差的绝对值等千6,求双曲线的标准方程．X ---?'.,=1 (a>O,b>O) 解：根据双曲线的焦点在x轴上，设它的标准方程为：a2 b2 ·:2a=6,c = 5, : .a = 3,c = 5 :.b2 = 52-32 一所以所求双曲线的标准方程X 2 y 2 —--—=1 为：916 （五）小结椭圆定义方程I MF; I+ I MF2 I= 2a(2a >I F;F2 I) l __ 沪庐+ 又2ay 2 X 2 —+—= 1 矿b2双曲线II MF; 1- 1 MF2 II= 2a(2a b>O c2 = a2-b2 a>O,b> O c2 = a2 + b2 （六）作业课本R08习题8.3第1,2,4思考题：当0~0 ~ 180。