2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理(含解析).doc

2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)一、选择题（每小题5分，共50分）1．甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别为，，，现人各投篮次，是否投进互不影响，则人都投进的概率为（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】人都投进的概率，故选．2．抛掷颗骰子，所得的颗点数相同的概率为（）． A． B． C． D．【答案】B【解析】抛掷颗骰子所出现的不同结果数是，事件“投掷两颗骰子，所得的点数相同”所包含的基本事件有，，，，，共六种，故事件“掷颗骰子，所得点数相同的概率是．”3．袋中有个大小完全相同的球，其中个黑球，三个白球．不放回地连续取次，则一直在第次取到黑球的条件下，第次取到白球的概率是（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”：则，，所以，即第次取到黑球的条件下，第次取到白球的概率是．故选．4．在支铅笔中，又支正品和支次品，从中任取支，则恰好取到支正品支次品的概率是（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】从支铅笔中取支铅笔，共有种可能，其中支正品支次品包含种可能，所以事件“恰好取到件正品支次品”的概率是，故选．5．四棱锥的底面为菱形，侧棱与底面垂直，则侧棱与菱形对角线的关系是（）．A．平行 B．相交不垂直C．异面垂直 D．相交垂直【答案】C【解析】∵底面，平面，∴，又∵底面为菱形，∴，∴平面，∴，又，异面，所以侧棱与的关系是异面垂直，故选．6．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）．A．圆柱 B．圆锥 C．三棱锥 D．三棱柱【答案】A【解析】圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形，故选．7．若空间中四条直线、、、，满足、、，则下列结论一定正确的是（）．A． B．C．、既不平行也不垂直 D．、位置关系不确【答案】D【解析】∵，，，∴，，∴与相交、平行、异面都有可能，即、的位置关系不确定，故选．8．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积等于（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，底面是直角边分别为，的直角三角形，三棱柱的高为，所以此几何体的表面积．故选．9．正方体，，，为别是，，的中点，则正方体过，，三点的截面图形是（）．A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】D【解析】如图，过，，的截面是六边形，故选．10．设四棱锥中，底面是边长为的正方形，且平面．过直线且垂直于直线的平面交于点，如果三棱锥的体积取得最大值，则此时四棱锥的高为（）．A． B． C． D．不确定【答案】C【解析】以为坐标原点，、、所在直线为，，轴建立如图所示坐标系，设，因为在上，所以设，代入有，因为平面，∴，则，代入得．所以，所以当体积取到最大值时，故选．二、填空题（每小题5分，共30分）11．棱长为的正方体的内切球表面积为__________．【答案】【解析】正方体的棱长等于其内切球的直径，所以其内切球半径，故表面积．12．盒子中装有编号为，，，，，的个球，从中任意取出个，则这个球的编号之和为偶数的概率是__________．【答案】【解析】从个球中任意取出个，共有种可能，若个球的编号之和为偶数，则取出个球的编号都是奇数或都是偶数，共有种可能，故个球编号之和为偶数的概率是．13．随机变量的分布列如下表，则此随机变量的数学期望是__________．【解析】．14．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为，服用这种新药的个人中恰有人被治愈的概率为__________（用数字作答）．【答案】【解析】恰有人被治愈的概率．15．直三棱柱的体积为，，分别是侧棱，的点，且，则四棱锥的体积为__________．【答案】【解析】∵，∴，∴，又∵，故．16．将个半径的球切割打磨成四个同样大小的小球，则小球半径的最大值为__________．【答案】【解析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为，设正四面体的外接球半径为，则，解得：，∴，．故本题答案为：．三、解答题（共80分）17．袋中装有大小相同的个红球和和个白球．（Ⅰ）从中任意取出个球，求这个球都是红球的概率．（Ⅱ）从中任意取出个球，求恰有个是红球的概率．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）任取个球总的基本事件个数：，个球都是红球包含的基本事件个数为：，故从中任取个球，这个球都是红球的概率．（Ⅱ）任取个球，总的基本事件个数是：，恰有个红球包含的基本事件个数是：，故从中任取个球，恰好有个红球的概率．18．如图，四棱锥满足面，．，．（Ⅰ）求证：面面．（Ⅱ）求证：面．【答案】见解析【解析】（）证明：∵平面，平面，∴，又∵，∴，∵，∴平面，又平面，∴平面平面．（Ⅱ）证明：取中点为，∵，，，是中点，∴是矩形，，，∴，在中，，，，∴，即，又∵平面，平面，∴，∴平面．19．某商场经销某商品，顾客可以采用一次性付款或分期付款购买，根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是，经销件该产品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润元；若顾客采用分期付款，商场获得利润元．（Ⅰ）求位购买商品的顾客中至少有位采用一次性付款的概率．（Ⅱ）若位顾客每人购买件该商品，求商场获得利润不超过元的概率．（Ⅲ）若位顾客每人购买件该商品，设商场获得的利润为随机变量，求的分布列和数学期望．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少有位采用一次性付款”则事件的对立事件是“位顾客中没有人采用一次性付款”，则：．（Ⅱ）记商场获得利润不超过元为事件，事件包含位顾客中人均一次性付款和位顾客中只有人一次性付款．∴．（Ⅲ）可取，，，，，，，．所以的分布列为数学期望．20．四棱锥中，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直，底面是面积为的菱形，为锐角，为的中点．（Ⅰ）求证：面．（Ⅱ）求证：．（Ⅲ）求三棱锥的体积．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：连结交于，则是中点，∵在中，是的中点，是的中点，∴，又平面，平面，∴平面．（Ⅱ）证明：作，则为中点，连结，∵底面是菱形，边长为，面积为，∴，∴，，∴是等边三角形，∴，又∵，∴平面，∴．（Ⅲ）．21．某项“过关游戏”规则规定：在地关要抛掷颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数和大于，则算过关．（Ⅰ）此游戏最多能过__________关．（Ⅱ）连续通过第关、第关的概率是__________．（Ⅲ）若直接挑战第关，则通关的概率是__________．（Ⅳ）若直接挑战第关，则通关的概率是__________．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ），，故此游戏最多能过关．（Ⅱ）第一关，抛掷一颗骰子，出现点数大于的概率：．第二关，抛掷次骰子，如果出现的点数和大于，就过关，分析可得，共种情况，点数小于等于的有：，，，，，，共种，则出现点数大于的有种，故通过第二关的概率为．∴连续通过第关，第关的概率是．（Ⅲ）若挑战第关，则掷次骰子，总的可能数为种，不能过关的基本事件为方程，其中，，，，，，的正整数解的总数，共有种，不能过关的概率为．故通关的概率为．（Ⅳ）若挑战第关，则投掷次骰子，总的可能数为种，不能通关的基本事件为方程，其中，，，，的正整数解的总数，当，，，共有种，当时，种，当时，种，当时，种，当时，种．当时，种．当时，种．当时，种．所以不能过关的概率为．能通关的概率为．。