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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟378一、选择题下列每题给出四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．问题:1. 若函数f(x)的二阶导数连续，且满足f"(x)-f(x)=x，则=______． A．f'(π)f'(-π) B． C．f(π)f(-π) D． 答案:B[考点] 定积分计算． 利用对称区间上奇函数的定积分为零的性质及定积分的分部积分法即可． 解： 移项，得． 故应选B． 问题:2. 考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质： ①f(x，y)在点(x0，y0)处连续． ②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续． ③f(x，y)在点(x0，y0)处可微． ④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在． 若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有______． A． B． C． D． 答案:A[考点] 二元函数在一点处偏导数连续、可微、连续、偏导数之间存在的关系． 由二元函数在一点处的连续性、可偏导性、可微性及偏导数的连续之间的关系便可得结论． 解：若f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续，则f(x，y)在(x0，y0)处可微，而可微又必连续，因此有：，故A选项正确． 本题的典型错误是选C，导致错误的原因是：对于二元函数f(x，y)而言，在(x0，y0)处由偏导数均存在推不出f(x，y)在(x0，y0)连续的结论，即偏导数存在与连续之间没有必然的联系，这一点与一元函数不同．如函数在(0，0)处，f'x(0，0)=0，f'y(0，0)=0，但f(x，y)在(0，0)不连续． 故应选A． 问题:3. 设n为自然数，则=______．A.nB.2nC.3nD.4n答案:D[考点] 定积分计算． 先求出函数的导数，由周期函数的积分性质再去掉绝对值符号，直接计算定积分即可． 解：由于，令，则 注意到∣sint∣是以π为周期的函数， 故应选D． 问题:4. 设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则______． A．当=0时，必有=0 B．当存在时，必有=0 C．当=0时，必有=0 D．当存在时，必有=0答案:B[考点] 函数有界、可导及函数极限、导数极限的关系． 本题可用拉格朗日中值定理直接证明选项B正确；还可通过举反例用排除法得结论． 解：对任意的a∈(0，+∞)，对y=f(x)在区间[a，x]上使用拉格朗日中值定理，得 因为f(x)在[a，x](0，+∞)上有界，所以f(x)-f(a)有界． 故B正确． 排除法： 设，则，所以f(x)在(0，+∞)内有界，由于 可见f(x)在(0，+∞)内可导．但不存在，，排除A、D项． 又设f(x)=sinx，则f(x)在(0，+∞)内有界且可导，，但，进一步排除C项． 故应选B． 问题:5. 极限=______． A． B． C． D． 答案:A[考点] 二重积分定义． 将所求极限转化为二重积分直接计算便可． 解：由二重积分定义及函数x2siny在区域0≤x≤1，0≤y≤上的连续性可知： 故应选A． 问题:6. 对数曲线y=lnx上曲率半径最小的点是______． A． B． C．(1，0) D．(2，ln2) 答案:B[考点] 求函数最小值点． 利用公式先求出曲率半径表达式，再求其最小值点． 解：因为，故 所以 令R'=0，得驻点(因为x＞0)． 当0＜x＜时，R'＜0，所以R(x)单调减少；当＜x＜+∞时，R'＞0，因此R(x)单调增加． 可见是曲率半径R的唯一极小值点，由题意知就是R的最小值点，又，从而知曲线在点处曲率半径最小． 故应选B． 问题:7. 设向量组α1，α2，…，αm和向量组β1，β2，…，βt的秩相同，则正确结论的个数是______． ①两向量组等价． ②两向量组不等价． ③若t=m，则两向量组等价． ④若两向量组等价，则t=m． ⑤若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βt线性表示，则两向量组等价． ⑥若β1，β2，…，βt可由α1，α2，…，αm线性表示，则两向量组等价． A.5B.4C.3D.2答案:D[考点] 向量组的等价． 利用向量组等价的定义和常用结论． 解：若两个两向量组等价，则秩相同，但反之，未必成立． 反例：向量组(Ⅰ)只含一个向量，向量组(Ⅱ)只含一个向量．则显然(Ⅰ)和(Ⅱ)的秩均为1，但不等价．若在秩相同的条件下，一个向量组可由另一个线性表示，则两个向量组等价，故⑤，⑥正确． 故应选D． 问题:8. α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T．c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=______． A． B． C． D． 答案:C[考点] 非齐次线性方程组解的结构． 根据非齐次线性方程组解的结构，依次求出其导出组的基础解系和自身的一个特解即可． 解：根据线性方程组解的性质，可知 2α1-(α2+α3)=(α1-α2)+(α1-α3) 是非齐次线性方程组Ax=b导出组Ax=0的一个解．因为r(A)=3，所以Ax=0的基础解系含4-3=1个解向量，而2α1-(α2+α3)=(2，3，4，5)T≠0，故是Ax=0的一个基础解系．因此AX=b的通解为 α1+c(2α1-α2-α3)=(1，2，3，4)T+c(2，3，4，5)T， 即C选项正确．对于其他几个选项，A选项中 (1，1，1，1)T=α1-(α2+α3)， 选项B中 (0，1，2，3)T=α2+α3， 选项D中 (3，4，5，6)T=3α1-2(α2+α3)， 都不是Ax=b的导出组的解．所以A、B、D项均不正确． 故应选C． 二、填空题问题:1. 设f(x)是三次多项式，且有．则______．答案:[考点] 未定式极限． 由题设条件先求出f'(2a)及f'(4a)；再求出f(x)的表达式，从而得所求极限． 解：由知f(2a)=0，于是得 同理，由知f(4a)=0，进而有f'(4a)=1， 又因为f(x)是三次多项式，x=2a及x=4a是f(x)的两个零点，所以可令 f(x)=k(x-2a)(x-4a)(x-a)， 则 f'(x)=k[(x-4a)(x-a)+(x-2a)(x-a)+(x-2a)(a-4a)]． 由得a=3a，于是 f(x)=k(x-2a)(x-3a)(x-4a)． 又因为，知，故 f(x)=(x-2a)(x-3a)(x-4a)， 因此． 故应填．问题:2. 设函数y=y(x)由方程2xy=x+y所确定，则dy∣x=0______．答案:(ln2-1)dx[考点] 隐函数的微分． 在已知方程两边对x求导(注意y是x的函数)，解出y'，再将y'代入dy=y'dx中即可． 解：在方程2xy=x+y两边对x求导，得 将x=0代入原方程得y=1；再将x=0，y=1代入(*)式，有 所以=ln2-1．即． 故应填(ln2-1)dx． 问题:3. 微分方程xy'=y(lnxy-1)的通解是______．答案:[考点] 一阶微分方程求解． 该方程不是已讲过解法的方程类型．注意到方程中有xy'+y项和lnxy项，因此联想到是否可以将xy作为新变量． 解：原方程改写为 xy'+y=ylnxy=xylnxy． 设xy=u，方程变为 由变量分离法得，所以lnlnu=lnx+C，进一步得到lnu=C1x，因此u=eC1x，即 故应填 问题:4. 当0≤x≤π时，曲线的弧长等于______．答案:4[考点] 求平面曲线的弧长． 利用公式直接计算即可． 解：因为y'(x)=，所以弧微分dS为 故所求弧长 令，则 故应填4． 问题:5. 设f(x)可微，且满足，则f(x)=______．答案:cosx-sinx[考点] 变限积分函数求导；二阶线性常系数微分方程求解． 由题设条件，利用变限函数求导法得微分方程：f"(x)+f(x)=0，且f(0)=1，f'(0)=-1， 解该方程即可得f(x)． 解： 于是原方程变为两边对x求导，得 1=f(x)-(-x)f(-x)·(-1)--xf(-x)·(-1)， 整理得1=f(x)-，两边再对x求导，得0=f'(x)-f(-x)·(-1)，即 f'(x)=-f(-x)，f'(-x)=-f(x)． (*) 上式两边对x求导，得f"(x)=f'(-x)． (**) 由(*)，(**)得f"(x)=-f(x)．即f"(x)+f(x)=0．解此方程得 f(x)=C1cosx+C2sinx． 注意到f(0)=1，f'(0)=-1，又因为f(0)=C1，f'(0)=C2，所以C1=1，C2=-1．故f(x)=cosx-sinx． 故应填cosx-sinx． 问题:6. 设A为3阶方阵，如果A-1的特征值是1，2，3，则∣A∣的代数余子式A11+A22+A33=______．答案:1[考点] 代数余子式，属难点题型． 注意到A11+A22+A33恰为伴随矩阵A*的主对角线元素之和，即A*的迹，再由结论：方阵的迹等于特征值的和，只需求出A*的特征值即可． 解：因为A-1的特征值为1，2，3，所以∣A-1∣=1×2×3=6，从而∣A∣=． 又因为AA*=∣A∣E=E，所以A*=A-1．故A*的特征值为 所以A11+A22+A33= 故应填1． 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．问题:1. 已知，且f(0)=g(0)=0，试求．答案:解：由f'(x)=知， 又f(0)=0，代入表达式，有C=0，故f(x)= 同理，由g'(x)=及g(0)=0知g(x)=ln(1+x)．于是 由洛必达法则得 即ln(x+)～x(x→0)，故 [考点] 未定式的极限． 先积分，求出f(。