山东省烟台市牟平区文化第一中学2020-2021学年高三数学文联考试卷含解析.docx

山东省烟台市牟平区文化第一中学2020-2021学年高三数学文联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义为两个向量，间的“距离”，若向量，满足：①；② ；③对任意的，恒有，则（      ）A．（A）     B．（B）    C．    D．参考答案：C略2. 已知集合，则(　　)A．A∩B＝?    B．A∪B＝R   C．       D．参考答案：B略3. 复数等于（A）         (B)         ( C)          ( D) 参考答案：D，选D. 【解析】略4. 已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围是(　　)A．[2－，2＋]   B．(2－，2＋)      C．[1,3]     D．(1,3)参考答案：B略5. 在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(     )A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②参考答案：D【考点】简单空间图形的三视图． 【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6. 已知全集，，，则集合等于（    ）A．      B．C．               D．参考答案：B7. 已知函数，则函数的图象大致是           （　　）参考答案：A8. 下列命题错误的是    A. 命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为，则”；B. 若命题，则；C. 中，是的充要条件；D. 若向量满足，则与的夹角为钝角.参考答案：D与的夹角为时，，但与的夹角不是钝角,所以D错9. 已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)=,则随机变量X落在区间(1,2)内的概率为(     )A．e2+e      B．      C．e2-e      D．参考答案：D10. 由等式定义映射，则（    ）A.10         B.7       C. -1         D.0参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f（x）=ax﹣x2（a＞1）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是　　．参考答案：1＜a＜考点： 函数的零点与方程根的关系．专题： 综合题；导数的综合应用．分析： x＜0时，必有一个交点，x＞0时，由ax﹣x2=0，可得lna=，构造函数，确定函数的单调性，求出1＜a＜时有两个交点，即可得出结论．解答： 解：x＞0时，由ax﹣x2=0，可得ax=x2，∴xlna=2lnx，∴lna=，令h（x）=，则h′（x）==0，可得x=e，∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减，∴h（x）max=h（e）=，∴lna＜，∴1＜a＜时有两个交点；又x＜0时，必有一个交点，∴1＜a＜时，函数f（x）=ax﹣x2（a＞1）有三个不同的零点，故答案为：1＜a＜．点评： 本题考查函数的零点，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12. 已知向量，向量在向量方向上的投影为，且，则          ．参考答案：5设向量与间的夹角为.∵∴∵∴∵向量在向量方向上的投影为∴，即∴∴故答案为. 13. 在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是__________．参考答案：设满足的点的坐标为，由题意有： ，整理可得： ，即所有满足题意的点组成的轨迹方程是一个圆，原问题转化为圆与圆有交点，据此可得关于实数的不等式组：，解得： ，综上可得：实数的取值范围是.14. 设奇函数的定义域为R，且周期为5，若=-1，则=             . 参考答案：215. 已知数列{｝的前n项和为Sn，且Sn十1＝2，则使不等式  成立的n的最大值为＿＿＿＿．参考答案：416. 定义在R的函数y=，如果函数图象上任意一点都在曲线y2=|x|上，则下列结论正确的是    __        （填上所有正确结论的序号）  ①f(0)=0；   ②函数y=值域为R；   ③函数y= 是奇函数；   ④函数y=的图像与直线x=1有且仅有一个交点；   ⑤函数y= 的图象与直线y=1最多有两个交点参考答案：①④⑤①当时所以成立;②函数的图像可能都在轴上方，错误;③函数可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能非奇非偶;④根据函数定义，函数的图像与直线有且仅有一个交点.正确;⑤函数的图像与直线可能有一个，两个，也可能没有交点.17. 在1，2，3，4，5这五个数中，任取两个不同的数记作，则满足有两个零点的概率是   ▲    ． 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数，（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在，使得，求实数的取值范围参考答案：19.  如图，在直三棱柱中，，，点D是AB的中点.（1）求证：；（2）求证：∥平面; （3）求异面直线与所成角的余弦值.参考答案：解法一：（Ⅰ）直三棱柱，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ，又是直三棱柱，所以， ………2分面，面   ；…….4分（Ⅱ）设与和交点为E，连结DE，D是AB的中点，E是的中点，…….7分  平面，平面，平面；…9分（Ⅲ），为与所成的角…11分，在中，，，，异面直线与所成角的余弦值为………………………..14分解法二： 直三棱柱，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，，且在平面ABC内的射影为BC，；….3分AC，BC，两两垂直………………………………………………4分如图，以C为坐标原点，直线AC，BC，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，…6分20. 在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣1，0），其倾斜角是α，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程是ρ2=6ρcosθ﹣5．（Ⅰ）若直线l和曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设B（x，y）为曲线C任意一点，求的取值范围．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C的极坐标方程，可得曲线的直角坐标方程，联立直线l的方程，消去y，运用判别式大于等于0，可得斜率的范围，再由斜率公式，可得倾斜角的范围；（Ⅱ）求得曲线C的参数方程，运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程转化成直角坐标方程是C：x2+y2﹣6x+5=0，由题意知直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+1），其中k=tanα．联立消去y得（1+k2）x2+2（k2﹣3）x+k2+5=0．因为直线l和曲线C有交点，所以△=4（k2﹣3）2﹣4（1+k2）（k2+5）≥0，即，即，所以．（Ⅱ）曲线C：x2+y2﹣6x+5=0即（x﹣3）2+y2=4的参数方程是（θ为参数），所以点B（x，y）的坐标可以写成（3+2cosθ，2sinθ），所以，因为sin（θ+）∈[﹣1，1]，所以x+y∈[3﹣4，3+4]．21. (本题满分１４分)已知为公差不为零的等差数列，首项， 的部分项、、…、恰为等比数列，且，，.（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）若数列的前项和为，求.参考答案：（1）为公差不为，由已知得，，成等比数列，∴  ，……………………………1分得或   ……………………………2分若，则为 ，这与，，成等比数列矛盾，所以，                                 ……………………………4分所以.   ……………………………5分（2）由（1）可知∴     ……………………………7分而等比数列的公比。

                 ……………………………9分因此，∴                     ……………………………11分∴   ……………………………14分22. 已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】整体思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可．（2）作出棱柱的高，结合三棱柱的体积公式进行求解即可．【解答】解：（1）因为侧棱AA′⊥底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱AA′的长，而底面三角形ABC的面积S=AC?BC=6，周长c=4+3+5=12，于是三棱柱的表面积S全=ch+2S△ABC=132．（2）如图，过A作平面ABC的垂线，垂足为H，A′H为三棱柱的高． 因为侧棱AA′与底面ABC所长的角为60°，所以∠A′AH=60°，又底面三角形ABC的面积S=6，故三棱柱的体积V=S?A′H=6×=30．【点评】本题主要考查三棱柱的表面积和体积的计算，根据直三棱柱和斜三棱柱的特点和性质，结合棱柱的表面积和体积公式进行计算是解决本题的关键．。