奥数：方阵问题整理.docx

教学内容:第十一讲方阵问题在日常生活中,我们经常见到把人或物排成正方形的形状,比方用花盆摆成正方形,同学们要参加运动会入场式,要进展队列操练,解放军排着整齐的方队承受检阅等,无论是训练或承受检阅,都要按一定的规那么排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题掌握这类问题的解题规律,可以提高我们的解题能力,培养思维的灵活性今天我们将共同研究和分析这类问题 士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,假设行数与列数都相等,恰好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)在摆放的方阵中如果是实心的,我们叫它中实方阵;如果这个方阵是空心的,我们叫它中空方阵 观察中实方阵,我们不难发现方阵的根本特点: ①方阵的每行物体个数与每列物体个数相等 ②去掉横竖各一排时,有且只有1个物体是同时属于被减去的一行和一列 ③如果把最外圈形成的正方形叫第一层,再向里一圈叫第二层的话,会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2,相邻两层相差总个数为8 ④每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系 四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4 每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1 ⑤中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数 观察中空方阵,我们不难发现方阵的根本特点: 中空方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-中空方阵的层数)×中空方阵的层数×4 下面我们就利用以上特点进例1 参加军训的学生进展队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列,如果去掉一行一列,请问:要去掉多少名学生?还剩下多少名学生? 分析与解答:如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列,从图中可以看出正方形队列的特点: (1)正方形队列每行、每列的人数相等,因此总人数=每行人数×每列人数。

(2)去掉横竖各一排时,有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的,如图中点A所示因此去掉的总人数=原每行人数×2-1,或去掉的总人数=减少后每行人数×2+1 此题中所求,即去掉的人数=7×2-1=13(人) 或去掉的人数=(7-1)×2+1=13(人) 还剩的人数=(7-1)×(7-1)=36(人) 或还剩的人数=7×7-13=49-13=36(人) 答:如果去掉一行一列,要去掉13名学生,还剩下36名学生 例2 小刚用假设干枚棋子摆成一个中实方阵,最外层每边摆6枚,请问:要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子?最外一层的棋子总数是多少? 分析与解答:如图,最外一层每边摆6枚,根据方阵每行每列个数相等特点,因此一共有6×6=36枚棋子 最外一层每边有6枚,如果用6×4=24枚,就认为是最外一层棋子数的答案的话,那就错了因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列,这样棋子在计算总数时就被多数了一次,这样的顶点一共有4个,需要把多数的减去,才能得到正确的结果列式是6×4-4=20枚说明:这道题还可以这样想:数每边棋子时,可以按上图先划分成4个相等的块,这样每边就有5枚了,因此用5×4=20枚,也可以得到正确答案。

按照划分块的方法不同,至少还有两种方法,请同学们试一试 例3 有一队士兵排成一个中实方阵,最外一层有100人,请问:方阵中一共有士兵多少人? 分析与解答:要想求出方阵中一共有多少士兵,就应先求出方阵的最外层每边有多少人方阵最外一层有100人,用100÷4=25人,每边是不是25人呢?不是的,因为平均分成4份后,还需要再加上1,才正好是每边上的人数,列式应该为100÷4+1=26人因此方阵中一共有26×26=676人 答:一共有676人 说明:这道题关键是求出每边人数在求每边人数时,不要认为和“知道了正方形周长,求边长〞一样,还必须要加上1 例4 假设干名同学排成中实方阵那么多12人,假设要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵那么还差9人排满,请问:原有学生多少人? 分析与解:由于纵横两个方向各增加1人,因此不但将剩余12人摆上,而且还差9人,说明一横行与一竖行的人数总和是12+9=21人 又由于纵横两个方向各增加1人,因此只有1人同属于横行与纵行,在数每边上的人数时,总被多数一次,因此可以用21人先加上被重复数过的1人,再除以2,也就得到每边人数列式为(21+1)÷2=11人。

求出每边人数,就可求出假设排满后的人数,列式为11×11=121人,用121人减去差的9人就是原来人数,列式为121-9=112人也可以根据原来的方阵再加上12,请你试一试 答:原有学生112人 前四个例题涉及的都是实心方阵问题下面我们来研究中空方阵问题例5 游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵,最外边一层每边12人,请问:彩车周围的少先队员共有多少人? 分析与解答1:请同学们自己画一个图,以下图是一个三层中空方阵的示意图,不难发现,有如下特点: (1)外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2; (2)每相邻两层之间,点的总数相差8个 最外层队员的总数:12×4-4=44(人) 三层共有队员的总数:44+(44-8)+(44-8×2) =44+36+28=108(人) 分析与解答2:如以下图可分成相等的四局部,每一局部的人数: (12-3)×3=9×3=27(人) 三层共有队员数:27×4=108(人)答:彩车周围的少先队员共有108人 这个问题还有别的解法,请同学们自己试着做一下 例6 小明用围棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了200枚棋子,请问:最外边一层每边有多少枚棋子? 分析与解答1:利用“相邻两层之间,每层的总数相差8〞的特点,可知最外层共有棋子数: (200+8+8×2+8×3+8×4)÷5=56(个) 最外层每边的棋子数:56÷4+1=15(个) 分析与解答2:如例5的图,把棋子分成相等的四局部。

每一局部的棋子数:200÷4=50(个) 每一局部每排的棋子数:50÷5=10(个) 最外层每边的棋子数:10+5=15(个) 综合列式为:200÷4÷5+5=15(个) 答:最外边一层每边有15枚棋子 阅读材料 牛顿是英国一位伟大的数学家和科学家,他是个早产儿,从小就体弱多病,不能像同年龄的孩子在外面跑跑跳跳只能躲在室内不过,聪明的他却有一套玩耍的方法;他制造了一种利用老鼠磨面粉的机械玩具水车,把小麦磨成雪白的面粉,还做了有灯光的风筝吓唬村民牛顿最有名的一段小故事,就是因为苹果落下,而发现万有引力,为什么苹果会落下?小朋友你想过这个问题吗?这是因为地心引力,所以有重量,苹果才落下喔牛顿很喜欢想问题,也喜欢看书,最后成为伟大的科学家和数学家哩练习题 1.实验小学四年级原准备排成一个正方形队列参加播送操表演,由于服装不够,只好横竖各减少一排,这样共需去掉27人,请问:四年级原来准备多少人参加表演? 分析与解答:此题刚好是例1的逆向思考问题根据正方形队列的特点,可知原每行人数=(去掉一行一列的人数+1)÷2 即:原来每行人数:(27+1)÷2=14(人) 原来准备参加表演的人数:14×14=196(人) 答:四年级原准备196人参加表演。

2.一队学生站成20行20列方阵,如果去掉4行4列,那么要减少多少人? 分析与解答1:把去掉4行4列转化为一行一列的去掉,就可用例6的结论: 去掉一行一列的总人数=原每行人数×2-1 反复利用4次这个公式,只要注意“原每行人数〞的变化,即可列式为: 去掉4行4列的总人数=20×2-1+(20-1)×2-1+(20-2)×2-1+(20-3)×2-1 =40-1=38-1+36-1+34-1 =144(人) 分析与解答2:我们还可以这样想:原来是一个7行7列的方阵,假设去掉4行4列后,仍剩下一个小正方形方阵,因此去掉4行4列的总人数=原正方形方阵每边人数-4,即去掉的总人数=20×20-(20-4)×(20-4) =400-256 =144(人) 答:去掉4行4列,要减少144人 3.正方形舞厅四周均匀的装彩灯,如果四个角都装一盏且每边装12盏,那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏? 分析与解1:自己画图可以看出,角上的四盏灯各属于两行,所以彩灯总数应为: 12×4-4=44(盏) 分析与解2:还可以把彩灯分成相等的四局部,因此彩灯总数为:(12-1)×4=44(盏) 答:这个舞厅四周共装彩灯44盏。

4.“六一〞儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵,请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆? 分析与解答:分析思路参见例6,最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数 204÷4÷3+3=20(盆) 答:最外面一层每边有鲜花20盆 5.四年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,请问:方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人? 分析:根据四周人数与每边人数的关系可知: 每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了 解答:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人) (2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人) 答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人 6.明明用围棋子摆成一个三层中空方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子? 分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数 (2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个中空方阵共用棋子多少个。

解答:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)×4=40(个)(2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)×3×4=144(个) 答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子 7.假设干战士排成一个四层中空方阵,只知道最外一层每边有12人,请你求出总人数 分析与解:我们可以采用先求出每层人数再求总人数的方法进展 解答:由于最外层每边有12人,因此最外层一共有(12-1)×4=44人,又根据方阵相邻两层,外层比内层人数多8的特点,因此第二层有44-8=36人,第三层有36-8=28人,第四层有28-8=20人因此一共有44+36+28+20=128人 还可以这样想,把四层中空方阵划分如例5的形状,我们发现每个长方形可以看成四排战士,每排有8人组成因此一个长方形有8×4=32人,一共有4个长方形,32×4=128人 当然还可以先把中空方阵看成中实方阵,然后再减去补上的小中实方阵人数,也可以求出一共有多少人,看成中实方阵后,最外一层每边12人,因此一共有12×12=144人又因为在方阵中相邻两个正方形每边人数相差2,因此第二层每边有12-2=10人,第三层每边有10-2=8人,第四层每边有8-2=6人,第五层每边有6-2=4人。

因此小的中实方阵有4×4=16人144-6=128人就表示一共有战士的人数 答:一共有128人 8.有假设干盆鲜花摆成一个中空方阵,最外层共摆48盆,最内层共摆24盆,请问:共摆了多少盆鲜花? 分析与解答:由于方阵中相邻两个正方形每边相差8,因此第二层应摆鲜花48-8=40盆,第三层有花40-8=32盆,第四层有花32-。