三角函数在个象限的符号.doc

4.3.2三角函数在个象限的符号我们学习了任意角的三角函数，知道了对于任意角的三角函数我们是在坐标系里定义的，究竟是怎么定义的呢，咱们就来回顾回顾假设α是任意角，假设这条射线就是它的终边，然后我们在终边上任取一点P，坐标设为（x,y)，然后P到原点的距离我们记为r,接着就是6个三角函数的定义首先正弦等于谁比上谁，余弦呢？接下来就是见证奇迹的时刻了，大家看正弦和余割他们两个什么关系？余弦和正割呢？互为倒数，然后正切和余切也互为倒数，这是很久很久以前的事情了，咱就不提啦现在上面三个函数和下面三个函数分别互为倒数，如果上面的为正，那下面的呢？也为正，如果上面的为负呢？下面的也为负，也就是说它们的符号一致，因此如果要我们判断他们六个的正负的话，只需判断上面三个就OK了接下来我们这节课的工作重心就是判断这三个函数在各个象限的正负情况首先看正弦，sinα=，r因为表示的P到原点的距离，始终为正，因此我们只需判断y的正负在第一象限y是正还是负？正，因此正弦在第一象限为正，第二象限呢？正，第三象限呢？负，第四象限呢？负好，总结一下也就是说正弦在一二象限为证接下来我们看一下余弦，cosα=，同样因为r始终为正，我们只需判断x.在第一象限，横坐标大于0还是小于0？大于0因此余弦为正，在第二象限横坐标为正还是为负？因此余弦小于0，。

总结一下，余弦在哪几个象限为正？一四最后看一下正切，tanα=，等于纵坐标比上横坐标，大家想一下正切什么时候大于0呢？当x和y同号的时候，那x和y在哪几个象限同号呢？一三象限，因此正切就在一三象限为正，剩下的两个象限自然就为负了余切呢因为和正切互为倒数，正负相同，因此余切也在一三为正、二四为负，因此这个图还可以用来表示余切的正负对于正割和余割，我们在高中不作深入研究，因此我们这里就不讨论了，大家只要掌握它们俩是怎么定义的就OK了刚才呢咱们是从函数的角度来研究的，接下来我们从象限的角度来探讨探讨首先我们看第一象限，大家看这几个图里面，第一象限有几个为正，全为正，很好，有眼力第二象限呢？只有正弦为正，不错，有眼光第三象限呢？正切、余切为正，也就是说两个切为正第四象限呢？只有余弦为正如果用两句话句来概括的话，该怎么讲呢？大家编两句顺口溜!“第一象限全为正，二正三切四余弦”如果用一句话句来概括呢？“一全二正三切四余弦”最高的境界就是什么方法都不用就能记住好，我们再来总结一下，大家不要看黑板，看看自己掌握了多少，首先正弦在哪几个象限为正？余弦呢？正切呢？余切呢？接下来我出几道题，大家判断一下比如说sin120°，cos240°，tan280°，cot100°接下来咱们认识一下诱导公式，这也是我们今天要学习的第二个内容，诱导公式到底长什么样呢？稍等片刻，答案马上揭晓，不过在此之前我们先要复习一下终边相同的角，假设OA是30°的终边，如果我们把OA再逆时针旋转一周位置变了没有，但是增加了多少度？360°，变成了390°，也就是说390°的终边和30°的终边相同，只不过多转了一圈，同样，如果0A在30°的基础上再逆时针旋转2圈，0B的位置变了没有，但是却增加了多少度？720°，变成了750°，也就是说750°和30°的终边相同，只不过多转了2圈。

390°比30°多了一个360，750°比30°多了两个360,依次类推，多3个360，多4个360也就说如果两个角终边相同，他们就应该相差360°的整数倍，比如说β和α终边相同，他们就应该相差360°的整数倍，如果用一个式子表示的话该怎么写呢？β=α+k·360°，k∈Z.接下来我们再复习一下三角函数的定义，假设α是任意角，这条射线是它的终边，然后我们在终边上任取一个点P(x,y),然后利用各种比值就定义了各种函数，并且我们知道这些比值与P点的位置无关，现在我们假设有两个角他们终边相同，因为比值与P点的位置无关，因此我们不妨就选同一个点，既然是同一个点，那么这两个角的各种比值就怎么样？相同，也就是说他们的各种三角函数值相等，也就是说终边相同的角的同一三角函数值相等比如说β和α终边相同，那么sinβ=sinα，cosβ=cosα刚才说了如果β和α终边相同，那么β=α+k·360°，把β换成α+k·360°，这几个式子就变成了sin（α+k·360°）=sinα，其中k∈Z我们就把这几个公式叫做诱导公式一.我们知道任何一个角肯定与0°到360°之间的一个角终边相同，因此我们就可以把任意一个角的三角函数转化为0°到360°的三角函数值，这就是诱导公式一的伟大之处。

举个例子，我们知道390°与30°的终边相同，那么sin390°=sin30° 例1：确定下列函数值的符号：⑴sin252°⑵cos(﹣）⑶cot(﹣570°）⑷tan解：⑴因为252°是第三象限角，所以sin252°＜0⑵⑶对于这种类型的题，我们可以先利用诱导公式一把它转化为0°到360°的三角函数值，然后再来判断符号也就是说先把﹣570°写成α+k·360°的形式﹣570°=150°-2×360°因此﹣570°与150°的终边相同，所以cot(﹣570°）=cot(150°-2×360°)=cot150°然后再来判断符号因为150°是第二象限角，例2：求下列三角函数值：⑴sin⑵cot(﹣）例3:：若sinθ＜0且tanθ＞0，则θ在第几象限例4：设α是第二象限角，且|cos|=cos，则属于第几象限角？课堂练习 P21   3、4、6、⑵⑶⑷作业：P23  7、8、10、⑵板书：一、三角函数在个象限的符号从函数角度：sinα  一二            Cosα  一四            从象限角度：第一象限全为正，二正三切四余弦              一全二正三切四余弦二、诱导公式一sin（α+k·360°）=sinαcos（α+k·360°）=cosαtan（α+k·360°）=tanα其中k∈Z 例1：确定下列函数值的符号：⑴sin252°⑵cos(﹣）⑶cot(﹣570°）⑷tan解：⑴因为252°是第三象限角，所以sin252°＜0⑵。

⑶对于这种类型的题，我们可以先利用诱导公式一把它转化为0°到360°的三角函数值，然后再来判断符号也就是说先把﹣570°写成α+k·360°的形式﹣570°=150°-2×360°因此﹣570°与150°的终边相同，所以cot(﹣570°）=cot(150°-2×360°)=cot150°然后再来判断符号因为150°是第二象限角，例2：求下列三角函数值：⑴sin⑵cot(﹣）例3:：若sinθ＜0且tanθ＞0，则θ在第几象限例4：设α是第二象限角，且|cos|=cos，则属于第几象限角？课堂练习 P21   3、4、6、⑵⑶⑷作业：P23  7、8、10、⑵ 。