线性代数复习总结详细版课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,,,‹#›,线性代数复习总结,,第一章 行列式,基本知识：如排列、反序,(,逆序,),、反序,(,逆序,),数、对换、奇,/,偶排列、余子式，代数余子式等概念,.,排列经一次互换改变奇偶性等基本结论,.,会,排列逆序数的计算方法,.,掌握,n,阶行列式的定义,.,(1),展开式共有,n,!,项,.,(2),每项是取自,不同行不同列,的,n,个元乘积，冠以正号或负号,.,掌握,行列式按照某一行（列）展开，知道,Laplace,定理的结论,.,(3),行标按自然顺序排列时，每项的正负号由列标构成排列的奇偶性,(,反序数,),决定,.,n,!,项中一半取正号，一半取负号,.,(4),行列式表示一个数,(,值,),.,(5),一阶行列式,|,a,|=,a,,不要与绝对值记号相混淆,.,另外，任意一项前面的符号是,4.,掌握,行列式的性质,(6,个,).,行列互换（转置）值不变（性质,1,）,两行互换，反号（性质,2,）,一行的公因子可以提出（性质,3,）,某行元为两项之和，则等于两个行列式之和（性质,4,）,某行为零、两行相同或成比例，值为零（性质,5,）,某行倍数加到另一行，值不变（性质,6,）,知道,一些特殊的行列式及其性质，例如：对角形行列式、上,(,下,),三角形行列式、范德蒙行列式等，会计算这些行列式的值，知道范德蒙行列式值为零的充要条件,.,6.,熟练应用,行列式的定义、性质和行列式按行,(,列,),展开定理计算行列式,.【,或证明,】,，,例：,，,(,定义,),(,性质,),(,展开,),(2),某些特殊的行列式求值需要讨论阶数,n,.,(1),要首先,观察和分析,行列式的,特点,，然后试一试化简，行不通再试别的方法,.,注意,:,(3),会一些常见行列式处理方法：,,已学过的方法有,对角线法,：二阶采用,.,三角型法,：用性质处理化简成容易计算的上,(,下,),三角形行列式,.,展开降阶法,：先使得某一行（列）具有较多的零，再展开为低阶行列式,.,拆项法,：把某一行（列）的元拆成两（多）项，再分解成多个行列式的和,.,归纳法,：例如,Vandermonde,行列式的证明过程,.,转化为,Vandermonde,行列式,.,加边法,递推法,,第二章 矩阵,1.,理解矩阵的概念，了解一些特殊矩阵：零矩阵、行,/,列矩阵等，,知道,单位,/,对角,/,三角,/,对称,/,反对称,/,正交 矩阵及其性质,.,理解,矩阵的可交换,.,了解行阶梯形,/,行最简矩阵,.,,如对于正交矩阵,A, B,，有,A,T,=A,−,1,,,A,−1,,,AB,仍为正交阵,.,,对称矩阵：,A=A,T,,,反对称矩阵：,A,=−,A,T,.,,对角形矩阵的和、乘积、幂,.,,用对角形矩阵左,(,右,),乘一个矩阵的结果,.,2.,掌握,矩阵的线性运算、乘法、转置，及运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式,.,注意,:,矩阵与行列式线性运算的不同点，以及,,(,AB,),T,=,B,T,A,T,,|,A,n,B,n,| = |,A,n,| |,B,n,| = |,B,n,| |,A,n,|,,只有当,左矩阵的列数等于右矩阵的行数,时，两个矩阵才能相乘,.,一般：,由,AB,＝,O,不能,得出,A,、,B,至少有一个零矩阵,.,但是，若,A,为可逆矩阵，则可以得到,B=O,.,3.,掌握,逆矩阵及其性质、矩阵可逆的充要条件，,会,用伴随矩阵求二阶矩阵逆矩阵．,如：,,|,A,|≠0,时,A,可逆，或对于方阵,A,，若存在方阵,B,，使,AB=E,(,AB=BA=E,),则,A,可逆。

A,T,),−,1,=(A,−1,),T,, (,AB,),−1,=,B,−1,A,−1,, |,A,−1,|=|,A|,−1,,A,−1,=,A,* / |,A,|,，注意,A,*,中元素的排列顺序,对任意方阵,A,，有,AA,*=,A,*,A,=|,A,|,E,,4.,掌握,矩阵的初等变换、初等矩阵及性质，了解矩阵等价、矩阵的秩，,会,有关的判定定理，,掌握,用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法,.,,如：有三类初等变换，分别对应三类初等矩阵,.,,对矩阵,A,=(,a,ij,),m,×,n,施行一次初等,行,(,列,),变换，,其结果就等于,对,A,左,(,右,),乘一个相应的,m,(,n,),阶初等矩阵,.,,对任何矩阵,A,m,×,n,总可经有限次初等,行,变换,化为,(,行,),阶梯形和行最简形,.,n,,级矩阵,A,可逆,,它能表成一些初等矩阵的乘积,.,,可逆矩阵总可以经过一系列初等,行,(,列,),变换,化成,E,.,,矩阵的行秩等于列秩，等于,A,中一切非零子式最高阶数,.,,初等变换不改变矩阵的秩,.,,求逆矩阵的方法：,(3),初等变换的方法,.,(4),分块矩阵的方法,.,(1),伴随矩阵法,.,（阶数较低）,(2),由,AB,=,I,或,BA,=,I,.(,待定系数法,),diag,(,A,1,,,A,2,, …,,A,s,),−1,.,=diag,(,A,1,−1,,,A,2,−1,, …,,A,s,−1,).,,矩阵秩为,r,,,有一个,r,级子式不为零，同时所有,r,+1,级子式全为零,.,,r,(,AB,)≤min {,r,(,A,),,r,(,B,)},,P,m,,,Q,n,可逆，,A,m,×,n,则,r,(,PA,) =,r,(,A,) =,r,(,AQ,),若,A,中存在一个,r,阶子式不为零，则,若,A,中所有,r,阶子式都为零，则,5.,掌握,分块矩阵及其运算，注意分块矩阵运算需要满足的分块条件,.,建议会使用分块矩阵的初等变换,.,,,注意： 的应用,.,分块对角形矩阵的运算性质,.,分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵,.,,对一个分块矩阵作一次分块矩阵的初等,行,（,列,）变换，相当于在矩阵的,左,（,右,）边乘上一个相应的分块初等矩阵，反之亦然．,但,6.,理解,矩阵之间的三种关系,(,等价、相似、合同,),及性质,.,,若矩阵,A,经过,有限次,初等变换化为,B,，则称矩阵,A,和,B,等价,.,(1),矩阵,A,与,B,等价,,有初等矩阵,使,(2),两个,,s,×,n,,矩阵,A, B,,等价,,存在,可逆的,s,级,矩阵,P,与,可逆的,n,级,矩阵,Q,使,B,=,PAQ,.,(3),任意一个,m,×,n,矩阵,A,都与一形式为,的矩阵等价，它称为矩阵,A,的,标准形,.,即,:,存在可逆阵,P=P,m,和可逆阵,Q=Q,n,使得,,设,A,，,B,为两个,n,阶矩阵,.,若存在满秩矩阵,M,，使,B,=,M,-1,AM,，则称,矩阵,A,与,B,相似,.,若此时还有,M,为正交矩阵，则,A,与,B,正交相似。

设,A,,,B,是数域,F,上的,n,阶矩阵，若存在,F,上的可逆,矩阵,C,，使得,B=C,T,AC,成立，则称,A,与,B,是合同矩阵,.,,秩为,r,的,n,阶对称矩阵,A,必合同对角形矩阵,，即存在满秩矩阵,C,，使得,其中,不为零,.,7.,,知道,实对称矩阵的性质：,(1),特征值为实数；,,(2),属于不同特征值的特征向量正交；,,(,而对一般矩阵，属于不同特征值的特征向 量仅仅线性无关,),(3),特征值的代数重数与几何重数相等；,（即与特征子空间维数相等）,,(4),必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，,且对角矩阵对角元素即为特征值．,第三章 线性方程组,一、线性方程组,1,．理解线性方程组的初等变换，知道,可,用消元法（行初等变换）和,Cramer,法则解方程组,.,2,．,掌握,:,齐次线性方程组有非零解,,系数矩阵,A,的秩,<,未知数个数,n.,,非齐次线性方程组有解,,r,(,A,) =,r,(,B,).,3,．,理解并掌握,齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念,齐次线性方程组若干个解的,任意线性组合仍是,Ax,＝,0,的解,.,当,r,(,A,)<,n,时才有基础解系,.,,k,1,,1,+,k,2,,2,+…+,k,n,−,r,,n,−,r,，,r,=,r,(,A,) (,参数任意取值,),4,．,理解并掌握,非齐次线性方程组解的结构及通解,.,非齐次线性方程组的两个解的差是对应导出组的解；,非齐次线性方程组的解与导出组的解的和,(,差,),仍是它的解,.,通解：,,=,,0,+,k,1,,1,+,k,2,,2,+…+,k,n,−,r,,n,−,r,，,,r,=,r,(,A,),,,0,是一个特解,(,随便找到一个即可,),,参数任意取值,5,．,会,讨论,(,含参,),线性方程组解的情况,.,,r,(,A,),,r,(,B,),无解，,r,(,A,),=,r,(,B,)=,n,唯一解,,,r,(,A,),=,r,(,B,)<,n,无穷解,.,设矩阵,A,m,,n,、,B,n,,p,，若,AB,＝,O,，则,6.,会把线性方程组的解和向量线性相关性联系起来讨论,.,可以使用,一些常见结论，如,,AB,＝,O,,,B,的每个列向量都是齐次线性方程组,AX,＝,O,的解,.,A, B,为同型矩阵，则,二、向量,1,．,理解,n,维向量的概念、向量的线性组合与线性表示、向量组的等价,.,,如：,向量组等价具有传递性,.,,若向量,(,组,)A,能由向量组,B,线性表示，向量组,B,能由向量组,C,线性表示，则向量,(,组,)A,能由向量组,C,线性表示,.,2,．,掌握,向量组线性相关、线性无关的定义，,会用,向量组线性相关,/,无关的有关性质及判别法进行相关证明,.,,最常用：,注：证明有时会用,反证法,.,知道,一些常见结论，如：,,部分相关则全体相关,.,,任何含有零向量的向量组一定是线性相关组,.,,含有两个,相同,向量的向量组,必线性相关,.,,全体无关则部分无关,.,,,1,,,,2,, …,,,m,线性无关，,,,,,1,,,,2,, …,,,m,,线性相关，则,,可经,,1,,,,2,, …,,,m,,线性表出，且表示法唯一,.,,n,阶行列式,|,A,|=0,,它的,n,个行,(,列,),向量,线性相关,以少表多，多的相关及其,3,个推论,.,向量组线性,无关,，则,加长,向量组线性,无关,.,向量组线性,相关,，则,截短,向量组线性,相关,.,把向量组的线性相关性和线性方程组联系起来,.,3,．,会,求向量组的极大线性无关组及秩,.,会,进行相关证明,.,,把矩阵和向量联系起来；极大线性无关组和向量组的秩有时,会用于,证明,.,(1),向量组中，任何,r,+1,个向量,必线性相关,.,例如：若向量组的秩为,r,，则,(2),向量组的线性无关子组所含向量个数,最多为,r,.,(3),向量组中任意,r,个线性无关向量,都是一个极大线性无关组,.,m,×,n,矩阵,A,经过初等行变换得到,m,×,n,矩阵,B,，那么,A,与,B,的,列,向量组,有着相同的线性关系,.,据此得求一个向量组的极大无关组的具体办法,用已知向量组,为列向量,构成矩阵,A,；,对,A,施行初等,行,变换化为,行简化,矩阵；,可得原向量组的线性关系并求出一个极大线性无关组,.,第四章 线性空间,1,．知道线性空间的定义、性质，,掌握,线性子空间的定义及判定,.,,线性空间,V,具有的性质,:,,零元素唯一,.,负元素唯一,.,,等式,,0,,=0; (–1),,= –,,,;,,0=0,成立,.,,若,,,= 0,,则,,,,= 0,或,,,,= 0.,,子空间判定：,,,,,,,L,,,,k,,F,,,有,,+,,,L, k,,,L.,,2,．,理解,基底、维数、坐标等概念,.,,如果线性空间,V,中存在由,n,个向量构成的极大线性无关组，则,V,称为,n,维线性空间,.,记,dim(,V,)=,n,.,3.,知道常见线性空间及解空间、向量组生成的子空间等,.,V,的极大线性无关子组称为,V,的,基底,.,零空间,（没有基底）的维数,规定为零,.,,向量组,生成的线性空间,L,(,,1,,,,2,,…,,,m,).,,线性空间,V,中的两组向量生成线性空间相同,,这两个向量组等价,.,R,n,, R,m,n,, P,n,[,x,],,C,[,a, b,],,解空间，零空间，,,有了坐标的概念，,抽象的,n,维线性空间的向量及向量的线性运算，通过坐标及坐标的相应运算表示出来,,,转换为研究我们,熟悉的,n,元有序数组,(,向量,),及其运算,.,4,．,会,用坐标变换公式，,会求,过渡矩阵、向量在不同基底下的坐标,.,,求过渡矩阵,:,直接看出法、待定系数法、中介法,.,[,,1,,,,2,,…,,,n,]=[,,1,,,,2,,…,,,n,],M,,,称,M,为由,[,,1,,,,2,,…,,,n,],到,[,,1,,,,2,,…,,,n,],的过渡矩阵，某向量在上述基下的矩阵分别为,X,，,Y,,,则,,X=MY,,,Y,=,M,−,1,X,第五章 线性变换,1.,会判定,线性变换,.,线性变换判定：保持向量的加法和数乘,.,对,及,有,2.,会求,线性变换在某组基下的矩阵，向量的像坐标,像坐标：,Y=AX,注意,：线性空间的元可为矩阵、多项式、函数等， 都应会求线性变换在基底下的矩阵，,,线性变换保持零向量和负向量、保持线性组合与线性线性相关性不变,. (,不保持线性无关,),如,:,在,R,3,中，定义下面的线性变换，对任意,在空间,P,n,[,x,],中，求微商变换,在基底,求,T,在基底,下的矩阵,.,下的矩阵,A,.,,线性变换在不同基底下所对应的矩阵是,相似,的,.,反过来，若两个矩阵相似，则可以看作是,同一个线性变换,在两组基下的矩阵,.,3.,掌握,特征值和特征向量的概念及性质，,会求,矩阵的特征值和特征向量,.,,特征向量非零，,只能属于一个,特征值且：,,,,i,=,tr,(,A,),，,,,i,= |,A,|,设,,0,是,n,阶矩阵,A,的,k,重特征根，则,A,对应于,,0,的特征子空间的维数不超过,k,.,,设,A,是,n,阶方阵，若数,,和,n,维,非零,(,列,),向量,X,满足,AX,=,X,,则称,,为,A,的,特征根,(,特征值,),，,X,称为,A,的,对应于,(,属于,),特征根,,的,特征向量,.,,是,A,的特征根,,|,E,−,A|=,0.,相似矩阵有相同的特征根和特征多项式,.,属于不同特征根的特征向量是,线性无关,的,.,对于对称阵呢？,求矩阵,A,的特征根与特征向量的步骤,1.,计算,A,的特征多项式,|,,E,−,A,|,;,2.,求特征方程,|,,E,−,A,| = 0,的,全部根,,1,,,,2,, ···,,,n,,,也就是,A,的全部特征值,;,3.,对于特征值,,i,,,求齐次方程组,(,,i,E,−,A,),x,= 0,的非零解,,,也就是对应于,,i,,的特征向量,.,[,求出一组,基础解系,，它们就是对应于该特征根的,线性无关,特征向量，它们的所有,非零线性组合,即为属于该特征根的全部特征向量,.,],注意：一般说求特征向量是,求全部,的特征向量，而且要保证特征向量不为零,.,如,,k,1,X,1,+,k,2,X,2,(,k,1,,,k,2,不同时为,0),4.,掌握,相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充要条件及方法,.,n,阶复矩阵,A,与对角形矩阵相似,,,A,有,n,个线 性无关的特征向量,.,n,阶复矩阵,A,的特征根都是单根，则,A,必相似于对角形矩阵,.,n,阶复矩阵,A,相似于对角形矩阵,,对每个,k,i,(1≤,k,i,≤,n,),重特征根,,i,，矩阵,,i,E,−,A,的秩为,n−k,i,,设,X,1,,,X,2,, ···,,X,n,是,A,的,n,个线性无关的特征向量，且,AX,j,=,,j,X,j,,，令,M,=(,X,1,,,X,2,, ···,,X,n,),，则有,M,−,1,AM,=diag{,,1,,,,2,, ···,,,n,},，其中,,1,,,,2,, ···,,,n,(,可相同,),是,A,的全部特征根,,,应和,M,中的,X,1,,,X,2,, ···,,X,n,顺序对应,.,例：性空间,P,n,−,1,[,x,],中，微商变换,取一组基底为,，求微商变换,D,的,矩阵,A,的特征根、特征向量，问,A,可否对角化,.,矩阵,A,和,第六章欧几里德空间,1,．知道内积、欧氏空间、向量的长度（模）、交角、正交、标准正交基、正交变换等概念,.,,如：,R,n,中两个列向量,X,Y,正交,,X,T,Y,=0,柯西,——,布涅柯夫斯基不等式,对于欧氏空间中任意二向量,,,,,，恒有,其中等号成立的充要条件是,,与,,线性相关,.,,欧氏空间,V,中一组,两两正交的非零向量,，称为,V,的一个,正交,(,向量,),组,.,欧氏空间中的正交组是,线性无关组,.,标准正交基满足关系式：,设,是,n,维欧氏空间,V,的一个标准正交,，,则有,基底,.,向量,,,,,在该基底下的坐标分别为,2,．,掌握施米特正交化方法,，,并会,进一步标准化,.,3.,知道,正交变换的判定方法,正交变换保持向量的,模、内积、夹角,不变,.,,保持内积不变,;,把标准正交基变为标准正交基,;,在标准正交基下的矩阵是正交矩阵,.,设,是欧氏空间,V,的一组线性无关,，其中,是向量,的线性组合,.,向量，则存在,V,的一个正交组,第七章二次型,1,．,掌握,二次型及矩阵表示，二次型秩、等价的概念，二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理,.,,f,(,X,)=,X,T,AX,，,A,是一个对称矩阵，,r,(,A,),即为矩阵的秩，标准形不唯一，规范形唯一,.,n,元实二次型,X,T,AX,可经,坐标变换,,X=CY,(,C,为,可逆实,矩阵,),化为二次型,Y,T,BY,，其中,B=C,T,AC.,,两个实二次型等价,,它们的矩阵是,合同矩阵,.,,等价的实二次型,必有相同的秩,.,,惯性定理：,二次型的规范形是唯一确定的,.,,正惯性指数−,负惯性指数,,=,符号差,.,2,．,掌握,用配方法或合同变换法，,正交变换法,化二次型为标准形的方法,.,(,过程见笔记、有详细过程,),3,．理解矩阵的合同关系,.,4,．,知道,正定二次型，负定二次型，半正定二次型、半负定二次型和不定二次型的概念,.,,若对,任意,X,,0,，,恒有,X,T,AX,>0,，则实二次型,X,T,AX,称为,正定二次型,.,,坐标变换,(,非退化线性替换,),保持二次型的正定性不变,.,,两个实二次型等价,,它们有相同的秩和正惯性指数,.,5,．,掌握,二次型和对应矩阵的正定性（负定性）及其判别法,.,,如：会用定义判定正定矩阵,/,正定二次型，,,(,目前认为,),正定矩阵必为实对称矩阵,,,,正定矩阵的行列式大于零,.,,矩阵,A,正定的充要条件：,存在可逆矩阵,C,使得,A=C,T,C,,,,A,合同与单位矩阵,E,，,顺序主子式全大于零，,特征根全大于零,,,,对应二次型正惯性指数为,n,.,,矩阵,A,负定，则,−,A,正定,.,。