结构力学-位移法ppt课件.ppt

第第9章　位移法章　位移法● 本章教学本章教学基本要求基本要求：：掌握位移法的基本原理和方法；掌握位移法的基本原理和方法；熟练掌握用典型方程法计算超静定刚架在荷载作用下的内熟练掌握用典型方程法计算超静定刚架在荷载作用下的内力；会用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变力；会用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力；掌握用直接平衡法计算超静定刚架的内力化时的内力；掌握用直接平衡法计算超静定刚架的内力 ●本章教学内容的本章教学内容的重点重点：位移法的：位移法的基本未知量基本未知量；杆件的转角位；杆件的转角位移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用典型典型方程方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力法计算超静定结构在荷载作用下的内力 ● 本章教学内容的本章教学内容的难点难点：对位移法方程的物理意义以及方程中：对位移法方程的物理意义以及方程中系数和自由项的物理意义的正确理解和确定系数和自由项的物理意义的正确理解和确定● 本章内容简介本章内容简介:9.1　位移法的基本概念　位移法的基本概念9.2　等截面直杆的转角位移方程　等截面直杆的转角位移方程9.3　　位移法的基本未知量位移法的基本未知量 9.4　位移法的基本结构及位移法方程　位移法的基本结构及位移法方程9.5　用　用典型方程法典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力计算超静定结构在荷载作用下的内力9.6　用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化　用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化 时的内力时的内力9.7　用直接平衡法计算超静定结构的内力　用直接平衡法计算超静定结构的内力*9.8　混合法　混合法9.1　位移法基本概念　位移法基本概念力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。

力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法力法于十九世纪末开始应用，位移法建于上世纪初力法于十九世纪末开始应用，位移法建于上世纪初结构：结构：外因外因→内力内力~位移位移——恒具有一定关系恒具有一定关系力力 法法——以以多余未知力为基本未知量多余未知力为基本未知量，由，由位移条件位移条件建建 立力法方程，求出立力法方程，求出内力内力后再计算后再计算位移位移位移法位移法——以某些以某些结点位移为基本未知量结点位移为基本未知量，由，由平衡条件平衡条件 建立位移法方程，求出建立位移法方程，求出位移位移后再计算后再计算内力内力一、一、解决超静定问题的解决超静定问题的两种基本方法的对比两种基本方法的对比力法力法适用性广泛，解题灵活性较大适用性广泛，解题灵活性较大（可选用各种各样的基本结构）可选用各种各样的基本结构）位移法位移法在解题上比较规范，具有通用性，在解题上比较规范，具有通用性， 因而计算机易于实现因而计算机易于实现位移法可分为：手算位移法可分为：手算——位移法位移法 电算电算——矩阵位移法矩阵位移法2. 基本未知量不同基本未知量不同，，这是力法与位移法最基本的区别。

这是力法与位移法最基本的区别力 法：以多余未知力为多余未知力为基本未知量位移法：以结点位移为结点位移为基本未知量1.优缺点优缺点3.适用范围不同适用范围不同力力 法法：：超静定结构超静定结构位移法位移法：：超静定结构，也可用于静定结构超静定结构，也可用于静定结构 一般用于结点少而杆件较多的刚架一般用于结点少而杆件较多的刚架例：二、用位移法计算超静定结构的思路二、用位移法计算超静定结构的思路例如：用位移法求解如图所示的刚架例如：用位移法求解如图所示的刚架1.为了使问题简化，作如下计算假定：为了使问题简化，作如下计算假定：1）在受弯杆件中，略去杆件的轴向）在受弯杆件中，略去杆件的轴向 变形和剪切变形的影响变形和剪切变形的影响2）假定受弯杆两端之间的距离）假定受弯杆两端之间的距离 保持不变保持不变由此可知，结点由此可知，结点1只有转角只有转角Z1，而无线位移因节点，而无线位移因节点1为为刚节点，汇交于结点刚节点，汇交于结点1的两杆杆端也应有同样的转角的两杆杆端也应有同样的转角Z1忽略轴向变形忽略轴向变形忽略轴向变形忽略轴向变形＝＝＋＋这两个结构这两个结构这两个结构这两个结构都可以用力都可以用力都可以用力都可以用力法求解法求解法求解法求解（（（（1 1 1 1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时及荷载等因素作用下的内力移时及荷载等因素作用下的内力移时及荷载等因素作用下的内力移时及荷载等因素作用下的内力（（（（2 2 2 2）确定以上结构的哪些位移作为）确定以上结构的哪些位移作为）确定以上结构的哪些位移作为）确定以上结构的哪些位移作为基本未知量基本未知量基本未知量基本未知量（（（（3 3 3 3）如何求出这些位移）如何求出这些位移）如何求出这些位移）如何求出这些位移? ? ? ?ABCPθ θA Aθ θA A荷载效应包括：荷载效应包括：内力效应内力效应：：M、、Q、、N；；位移效应位移效应：：θAABCPθ θA Aθ θA A附加附加刚臂刚臂Step1Step1：：：：附加刚臂附加刚臂限制结点位移，荷限制结点位移，荷载作用下附加刚臂载作用下附加刚臂上产生上产生附加力矩。

附加力矩Step2Step2：：：：对结点施加产生对结点施加产生相应的角位移，以相应的角位移，以实现结实现结点位移状态的一致性产点位移状态的一致性产生相应的附加约束反力生相应的附加约束反力ABC实现位移状态可分两步完成实现位移状态可分两步完成Step 3Step 3：：：：叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等； 由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的附加内力应附加内力应等于等于0，，按此可按此可列出求解结点位移的基本方程列出求解结点位移的基本方程ABCPθ θA Aθ θA AStep1：附加刚臂：附加刚臂限制结点位移，荷限制结点位移，荷载作用下附加刚臂载作用下附加刚臂上产生上产生附加力矩附加力矩Step2：对结点施加产生：对结点施加产生相应的角位移，以实现结相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性点位移状态的一致性，，产产生相应的生相应的附加约束反力附加约束反力ABC使结点使结点1正好转动一个转角正好转动一个转角Z1时，使时，使所加的附加约束不再起作所加的附加约束不再起作用，其数学表达式为用，其数学表达式为：：R1=0 上式意义：上式意义：外荷载和实际应有的转角外荷载和实际应有的转角Z1共同作用于基本结构时，共同作用于基本结构时，附加约束反力矩为零（刚臂不起作用）。

附加约束反力矩为零（刚臂不起作用）根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加： R1＝＝R11＋＋R1P=0 （a) R11为强制使结点发生转角为强制使结点发生转角Z1时时 所产生的约束反力矩所产生的约束反力矩 R1P为荷载作用下所产生的为荷载作用下所产生的 约束反力矩约束反力矩R11=r11Z1Z1=1 为单位位移（转角为单位位移（转角Z1＝＝1）产生的约束反力矩产生的约束反力矩上式的物理意义是，上式的物理意义是，基本结构由于转角基本结构由于转角Z1和外荷载和外荷载FP共同作共同作用，在附加刚臂用，在附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零（使处所产生的约束反力矩总和等于零（使a,b两图叠加后附加刚臂不起作用）两图叠加后附加刚臂不起作用）由此方程可得：由此方程可得：可见，只要有了系数可见，只要有了系数 r11及自由项及自由项R1P，，Z1值很容易求得值很容易求得为了将式为了将式(a)写成未知量写成未知量Z1的显式，将的显式，将R11写为：写为：式（式（a）变为：）变为：为了确定上式中的为了确定上式中的 R1P 和和 r11 ，可先，可先用力法分别求出各单跨用力法分别求出各单跨超静定梁超静定梁在梁端、柱顶在梁端、柱顶1处转动处转动 Z1=1时产生的弯矩图及外荷时产生的弯矩图及外荷载作用下产生的弯矩图。

载作用下产生的弯矩图求系数和自由项求系数和自由项r11Z1=11）求）求r11和和M1P1AR1PPMP图2））求求R1P 和和MP 现取现取 图、图、MP图中的结点图中的结点1为隔离体，由力为隔离体，由力矩平衡方程矩平衡方程 ，求出，求出 ：：将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得 最后，根据叠加原理最后，根据叠加原理 ，，即可求出最后弯矩图即可求出最后弯矩图 7.解方程，画内力图解方程，画内力图 1. 在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定，在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定， 从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；２２. 人为地迫使原先被人为地迫使原先被“固定固定”的结点恢复到结构原有的位移的结点恢复到结构原有的位移通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形。

同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形综上所述，位移法的基本思路是：综上所述，位移法的基本思路是：PM=R1PR11=r11Z1=-R1P固定节点固定节点使之不动使之不动（（a））（（b））释放节点，使节释放节点，使节点发生实际位移点发生实际位移9.2　等截面直杆的转角位移方程　等截面直杆的转角位移方程应用位移法需要解决的首要问题就是，要确定应用位移法需要解决的首要问题就是，要确定杆件的杆端内力杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系与杆端位移及荷载之间的函数关系(杆件的转角位移方程杆件的转角位移方程)利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的转角位移方程转角位移方程一、杆端内力及杆端位移的正负号规定一、杆端内力及杆端位移的正负号规定1、杆端内力的正负号规定、杆端内力的正负号规定杆端弯矩：杆端弯矩：对杆端而言，以对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负顺时针方向为正，反之为负对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。

杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同2、杆端位移的正负号规定、杆端位移的正负号规定1））杆端转角杆端转角（角位移）（角位移）:以顺时针为正，反之为负以顺时针为正，反之为负 2））线位移线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动 的线位移为正，反之为负例如，图中的线位移为正，反之为负例如，图中ΔAB为正 二、单跨超静定梁的形常数和载常数二、单跨超静定梁的形常数和载常数位移法中，常用到图示位移法中，常用到图示三种基本的等截面单跨超静定梁三种基本的等截面单跨超静定梁，它们，它们在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得a) 两端固定两端固定b)一端固定一端固定 一端铰支一端铰支c) 一端固定一端固定 一端定向支承一端定向支承由荷载或温度变化引起的杆端内力称为由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数载常数其中的杆端弯杆端弯矩矩也常称为也常称为固端弯矩固端弯矩，用，用 和和 表示；杆端剪力也常称为表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用固端剪力，用 和和 表示。

表示常见荷载和温度作用下的载常数列入常见荷载和温度作用下的载常数列入表表中中(书书P5) 由杆端由杆端单位位移单位位移引起的杆端内力称为引起的杆端内力称为形常数形常数，见书，见书P279，，7-7式表中引入记号式表中引入记号i=EI/l，称为杆件的，称为杆件的线刚度线刚度 a) 两端固定两端固定b)一端固定一端固定 一端铰支一端铰支c) 一端固定一端固定 一端定向支承一端定向支承三、转角位移方程三、转角位移方程 1、两端固定梁、两端固定梁 由叠加原理可得：由叠加原理可得：BAQFABQFABMMBABABqABPFEI= /lAlMB1P+++t1t2固端弯矩固端弯矩2、一端固定另一端铰支梁、一端固定另一端铰支梁 3、一端固定另一端定向支承梁、一端固定另一端定向支承梁1）两端固定梁）两端固定梁2）一端固定另一端铰支梁）一端固定另一端铰支梁3）一端固定另一端定向支承梁）一端固定另一端定向支承梁应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的静定梁的杆端弯矩表达式杆端弯矩表达式，汇总如下：，汇总如下：用用位位移移法法求求解解超超静静定定结结构构例：试用例：试用位移法位移法-直接平衡法直接平衡法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。

计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图解：1)基本未知量为刚结点B点的角位移Z1，基本体系如图（B）所示 2)用转角位移方程写出个杆端内力如下（其中 ）3)从原结构中取出图c隔离体，由平衡条件建立方程并求解由图c的平衡条件： 得：4)回代入2）得各杆端弯矩，并绘最后弯矩图9.3　位移法的基本未知量　位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量据位移法思路：先锁住节点不动（角位移或线位移），再放松据位移法思路：先锁住节点不动（角位移或线位移），再放松节点使之发生实际位移，最后叠加节点使之发生实际位移，最后叠加所以，位所以，位移法选取移法选取结点的独立位移（独立角位移和独立线结点的独立位移（独立角位移和独立线位移）位移）作为其基本未知量，用广义位移作为其基本未知量，用广义位移Zi表示表示 二、确定位移法的基本未知量二、确定位移法的基本未知量1、基本未知量的总数目、基本未知量的总数目位移法基本未知量的总数目（记作位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独立角）等于结点的独立角位移数（记作位移数（记作ny）与独立线位移数（记作）与独立线位移数（记作nl）之和，即）之和，即 2、结点独立角位移数、结点独立角位移数结点独立角位移数（结点独立角位移数（ny）一般等于）一般等于刚结点数刚结点数加上加上组合结点组合结点（半铰结点）数（半铰结点）数。

但须注意，但须注意，1）当有）当有阶形杆截面改变处阶形杆截面改变处的转角或的转角或抗转动弹性支座抗转动弹性支座的的 转角时，应一并计入在内作为基本未知量转角时，应一并计入在内作为基本未知量2）至于）至于结构固定支座或定向支座结构固定支座或定向支座处处，因其转角等于零或，因其转角等于零或为已知的支座位移值；为已知的支座位移值；铰结点铰结点或铰支座处或铰支座处，因其转角不独，因其转角不独立（也没必要），所以都立（也没必要），所以都不作为位移法的基本未知不作为位移法的基本未知量量 nY= 4 3、结点独立线位移数、结点独立线位移数(1) 先简化结构先简化结构1）除特殊指明外，梁与刚架一般不考虑由于轴向变形引起）除特殊指明外，梁与刚架一般不考虑由于轴向变形引起的杆件的伸缩的杆件的伸缩(假定假定1)2）不考虑由于弯曲变形而引起的杆件两端的接近）不考虑由于弯曲变形而引起的杆件两端的接近(假定假定 2) 因此，可认为这样的受弯直杆因此，可认为这样的受弯直杆两端之间的距离两端之间的距离在变形在变形后仍保持不变后仍保持不变，，且结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切且结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切线来代替线来代替 把刚架所有把刚架所有刚节点、固定支座、抗转动弹性支座均改为铰刚节点、固定支座、抗转动弹性支座均改为铰结（及所有节点或支座中结（及所有节点或支座中抗转动约束抗转动约束铰化）铰化），如果原体系，如果原体系有节点线位移则铰化后将变为几何可变体系，通过增设链有节点线位移则铰化后将变为几何可变体系，通过增设链杆使此可变体系杆使此可变体系变为几何不变体系（变为几何不变体系（具体问题可根据下述具体问题可根据下述“最终目的最终目的”增设增设）需要增设的最少链杆数）需要增设的最少链杆数即为原结构独即为原结构独立节点线位移数目。

立节点线位移数目最终目的最终目的”:是能够解出结构内力是能够解出结构内力一般增设目标：一般增设目标：是找出所有节点中可能发生线位移的节点，是找出所有节点中可能发生线位移的节点，通过增设支杆使之沿此方向不动，通过增设支杆使之沿此方向不动，即增设支杆后使所有节即增设支杆后使所有节点在任意方向上都没有线位移点在任意方向上都没有线位移(2)节点线位移确定方法节点线位移确定方法——铰化结点，增设链杆铰化结点，增设链杆EDABFGCCBADEFG3、两点说明、两点说明说明说明1：：当刚架中有需要考虑轴向变形（当刚架中有需要考虑轴向变形（ ）的）的 二力杆时则考虑二力杆的轴向变形二力杆时则考虑二力杆的轴向变形例如：下图结构要求考虑水平直杆的轴向变形例如：下图结构要求考虑水平直杆的轴向变形，，n= ny+nl =2+4=6EI=常数 , EA =常数 基基 本本 结结 构构说明说明2 2：：当刚架中有当刚架中有刚性杆刚性杆时时( )( )的情况的情况1)刚性杆两端的刚结点转角，可不作为基本未知量刚性杆两端的刚结点转角，可不作为基本未知量。

因为若该杆两端的线位移确定了，则杆端的转角也就随因为若该杆两端的线位移确定了，则杆端的转角也就随 之确定；之确定；2)若刚性杆为若刚性杆为竖直柱，则竖直柱，则与基础相连的刚性柱与基础相连的刚性柱可视为地基可视为地基 扩扩大的刚片处理大的刚片处理(即：对其它相连杆件的约束作用相当即：对其它相连杆件的约束作用相当 于于固固定支座或固定铰支座定支座或固定铰支座) 3)刚性杆与基础固结处以及与其他刚性杆刚结处，在刚性杆与基础固结处以及与其他刚性杆刚结处，在“铰铰 化结点化结点”时此类结点均不改为铰结，以反映刚片无任何时此类结点均不改为铰结，以反映刚片无任何 变形的特点变形的特点综上所述，对于有刚性杆的刚架综上所述，对于有刚性杆的刚架:1））ny等于等于全为弹性杆汇交全为弹性杆汇交的刚结点数与组合结点数之和的刚结点数与组合结点数之和2））nl等于使等于使仅仅将弹性杆端将弹性杆端改为铰结的体系成为几何不变改为铰结的体系成为几何不变 所需增设的最少链杆数所需增设的最少链杆数 n=n y + n l=2+1=3a)a)原结构及其基本未知量原结构及其基本未知量b)“b)“铰化结点，增设链杆铰化结点，增设链杆””例例1、求图示结构的超静定次数和位移法基本未知量、求图示结构的超静定次数和位移法基本未知量 数目分别为（数目分别为（ ））（（A））4；；3 （（B））4；；4 （（C））5；；3 （（D））5；；4 三、求位移法基本未知量举例三、求位移法基本未知量举例n= ny+nl =0+1=1 (若 : EI1=∞) (若 : EI1≠∞) n= ny+nl =2+1=3 基基 本本 结结 构构例例2 2：：n= ny+nl =7+3=10 基 本 结 构例例3 3：：节点节点任意方向任意方向的线位移都作为基本未知量的线位移都作为基本未知量n= ny+nl =4+2=6 基 本 结 构组合结点刚架有组合结点刚架有组合结点例例4 4：：刚架有刚架有内力静定内力静定的杆件的杆件ABCDEABCDE 基 本 结 构n= ny+nl =2+1=3“铰化节点、增设链杆铰化节点、增设链杆”根据根据“最终目标最终目标”施加链杆，施加链杆，不再是变为不再是变为“几何不变体系几何不变体系”这个一般目标。

这个一般目标E点竖向位移不独立，可以作为基本未知量，但没必要点竖向位移不独立，可以作为基本未知量，但没必要例例5 5：：AABBDDCCEE 基基 本本 结结 构构n= ny+nl=2+0=2用位移法计算用位移法计算桁架结构桁架结构 基基 本本 结结 构构n= ny+nl =0+5=5位移法解决桁架结构未知量数目较多，手算可算但不位移法解决桁架结构未知量数目较多，手算可算但不具有优势，一般机算可；手算一般采用力法具有优势，一般机算可；手算一般采用力法例例6 6：：ABCDEF原 结 构ABCDEF基 本 结 构ABCD213ABCD213n= ny+nl =2+1=3原 结 构铰化节点，增设链杆例例7 7：：例例8 8：：9.4　位移法的基本结构及位移法方程　位移法的基本结构及位移法方程 一、位移法的基本结构一、位移法的基本结构位移法的位移法的基本结构基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚臂就是通过增加附加约束（包括附加刚臂和附加支杆）后得到的和附加支杆）后得到的三种基本超静定杆的综合体三种基本超静定杆的综合体1）所谓）所谓附加刚臂附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚，就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上，人为地加上一个能阻止其角位移结点和组合结点上，人为地加上一个能阻止其角位移(但但并不阻止其线位移并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号的附加约束，用黑三角符号“ ”表表示。

示 2）所谓）所谓附加支杆附加支杆，就是在每个可能发生独立线位移的结，就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移的附加约束的附加约束 a)原结构及其基本未知量原结构及其基本未知量b)基本结构基本结构二、位移法的基本体系二、位移法的基本体系 图图a所示刚架的所示刚架的基本未知量基本未知量为结点为结点A的转角的转角Z1在结点在结点A加一附加刚臂，就得到位移法的加一附加刚臂，就得到位移法的基本结构基本结构（图（图b）同力法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，同力法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，称为称为基本体系基本体系（图（图c） a)　原结构　原结构c)　基本体系　基本体系b)　基本结构　基本结构d) 锁住结点锁住结点三、位移法方程三、位移法方程 1）基本未知量只有节点）基本未知量只有节点A的角位移的角位移Z1，，n=1.2 2））基本体系如图基本体系如图3）基本结构在结点位移）基本结构在结点位移Z1和荷载共同作用下，和荷载共同作用下，刚臂上的反力矩刚臂上的反力矩F1为零（图为零（图c）由此建立方程：）由此建立方程： c) 基本体系基本体系（一）无侧移结构（一）无侧移结构—以一个基本未知量为例以一个基本未知量为例 e) 放松结点放松结点4iZ14iZ12iZ12iZ1Pl/8Pl/8Pl/8式中，式中，F11表示广义位移表示广义位移Z1所引起的刚臂内的附加力矩所引起的刚臂内的附加力矩; F1p表示广义荷载表示广义荷载FP或非荷载因素引起的刚臂内的附加力矩或非荷载因素引起的刚臂内的附加力矩第一个下标第一个下标 i 表示该第表示该第 i 个附加约束个附加约束(未知量未知量) 的位置或方向的位置或方向, 第二个下标表示引起反力矩的原因第二个下标表示引起反力矩的原因。

设设 k11 表示由单位位移表示由单位位移 Z1=1 所引起的附加刚臂上的反力矩，所引起的附加刚臂上的反力矩，则有：则有：F11=k11Z1，，代入上式，得：代入上式，得：即为一个未知量的即为一个未知量的位移法基本方程位移法基本方程，，其其实质是平衡条件实质是平衡条件 14i4i2i2i4）求出系数）求出系数k11和自由项和自由项F1P，，可利用可利用型常数表型常数表和和载常数载常数表表7-1，在基本结构上分别，在基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和图）和 Z1=1引起的弯引起的弯矩图（矩图（ 图）再利用再利用节点平衡关系节点平衡关系求出系数求出系数 k11和自由项和自由项 F1P.在图在图 中取结点中取结点A为隔离体，由为隔离体，由 ，得，得 在在MP图中取结点图中取结点A为隔离体，由为隔离体，由 ，得，得 注意：刚臂内的反力矩以顺时针为正注意：刚臂内的反力矩以顺时针为正MP图图将将k11和和F1P的值代入上式，解得的值代入上式，解得 结果为正，表示结果为正，表示Z1的方向与所设相同。

的方向与所设相同5）结构的）结构的最后弯矩最后弯矩可由可由叠加公式计算叠加公式计算，即，即MP图图 图图M图图例：图示刚架的例：图示刚架的基本未知量基本未知量为结点为结点C、、D的水平线位移的水平线位移Z1在结点结点D加一附加支座链杆，就得到加一附加支座链杆，就得到基本结构基本结构基本体系基本体系如图所示，它的变形和受力情况与原结构完全相同如图所示，它的变形和受力情况与原结构完全相同 （二）只有侧移结构（二）只有侧移结构—以一个基本未知量为例以一个基本未知量为例 基本结构基本结构 基本体系基本体系 基本结构在基本结构在结点位移结点位移Z1和和荷载共同荷载共同作用下，链杆上的反力作用下，链杆上的反力F1必定为零（图必定为零（图c）由此建立位移法方程）由此建立位移法方程 ：：K11为为Z1=1时引起的链杆内的力；时引起的链杆内的力；F1P 为荷载为荷载P引起的链杆内的力引起的链杆内的力分别在分别在MP图和图和M1图中，要想图中，要想求链杆内的力需截取两柱顶端以上求链杆内的力需截取两柱顶端以上部分为隔离体部分为隔离体，如上图所示，由，如上图所示，由剪力平衡条件剪力平衡条件：： 得得 a)MP图图(kN·m)b)M1图图 (1/m)c) M图图(kN·m)分别作在分别作在Z1=1和荷载作用下的结构的内力图，如下图。

和荷载作用下的结构的内力图，如下图将将k11和和F1P的值代入位移法方程式，解得的值代入位移法方程式，解得结构的最后弯矩图可由叠加公式结构的最后弯矩图可由叠加公式 计算后绘制计算后绘制 M图图 （三）有侧移结构（一般结构）的典型方程（三）有侧移结构（一般结构）的典型方程以图以图(a)所示刚架为例，阐述在位移法所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知量的典型方程中如何建立求解基本未知量的典型方程1、确定位移法基本未知量、确定位移法基本未知量：： 基本未知量为基本未知量为: Z1、、Z2 2、选取位移法基本体系、选取位移法基本体系：如图：如图(b)所示所示3、将原结构的变形根据变形协调进行、将原结构的变形根据变形协调进行 分解，为以下三种变形的叠加：分解，为以下三种变形的叠加： (b)基本体系基本体系1234=Z1Z2↷R1=0R2=0PPL1234EI=常数常数Z1Z2(a) 2134PR2PR1P=Z1R211342R111234R22R12Z21））将可能发生位移的节点全锁住将可能发生位移的节点全锁住，求荷载，求荷载P引起的局部变形。

引起的局部变形 锁住锁住 Z1和和Z2，，使使1节点不转动且横梁也不水平移动节点不转动且横梁也不水平移动2））释放释放1节点此时仍然锁住节点此时仍然锁住Z2使1节点产生实际位移节点产生实际位移Z1（基本（基本 未知量），此时在未知量），此时在1节点处需施加力节点处需施加力R11，对应的变形为实际，对应的变形为实际 位移位移Z1单独引起的变形单独引起的变形3））再释放再释放Z2，此时要锁住，此时要锁住Z1，，使使2节点或水平梁产生实际位移节点或水平梁产生实际位移Z2 （基本未知量），此时需在（基本未知量），此时需在2节点处需施加力节点处需施加力R22，对应的变形，对应的变形 为实际位移为实际位移Z2单独引起的变形单独引起的变形 4 4：：用力的平衡条件建立用力的平衡条件建立位移法典型方程位移法典型方程原结构原结构分解前分解前与与分解后再叠加分解后再叠加应使结构节点处所受的力相同应使结构节点处所受的力相同 ：：在在1节点处没有刚臂约束，无外力矩，则应满足：节点处没有刚臂约束，无外力矩，则应满足：R1=0；；在在2节点处无水平链杆，无水平外力，则应满足：节点处无水平链杆，无水平外力，则应满足：R2=0。

即：即：R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0R1—附加刚臂上的反力矩R2—附加链杆上的反力PPR1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0式中第一个下标表示该反力的位置，式中第一个下标表示该反力的位置，第二个下标表示引起该反力的原因第二个下标表示引起该反力的原因设以 r11、r12分别表示由单位位移：分别表示由单位位移：Z Z1 1=1=1、、Z Z2 2=1=1所引起所引起的刚臂上的反力矩；的刚臂上的反力矩；以以r21、、r22分别表示由单位位移分别表示由单位位移Z1=1、、Z2=1所引起的所引起的链杆上的水平反力，则上式可写成所引起的所引起的链杆上的水平反力，则上式可写成: r11Z1+ r12Z2+R1P=0r21Z1+ r22Z2+R2P=0这就是求解这就是求解Z Z1 1、、Z Z2 2的方程即的方程即位移法基本方程位移法基本方程( (典型方程典型方程) )它的它的物理意义物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移（基本是：基本结构在荷载等外因和结点位移（基本未知量）的共同作用下，未知量）的共同作用下，每一个每一个人为增设的人为增设的附加约束附加约束中中的附的附加反力或反力矩都应等于零加反力或反力矩都应等于零( (，即附加约束实际上不起作用，，即附加约束实际上不起作用，为静力平衡条件为静力平衡条件) )。

对于具有对于具有 n n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n n 个方程：个方程：r11Z1+ ··· + r1iZi+ ··· + r1nZn+R1P=0····················································ri 1Z1+ ··· + ri iZi+ ··· + ri nZn+Ri P=0····················································rn1Z1+ ··· + rniZi+ ··· + rnnZn+RnP=0 (7—1）此为具有此为具有n个基本未知量的个基本未知量的位移法典型方程位移法典型方程式中：rii 称称为主系数为主系数，，主系数恒为正主系数恒为正；；rij(i≠j) 称为称为副系数副系数；；RiP称为称为自由项自由项副系数和自由项可能为正、负或零副系数和自由项可能为正、负或零据反力互等定理得副系数据反力互等定理得副系数 rij=rji (i≠j)由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移所引起的附加约束中的反力(或反力矩)，显然，结构刚度愈大，这些反力(或反力矩)愈大，故这些系数又称为结构的刚度刚度系数系数。

因此位移法典型方程又称为结构的刚度方程刚度方程，位移法也称为刚度法刚度法5、典型方程中的系数和自由项的计算1）可借助于形常数和载常数(公式7-7和表7-1)，绘出基本结 构在Z1=1、Z2=1、…Zi=1、 Zn=1以及荷载（或温变等）作以及荷载（或温变等）作 用下的弯矩图：用下的弯矩图：M1、、M2、、Mi、、Mn和和MP；；2）对各图再利用）对各图再利用隔离体法隔离体法求求各基本未知量各基本未知量Zi处处附加约束中的附加约束中的 反力（或反力矩）反力（或反力矩）即为各系数和自由项即为各系数和自由项借助于型常数和载常数绘出基本结构在借助于型常数和载常数绘出基本结构在 以及荷以及荷载作用下的弯矩图载作用下的弯矩图 和和MP图图：：对上例：计算典型方程中的系数和自由项计算典型方程中的系数和自由项，134134213424i2i3iPMP图系数和自由项可分为两类系数和自由项可分为两类： 1）附加刚臂上的反力矩）附加刚臂上的反力矩 r11、、r12和和R 1P；； 2）附加链杆上的反力）附加链杆上的反力 r21、、r22和和R2P。

r21r22R2P(a)(b)(c) r21R 1Pr12 r1113424i2i3i r21(a) r21 r11基本结构在基本结构在 作用下附加刚臂作用下附加刚臂及附加链杆的反力及附加链杆的反力由由1 1结点平衡条件得：结点平衡条件得：4i3i1由由1212部分平衡条件得：部分平衡条件得：12⇁ ⇁0⇁ ⇁单位位移单位位移Zi=1Zi=1作用下附加反力（刚度系数）的计算作用下附加反力（刚度系数）的计算对于附加刚臂上的反力矩对于附加刚臂上的反力矩 r11、、r12和和R 1P：：可分别在图可分别在图(a)、、(b)、、(c)中取结点中取结点1为隔离体，由力矩平衡方程为隔离体，由力矩平衡方程∑M1=0求得：求得：r11=7i ，， r12= - 6i/l ，， R1P=PL/8111 3i4i0R1P0134134213424i2i3iPMP图 r21r22R2P(a)(b)(c) r11r12R 1Pr12 r11 对于附加链杆上的反力对于附加链杆上的反力r21、、 r22 和和R2P ：可分别在图：可分别在图(a)、、(b)、、(c）中用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁）中用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表部分为隔离体，由表7-1查出杆端剪力，由方程查出杆端剪力，由方程∑X=0求得：求得：r21=－R2P=－P/21342134213424i2i3iPMP图 r21r22R2P(a)(b)(c)121212⇁ ⇁⇁ ⇁0↽ ↽↽ ↽⇁ ⇁⇁ ⇁0 r21r22R2PR 1Pr12 r11 r21r22R2P将系数和自由项代入典型方程：解此方程得：所得均为正值，说明Z 1、Z2与所设方向相同。

6、解方程，求基本未知量r11Z1+ r12Z2+R1P=0r21Z1+ r22Z2+R2P=0得：返返返返 回回回回7、最后弯矩图由叠加法绘制：例如：杆端弯矩M31为M图图1234PM图绘出后，Q 、N图即可由平衡条件绘出(略）8、、对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核包括平衡条件和位移条件的校核其方法与力法中所述一样，这里从略其方法与力法中所述一样，这里从略计算步骤计算步骤1) 确定结构的基本未知量的数目(独立结点角位移和线位移) 2) 2) 引入附加约束附加约束而得到基本体系2) (令各附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加约束上的反力矩或反力均应等于零的条件)建立位移法的基本方程3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项注意各杆 i 的计算）4) 解典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移5) 按叠加法绘制最后弯矩图6）内力校核  超静定结构计算的总原则超静定结构计算的总原则: :欲求超静定结构先取一个欲求超静定结构先取一个基本体系基本体系, ,然后让基本体然后让基本体系在系在受力方面受力方面和和变形方面变形方面与原结构完全一样。

与原结构完全一样 力法的特点：力法的特点：基本未知量基本未知量————多余未知力；多余未知力；基本体系基本体系————静定结构；静定结构；基本方程基本方程————位移条件位移条件 （变形协调条件）（变形协调条件） 位移法的特点：位移法的特点：基本未知量基本未知量—— —— 基本体系基本体系—— —— 基本方程基本方程—— —— 独立结点位移独立结点位移平衡条件平衡条件？一组单跨超静定梁一组单跨超静定梁四、典型方程法和直接平衡法四、典型方程法和直接平衡法关于如何建立位移法方程以求解基本未知量的问题，有两关于如何建立位移法方程以求解基本未知量的问题，有两种途径可循种途径可循 一种途径，已如上所述，是通过选择基本结构，并将原结构与一种途径，已如上所述，是通过选择基本结构，并将原结构与基本体系比较，得出建立位移法方程的平衡条件（即基本体系比较，得出建立位移法方程的平衡条件（即Fi =0）这种方法能以统一的、典型的形式给出位移法方程因此，称这种方法能以统一的、典型的形式给出位移法方程因此，称为为典型方程法典型方程法 另一种途径，则是将待分析结构先另一种途径，则是将待分析结构先“拆散拆散”为许多杆件单元，为许多杆件单元，进行单元分析进行单元分析——根据根据转角位移方程，逐杆写出杆端内力式转角位移方程，逐杆写出杆端内力式子；再子；再“组装组装”，进行整体分析，进行整体分析——直接利用结点平衡或截直接利用结点平衡或截面平衡条件建立位移法方程面平衡条件建立位移法方程。

因此，称为因此，称为直接平衡法直接平衡法 例：试用例：试用力法力法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图解：将梁中间改为铰接，加多余未知力X1得基本体系如图（B）所示 建立力法典型方程： 求系数和自由项：代入典型方程得：最后弯矩： 用用力力法法求求解解超超静静定定结结构构用用位位移移法法求求解解超超静静定定结结构构例：试用例：试用位移法位移法-典型方程法典型方程法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图解：1)基本未知量为刚结点B点的角位移Z1，加刚臂得基本体系如图(B)所示 2)写出位移法典型方程：3）绘出M1和MP图，求系数和自由项：MPM13i3i4）解方程得：5）叠加法绘弯矩图如图：M=M1*Z1+MP6）校核用用位位移移法法求求解解超超静静定定结结构构例：试用例：试用位移法位移法-直接平衡法直接平衡法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图解：1)基本未知量为刚结点B点的角位移Z1，基本体系如图（B）所示 2)用转角位移方程写出个杆端内力如下（其中 ）3)从原结构中取出图c隔离体，由平衡条件建立方程并求解。

由图c的平衡条件： 得：4)回代入2）得各杆端弯矩，并绘最后弯矩图9.5　典型方程法计算荷载作用下超静定结构的内力　典型方程法计算荷载作用下超静定结构的内力 对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程：r11Z1+ ··· + r1iZi+ ··· + r1nZn+R1P=0····················································ri 1Z1+ ··· + ri iZi+ ··· + ri nZn+Ri P=0····················································rn1Z1+ ··· + rniZi+ ··· + rnnZn+RnP=0 (8—1）此为具有此为具有n个基本未知量的个基本未知量的位移法典型方程位移法典型方程式中：rii 为主系数为主系数，，主系数恒为正主系数恒为正；；rij(i≠j) 称为称为副系数副系数；；RiP为为自由项自由项副系数和自由项可能为正、负或零副系数和自由项可能为正、负或零据反力互等定理得副系数据反力互等定理得副系数 rij=rji (i≠j)。

计算步骤计算步骤1)1)确定结构的确定结构的基本未知量的数目基本未知量的数目( (独立结点角位移和线位移独立结点角位移和线位移) ) 2)2)引入引入附加约束附加约束而得到而得到基本体系基本体系3) 3) 建立位移法的基本方程建立位移法的基本方程4) 4) 绘出各单位结点位移作用下的弯矩图绘出各单位结点位移作用下的弯矩图MMi i和荷载作用下的和荷载作用下的弯矩图弯矩图MpMp，由平衡条件，由平衡条件求出各系数和自由项求出各系数和自由项在利用形在利用形常数和载常数时常数和载常数时, ,注意各杆注意各杆 i i 的计算5) 5) 解典型方程，求出基本未知量解典型方程，求出基本未知量6) 6) 按叠加法按叠加法绘制最后弯矩图绘制最后弯矩图7) 7) 内力内力校核校核 一、无侧移结构的内力计算例题一、无侧移结构的内力计算例题例例1:1:用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架, ,并作弯矩图并作弯矩图.E.E = =常数常数. .如何求？如何求？无侧移结构只有节点角位移无线位移无侧移结构只有节点角位移无线位移1））基本未知量基本未知量为为1 1，，2 2节点处的两个角位移，无节点线位移；节点处的两个角位移，无节点线位移； 属于无侧移结构。

属于无侧移结构2 2）在节点处附加刚臂，）在节点处附加刚臂，基本体系基本体系如图解：解：解：解：3) 建立建立位移法的基本方程位移法的基本方程：：4) 绘绘单位弯矩图单位弯矩图和和MP图，求系数和自由项（利用节点平衡）图，求系数和自由项（利用节点平衡）图图8i8i4i4i4i2i图图锁定锁定锁定锁定Z1Z1锁定锁定锁定锁定Z1Z1和和和和Z2Z2图图4i4i8i2i锁定锁定锁定锁定Z2Z2图图4i4i8i2i锁定锁定锁定锁定Z2Z2图图8i8i4i4i4i2i锁定锁定锁定锁定Z1Z1图图锁定锁定锁定锁定Z1Z1和和和和Z2Z24i8i4i4i4i8i8i5) 代入方程求解基本未知量代入方程求解基本未知量最终内力：最终内力：6)6) 按叠加法按叠加法绘制最后弯矩图绘制最后弯矩图请自行作出最终请自行作出最终M图图7) 校核：主要对力的平衡关系进行校核校核：主要对力的平衡关系进行校核4kN.m4kN.m例例2(2(自学自学) )、利用位移法计算图示结构，、利用位移法计算图示结构，绘绘M M图8m8m3m3m4m4m2m2m0.02m0.02mA AB BC CD DE EF F16E16EI I4EI4EI5EI5EI4kN.m4kN.m0.02m0.02mA AB BC CD DE EF F16EI16EI4EI4EI5EI5EI基本体系基本体系A AB BC CD DE EF F16E16EI I2EI2EI4EI4EI2EI2EI4EI4EI6EI6EIB BC CD D4 44 4126126位移法方程：位移法方程：34.8634.8617.417.43 373.7273.724 44 434.8634.8617.417.43 3例例1:用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架,并作弯矩图并作弯矩图.E=常数常数.二、有侧移结构内力计算例题二、有侧移结构内力计算例题有侧移结构有节点线位移，可能有节点角位移。

有侧移结构有节点线位移，可能有节点角位移1) 1) 基本未知量基本未知量为中节点处的角位移，边节点的线位移；为中节点处的角位移，边节点的线位移； 两个两个基本未知量基本未知量, ,属于有侧移结构属于有侧移结构2 2）在中节点处加刚臂，在边节点处附加支杆）在中节点处加刚臂，在边节点处附加支杆基本体系基本体系如图3)3) 建立位移法的基本方程建立位移法的基本方程：：4)4) 绘单位弯矩图绘单位弯矩图M M和和MPMP图，求系数和自由项图，求系数和自由项解：解：解：解：基本体系基本体系Z1Z2R1=0R2=0单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下: :锁定锁定锁定锁定Z Z2 2M1图图6i6iZ Z1 1=1=14i4i2i2i6i6ik k2121k k1111锁定锁定锁定锁定Z Z1 1M2图图k k2121Z2=1k k22223i/l6i/l6i/l3i/lMP图图R R1P1Pql2/8ql2/164i6i6ik11=16i6i/lk12 = k21=-6i/lk21 = k12 =-6i/l6i/lk223i/l23i/l212i/l2R2P3ql/8R1P=0R R2P2Pk11=16ik12 = k21= - 6i/lk22=18i/l2R1P=0R2P= -3ql/85) 代入方程求解基本未知量代入方程求解基本未知量6) 按叠加法按叠加法绘制最后弯矩图绘制最后弯矩图。

ql2/16ql2/8ql2/83ql2/283ql2/563ql2/56ql2/147) 校核三、利用对称性进行内力计算例题（三、利用对称性进行内力计算例题（三、利用对称性进行内力计算例题（三、利用对称性进行内力计算例题（重点重点））））回顾力法中对称性的利用：回顾力法中对称性的利用：目的：目的：1)1)简化系数或自由项的计算使之尽量多的为零，简化系数或自由项的计算使之尽量多的为零， 2) 2)减少基本未知量或方程数目从而简化计算减少基本未知量或方程数目从而简化计算1 1、利用对称性质，直接判定结构在对称轴处某些内力为零，、利用对称性质，直接判定结构在对称轴处某些内力为零， 减少多余未知量个数减少多余未知量个数2 2、半结构法：根据对称性，取用半个刚架或半个梁的计算简、半结构法：根据对称性，取用半个刚架或半个梁的计算简 图代替原结构对刚架进行内力分析的方法图代替原结构对刚架进行内力分析的方法位移法中主要利用位移法中主要利用半结构法半结构法进行简化计算：进行简化计算：注意：注意： 的计算中的计算中 的取用应为的取用应为半结构半结构的杆件长度的杆件长度。

半结构取用方法回顾：半结构取用方法回顾：1 1、奇数跨、奇数跨对称结构对称结构AABBCCFPFPFPFPFPFPAACCD DCVD DCH=0q qC=0D DCHD DCV=0q qCq qC1）对称荷载）对称荷载2）反对称荷载）反对称荷载简化为带有竖向链杆刚架简化为带有竖向链杆刚架用带有定向支承的半刚架代替用带有定向支承的半刚架代替2 2、偶数跨、偶数跨对称结构对称结构FPFPFPFPFPEIFP EI/21）对称荷载）对称荷载2）反对称荷载）反对称荷载简化为中间竖柱抗弯刚度减半的半刚架简化为中间竖柱抗弯刚度减半的半刚架简化为带有固定端的半刚架简化为带有固定端的半刚架利用对称性如何求解工作量最少利用对称性如何求解工作量最少利用对称性如何求解工作量最少利用对称性如何求解工作量最少? ? ? ?例例例例1:1:用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架, ,并作弯矩图并作弯矩图并作弯矩图并作弯矩图. . E E= =常数常数常数常数. .位移法基本未知量：位移法基本未知量：位移法基本未知量：位移法基本未知量：n n n ny y y y=2,n=2,n=2,n=2,nl l l l=1=1=1=13 m6 kN/m3I对称时对称时3 m6 kN/m3I反对称时反对称时对称荷载组对称荷载组对称荷载组对称荷载组用位移法求解用位移法求解用位移法求解用位移法求解 反对称荷载组反对称荷载组反对称荷载组反对称荷载组用力法求解用力法求解用力法求解用力法求解 联合法联合法联合法联合法例例2 2：作对称刚架的：作对称刚架的 M M 图图 4mABDC6kN/m6mEI3EIEI本题注意本题注意：： 的计算中的计算中 的取用应为的取用应为半结构半结构的杆件长度的杆件长度。

刚架有刚架有三个结三个结点位移点位移，即两，即两个角位移，一个角位移，一个线位移个线位移All Rights Reserved聊城大学建筑工程学院®原结构原结构4mABD C6kN/m6mEI3EIEI解：解：1)1)基本未知量基本未知量：：利用对称性利用对称性,取半边结取半边结构计算如图，只有结点构计算如图，只有结点 C 的角位移的角位移 ,即：即：n=12）附加约束得到）附加约束得到基本体系基本体系如图 先计算各杆线刚度先计算各杆线刚度i，并标在杆侧并标在杆侧半边结构半边结构AC6kN/m3m4mEI3EIE4m基本体系基本体系AC6kN/m3mEI3EIEAll Rights Reserved聊城大学建筑工程学院®3 3）建立位移法方程）建立位移法方程CACE作用的作用的 图图4 4）计算系数和自由项，绘制）计算系数和自由项，绘制 M M1 1、、M MP P图图由结点由结点 B B 的力矩平衡，可得：的力矩平衡，可得：All Rights Reserved聊城大学建筑工程学院®图图（单位：（单位：kN.m））AC CE6kN/m189计算自由项计算自由项绘绘荷载作用下荷载作用下MP图（此时锁定节点）图（此时锁定节点）。

C由结点由结点 C C 的力矩平衡，可得：的力矩平衡，可得： 5 5）解方程计算）解方程计算All Rights Reserved聊城大学建筑工程学院®先作半结构的弯矩图，另一半按对称画出先作半结构的弯矩图，另一半按对称画出6 6）叠加法作）叠加法作 图图ABDC99184.54.5( (单位：单位：kN.m)kN.m)弯矩图弯矩图利用叠加公式：利用叠加公式：计算杆端弯矩计算杆端弯矩7 7）校核）校核All Rights Reserved聊城大学建筑工程学院®9.69.6　用直接平衡法计算超静定结构的内力　用直接平衡法计算超静定结构的内力借助于杆件的转角位移方程，根据先借助于杆件的转角位移方程，根据先““拆散拆散””、后、后““组装组装””结构的思路，直接由原结构的结点和截面平衡条件来建结构的思路，直接由原结构的结点和截面平衡条件来建立位移法方程，这就是本节将介绍的立位移法方程，这就是本节将介绍的直接平衡法直接平衡法 【例【例8-108-10】试用直接平衡法计算图示刚架，并作弯矩图试用直接平衡法计算图示刚架，并作弯矩图 已知已知EIEI= =常量。

常量 解：解：(1)确定基本未知量，并绘出示意图确定基本未知量，并绘出示意图(2)“拆散拆散”进行单元分析，即根据转角位移方程进行单元分析，即根据转角位移方程,逐杆写出杆端内逐杆写出杆端内力力1）对于左柱）对于左柱BA（视为两端固定梁）（视为两端固定梁）2）对于横梁）对于横梁BC（视为（视为B端固定，端固定，C端铰支）端铰支） 3）对于右柱）对于右柱CD（视为（视为D端固定，端固定，C端端铰支）铰支） (3)“组装组装”，进行整体分析，即根据结点平衡条件和截面平，进行整体分析，即根据结点平衡条件和截面平衡条件建立位移法方程衡条件建立位移法方程 1)2）取横梁）取横梁BC为隔离体，由截面平件为隔离体，由截面平件(a)(b)以上式（以上式（a）和式（）和式（b）即为用直接平衡法建立的位移法方程，）即为用直接平衡法建立的位移法方程，与前面用典型方程法解同一例题所建立的位移法方程（典型方与前面用典型方程法解同一例题所建立的位移法方程（典型方程）完全相同程）完全相同(4)联立求解方程（联立求解方程（a）和（）和（b），求基本未知量：），求基本未知量：(5)计算杆端内力计算杆端内力 将将Z1和和Z2代回第（代回第（2）步所列出的各杆的杆端弯矩表达式，）步所列出的各杆的杆端弯矩表达式，即可求得即可求得 (6)作最后弯矩图作最后弯矩图 d)　　M图图(×ql2/184)。