微分方程建模.doc

微分方程建模一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间；2.列方程可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）；3.解微分方程；4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤一.增长模型在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间内的增量都与该量自身当时的大小成正比运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型1.马尔萨斯人口模型严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改变量是极其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。

这样，我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯(Malthus)（1766—1834）他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比，且比例系数为常数于是，设时刻的人口总数为，则单位时间内人口的增长量即为根据基本假设，有 （为比例系数）令，可得微分方程 （4.1）这就是著名的马尔萨斯人口方程若假设时的人口总数为，则不难求得该方程的特解为 (4.2)即任一时刻的人口总数都遵循指数规律向上增长人们曾用这个公式对1700—1961达二百六十余年世界的人口资料进行了检验，发现计算结果与人口的实际情况竟然是惊人的吻合！2.放射性元素衰变模型放射性元素的质量随时间的推移而逐渐减少（负增长），这种现象称为衰变。

由物理学定律知，放射性元素任一时刻的衰变速度与该时刻放射性元素的质量成正比根据这一原理，我们也可以通过微分方程研究放射性元素衰变的规律设放射性元素时刻的质量，则其衰变速度就是，于是可得 (4.3)其中是比例常数，可由该元素的半衰期（质量蜕变到一半所需要的时间）确定；前置负号表明放射性元素的质量是随时刻递减的如果在初始时刻（）放射性元素的质量，则可求得该方程的特解为 (4.4)这说明放射性元素的质量也是随时刻按指数规律递减的为了能将求得的放射性元素衰变规律应用于实际，还必须确定上式中的比例常数这时，我们可以假设放射性元素的半衰期为，从而有解之，得，于是反映放射性元素衰变规律的（4.4）式又可以表示为 (4.5)并由此可解得 (4.6)它所反映的是放射性元素由初始时刻的质量衰减到所需要的时间放射性元素的衰变规律常被考古、地质方面的专家用于测定文物和地质的年代，其中最常用的是（碳-12的同位素）测定法。

这种方法的原理是：大气层在宇宙射线不断的轰击下所产生的中子与氮气作用生成了具有放射性的，并进一步氧化为二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而动物又以植物为食物，于是放射性碳就被带到了各种动植物的体内对于具有放射性的来说，不论是存在于空气中还是生物体内，它都在不断地蜕变由于活着的生物通过新陈代谢不断地摄取，因而使得生物体内的与空气中的有相同的百分含量；一旦生物死亡之后，随着新陈代谢的停止，尸体内的就会不断地蜕变而逐渐减少，因此根据蜕变减少量的变化情况并利用（4.6）式，就可以判定生物死亡的时间下面，我们就来看一个运用测定法确定年代的具体实例：1972年8月，湖南长沙出土了马王堆一号墓（注：出土时因墓中女尸历经千年而未腐曾经轰动世界）经测定，出土的木炭标本中的平均原子蜕变速度为29.78次/分，而新砍伐烧成的木炭中的平均原子蜕变速度为38.37次/分；如果的半衰期取为5568年（注：的半衰期在各种资料中说法不一，分别有5568年、5580年和5730年不等），那么，怎样才能根据以上数据确定这座墓葬的大致年代呢？在确定衰变时间的公式（4.6）中，由于和表示的分别是该墓下葬时和出土时木炭标本中的含量，而测量到的是标本中的平均原子蜕变速度，所有我们还要对（4.6）式作进一步的修改：对（4.4）式求导，得 从而有上面两式相除，得代入（4.6），得 (4.7)于是，衰变时间由(4.6)式根据含量的变化情况确定就转化为由（4.7）式根据衰变速度的变化情况来确定，这就给实际操作带来了很大的方便。

在本例中，年，次/分，虽然表示的是下葬时所烧制的木炭中的衰变速度，但考虑到宇宙射线的强度在数千年内的变化不会很大，因而可以假设现代生物体中的衰变速度与马王堆墓葬时代生物体中的衰变速度相同，即可以用新砍伐烧成的木炭中的平均原子蜕变速度38.37次/分替代代入（4.7）可求得（年）若以年或年计算，则可分别算得年或年，即马王堆一号墓大约是2000多年前我国汉代的墓葬 ( 注：后经进一步考证，确定墓主人为汉代长沙国丞相利仓的夫人，名辛追)3.固定资产折旧模型企业在进行成本核算的时候，经常要计算固定资产的折旧一般说来，固定资产在任一单位时刻的折旧额与当时固定资产的价值都是成正比的试研究固定资产价值与时间的函数关系假定某固定资产五年前购买时的价格是10000元，而现在的价值为6000元，试估算再过10年后的价值首先我们可以假设时刻该固定资产的价值为，则在这段时间内该固定资产单位时刻的折旧额可表示为，由题意可得 令，即得不难求得该方程的通解为 为方便计算，记五年前的时刻为，于是有初始条件代入通解，可求得，故原方程的特解为为确定比例常数，可将另一个条件代入上式，得解出，得从而有这就是价值与时间之间的函数关系。

于是，再过10年（即）该固定资产的价值即为 （元）二.阻滞增长模型与以上所讨论的增长模型不同，实际中存在着大量的另一类增长模型：1.弗尔哈斯特人口模型 在人口模型的研究中，马尔萨斯得出了“任一时刻的人口总数都遵循指数规律向上增长”的结论，并得到了一段时期内人口数据的验证，然而，随着人口基数的增大，公式（4.2）所暴露的不足之处也越来越明显了根据公式（4.2）我们不难计算出，世界人口大约35年就要翻一番事实上，设某时刻的世界人口数为，人口增长率为2%，且经过年就要翻一番，则有 即 解之，即得 （年）于是，我们以1965年的世界人口33.4亿为基数进行计算，可以得到如下的一系列人口数据：2515年 200万亿2625年 1800万亿2660年 3600万亿 ………若按人均地球表面积（包括水面、船上）计算，2625年仅为0.09平方米/人，也就是说必须人挨着人站着才能挤得下；而35年后的2660年，人口又翻了一番，那就要人的肩上再站人了而且随着时间的推移，我们有 这显然不符合人口发展的实际。

这说明，在人口基数不是很大的时候，马尔萨斯人口方程还能比较精确地反映人口增长的实际情况，但当人口数量变得很大时，其精确程度就大大降低了究其根源，是随着人口的迅速膨胀，资源短缺、环境恶化等问题越来越突出，这些都将限制人口的增长如果考虑到这些因素，就必须对马尔萨斯人口方程进行修改1845年，荷兰的数学、生物学家弗尔哈斯特(Verhulst)提出了一个修改方案，即将方程修改为 其中、称为“生命系数”由于，因此当不太大时，这一项相对于可以忽略不计；而当很大时，这一项所起的作用就不容忽视了，它降低了人口的增长速度于是，我们就有了下面的人口模型： （4.8）这是一个可分离变量的一阶微分方程解之，可得 （4.9）这就是人口随时间的变化规律下面，我们就对（4.9）作进一步的讨论，并根据它对人口的发展情况作一些预测首先，由于 即不论人口的基数如何，随着时间的推移，人口总量最终将趋于一个确定的极限值；其次，由 可得 令，得，易知这正是函数（4.9）的图象（称为“人口增长曲线”或“型曲线”）拐点的纵坐标，它恰好位于人口总量极限值 一半的位置（如图所示）。

由于时，故是递增的，此时 称为人口的“加速增长期”；而当时，故是递减的，此时称为人口的“缓慢增长期”在利用（4.9）式对人口的发展情况进行预测之前，还必须确定恰当的值，它可以按以下方法来计算：由方程（4.8）可得 其中，表示人口的理论增长率，而则表示人口的实际增长率如果我们以1965年的人口数为初值，并把某些生态学家估计的的自然值0.029及人口的实际增长率0.02代入上式，有 即可求得 于是，世界人口的极限值 （亿）若以1965年的人口数为初值，则2000年的世界人口将达到 （亿）2.单种群动物模型所谓单种群动物模型指的是某单一种群动物在一个相对封闭环境中生长衰亡规律的模型这个模型可以运用微元分析法建立和求解假设某动物种群时刻的数量为，出生率与死亡率分别为、，且任一时刻的出生数与死亡数都与当时的动物数量成正比，则在时间间隔内，该动物的出生量与死亡量就分别为与，由于增量 ＝ 出生量 — 死亡量故有 即 （4.10）这也是一个可分离变量的微分方程，显然，它与马尔萨斯人口方程（4.1）在本质上是完全相同的。

如果初始时刻该动物种群的数量为，即，则易求得该方程的特解为这说明该动物种群的数量也是遵循指数规律增长的，其中称为“自然增长率”从以上的结果中可以看出，如果，则该动物种群的数量随着时间的推移将会无限制地增加，这显然是不可能的。