全国高中数学联赛甘肃预赛试题及答案.pdf

- 1 -二ＯＯ六年全国高中数学联赛甘肃赛区二ＯＯ六年全国高中数学联赛甘肃赛区 预赛试题参考答案及评分标准 说明: 1、评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题只设 6 分和 0 分两档, 填空题只设 6 分和 0 分两档; 解答题的评 阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 2、对于解答题,如果考生的解答方法与本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评阅时可参照本评分标准适 当划分评分档次,5 分为一个档次, 不要再增加其它中间档次. 预赛试题参考答案及评分标准 说明: 1、评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题只设 6 分和 0 分两档, 填空题只设 6 分和 0 分两档; 解答题的评 阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 2、对于解答题,如果考生的解答方法与本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评阅时可参照本评分标准适 当划分评分档次,5 分为一个档次, 不要再增加其它中间档次. 一、选择题( 本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 使关于 x 的不等式1 sin 2cosxkx+≥+有解的实数 k 的最大值是（ D ） (Ａ) 34− ， (Ｂ) 43− ， (Ｃ) 43， (Ｄ) 34. 解: 本题实质上是求1 sin( )2cosxf xx+=+的值域的上限. 将)(xf看成是点(cos ,sin )Axx和点( 2, 1)B −−确定的直线的斜率. 而A在单位圆周上运动,当BA为圆的切线时斜率取最值.由此容易求得max4 3f=. 故选 D. 2. 已知二次函数)(xf满足：)1 ()1 (xfxf+=−，1) 1 (4−≤≤−f，5)2(1≤≤−f， 则) 3(f的取值范围为（ C ） (Ａ) 26)3(7≤≤f ， (Ｂ) 15)3(4≤≤−f， (Ｃ) 32)3(1≤≤−f， (Ｄ) 325)3(328≤≤−f. 解法一: 设2( )f xaxbxc=++, 则(1)fabc=++, (2)42fabc=++, (0)fc=. 又)(xf的对称轴为1x =, 所以(2)(0)ff=, 由此得 20ab+=. 于是(1)fac= − +, (2)fc=. 但 (3)933fabcac=++=+, 故(3)3 (1)4 (2)fff= −+, 由题设中(1),(2)ff的范围知32)3(1≤≤−f. 选 C. 解法二: )(xf的对称轴为1x =, 所以(2)(0)ff=. 在0,1,2x = 用插值公式得 (1)(2)(0)(2)(0)(1)( )(0)(1)(2)(0 1)(02)(1 0)(1 2)(20)(2 1)xxxxxxf xfff−−−−−−=++−−−−−−故(3)(0)3 (1)3 (2)4 (2)3 (1)ffffff=−+=−. 于是由题设知32)3(1≤≤−f. 选 C. 3. 已知,[,]4 4x yπ π∈ −，aR∈ 且33sin204sincos0xxayyya⎧+−=⎨++=⎩，，则cos(2 )xy+值为（ A ） - 2 -(Ａ) 1 ， (Ｂ) －1 ， (Ｃ) 0 ， (Ｄ) 2 2. 解: 由题设得 33sin2( 2 )sin( 2 )2xxayya⎧+=⎨−+−=⎩. 令3( )sinf ttt=+, [,]4 4tπ π∈ −, 则( )f t是[,]2 2π π−上的增函数. 于是由( )( 2 )f xfy=−得2xy= −, 即20xy+=.故cos(2 )0xy+=,选 A. 4. 设ab和是互素的两个自然数，则22ab+和33ab+的最大公约数为（ C ） (Ａ) 1, (Ｂ) 2, (Ｃ) 1 或 2, (Ｄ) 可能大于 2. 解: 若取2,3ab==, 则2213ab+=, 3335ab+=. 13与35互素. 若取3,5ab==, 则22ab+和33ab+都是偶数,它们有公因子2. 现假设22ab+和33ab+有公因子4, 则因 3333()()()abab abab ab+=++−+ 及 a和b互素, 必有2|()ab+. 于是24|()ab+, 而 222()2ababab+=++, 由此得4|2ab, 即2|ab, 于是2|a或2|b, 无论何种情况都推出( , )2a b ≥, 这和a与b互素矛盾. 同样可得22ab+和33ab+不会有大于2的素公因子. 选 C. 5. 在Oxy平面上，三角形顶点的坐标为( ,)iix y(1,2,3)i =,其中,iix y是整数且满足 1ixn≤≤, 1iyn≤≤（ n为整数）. 这样的三角形的有 516 个，则 n 的值为（ B ） (Ａ)3 ， (Ｂ) 4 ， (Ｃ) 5 ， (Ｄ) 6. 解: 首先容易计算, 当5n≥时, 三角形的个数均超过516, 故只需考虑5n为定点且动点Ａ的轨迹方程是1316162222 =−ay ax的右支)0(≠y，则ABC∆的三个角A∠，B∠，C∠满足（ A ） (Ａ) ABCsin21sinsin=− , (Ｂ) ABCsin21sinsin−=−, (Ｃ) ABCsin21sinsin=+ , (Ｄ) ABCsinsinsin=−. - 3 -解: 将轨迹方程写成222213( )()44xy aa−=, 由双曲线定义可知 12422aaABACBC−=⋅== 由正弦定理, 2 sin,2 sin,2 sinABRCACRBBCRA===, 将其代入上式并化简得 ABCsin21sinsin=−, 选 A. 二、填空题( 本题满分 54 分,每小题 9 分) 7. 设非零相异复数, x y满足022=++yxyx, 则代数式 200620062006 2[]()()()xyxyxy xy++−的值为 20061 3− . 解: 由, x y非零相异可得 2( )10xx yy++ =, 即x y为三次单位复根. 从而 原式 = 22 20062006 22[][]()()()()x yxy xy xyxy xy++−+−22006200622( ) [][] (1)(1 ( ) )(1)(1 ( ) )xx yy xxxx yyyy=+ −−−−又200622006 2( )( ) , ( ),xxxx yyyy×==2( )1xx yy+= −,2(1)(1 ( ) )3xx yy−−=, 故所求值为20061 3−. 8. 已知1ab =且11111 21 2xyab++=−−， xy+的值为 1−. 解: 等式两边同乘 1(1 2)(1 2)xyab+−− 得 1112221 222xyxyx yababab+++ +−−= −−+, 即12 2x y+=⋅. 所以1xy+= − 9. 设)2, 0(,,πγβα∈，且满足αα=cos,cos(sin)ββ=，sin(cos )γγ=,则γβα,, 的大小关系为 γαβ,由题设1( )0yα=,有 2( )cos(sin)coscos(sin)0yααααα=−=− 所以3y的零点在(0, )α之中, 2y的零点在( ,)α∞之中, 于是γαβ>, 证明 442232(1)(1)ab ba+≥−−. 证明: 令 1 1xa yb=−⎧ ⎨=−⎩则 1 1ax by=+⎧ ⎨=+⎩不等式左边4422(1)(1)xy yx++=+ 4324322246414641xxxxyyyy yx++++++++=+ ……….5 分 443322222222222211()4()6()4()()xyxyxyxy yxyxyxyxyx=+++++++++ ………10 分 11281282xyxyxyxy≥++++ ⋅ ……….15 分 112()8() 12xyxyxyxy=++++ 2 28 2 1232≥× + × += ………20 分 。