数学史讲座1 数学定义及意义(精选版).ppt

数学史讲座-1数学的定义及意义数学的定义及意义本讲主要内容本讲主要内容一、数学是什么德国数学家高斯德国数学家高斯1777-1855 1777-1855数学是科学之王数学是科学之王英国哲学家培根英国哲学家培根 1561-16261561-1626数学是打开科数学是打开科 学大门的钥匙学大门的钥匙美国数学家辛格美国数学家辛格数学是观察理解世界的一种方式数学是观察理解世界的一种方式（美作家）（美作家）R·R·柯朗柯朗数学，作为人类智慧的一种数学，作为人类智慧的一种 表达形式，反映生动活泼的表达形式，反映生动活泼的 意念，深入细致的思考，以意念，深入细致的思考，以 及完美和谐的愿望，它的基及完美和谐的愿望，它的基 础是逻辑和直觉，分析和推础是逻辑和直觉，分析和推 理，共性和个性理，共性和个性希腊数学家普罗克鲁斯希腊数学家普罗克鲁斯 （（410-485410-485））数学是这样一种学科：她提数学是这样一种学科：她提 醒你有无形的灵魂；她赋予醒你有无形的灵魂；她赋予 所发现的真理以生命；她唤所发现的真理以生命；她唤 起心神，澄清智慧；她给我起心神，澄清智慧；她给我 们的内心思想增辉；她涤尽们的内心思想增辉；她涤尽 我们有生以来的蒙昧与无知我们有生以来的蒙昧与无知也有人说也有人说“ “数学像星星、像钻石，闪烁数学像星星、像钻石，闪烁 着一种奇异无比的光辉，使人颤抖，着一种奇异无比的光辉，使人颤抖， 使人沉思，更使人心醉神驰。

大自然使人沉思，更使人心醉神驰大自然 的一切：和煦的微风、绽露的嫩芽、的一切：和煦的微风、绽露的嫩芽、 波光变幻的流水、曲线跌宕的山峦，波光变幻的流水、曲线跌宕的山峦， 都显示出数学的有序、和谐都显示出数学的有序、和谐” ”6美国数学家莫里兹美国数学家莫里兹书中列举了古今几百种数学定书中列举了古今几百种数学定 义或描述性定义义或描述性定义数学的“定义”在漫长的人类文化史上，对数学有过 种种定义或描述，而这些定义或描述随 着数学研究的对象不断发展而演变数学的“定义”古希腊人认为数学是科学或知识，亚里士多德古希腊人认为数学是科学或知识，亚里士多德 给出给出“ “数学是量的科学数学是量的科学” ”的定义的定义欧洲人认为数学是数和数（欧洲人认为数学是数和数（shǔshǔ）数的技术）数的技术逻辑学派创始人英国数理哲学家罗素认为逻辑学派创始人英国数理哲学家罗素认为 “ “数学是一种莫名其妙的科学数学是一种莫名其妙的科学” ”形式主义学派创始人、德国数学家希尔伯特认形式主义学派创始人、德国数学家希尔伯特认 为为“ “数学就是一些符号运算的结果数学就是一些符号运算的结果” ”直觉主义学派创始人、荷兰数学家布劳威尔和直觉主义学派创始人、荷兰数学家布劳威尔和 其成员荷兰人赫伊廷认为其成员荷兰人赫伊廷认为“ “数学的根源不是别的数学的根源不是别的 ，是有直觉而已，是有直觉而已” ”8恩格斯的定义对于传统的初等数学恩格斯的定义对于传统的初等数学 来说，是精辟的和无懈可击的来说，是精辟的和无懈可击的数学的“定义”恩格斯在1875年批判杜林唯心主义观点时，给出了数学经典的科学定义：“纯数学的对象时现实世界的空间形式和数量的关系，所以 是非常现实的材料。

即：数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学但是，随着时间的推移，数学大大发展了，诸如但是，随着时间的推移，数学大大发展了，诸如 事物的结构、数理逻辑等，都成为数学的研究对象事物的结构、数理逻辑等，都成为数学的研究对象 这些，似乎不能包含在上述定义中这些，似乎不能包含在上述定义中这种传统上把数学描述为数与形的科这种传统上把数学描述为数与形的科 学，随着数学家开发的领域扩展到群论、学，随着数学家开发的领域扩展到群论、 统计学、最优化和控制理论之中，数学的统计学、最优化和控制理论之中，数学的 历史的边界已经完全消失，同样数学的应历史的边界已经完全消失，同样数学的应 用的边界也没有了：它不再只是物理学和用的边界也没有了：它不再只是物理学和 工程的语言，现在数学已经成为银行、制工程的语言，现在数学已经成为银行、制 造业、社会科学以及医药必可不少的工具造业、社会科学以及医药必可不少的工具 ，如果从这个广泛的背景来观察，我们看，如果从这个广泛的背景来观察，我们看 到数学不只是讨论数与形，而且还讨论各到数学不只是讨论数与形，而且还讨论各 种类型的模式和次序种类型的模式和次序 （美）林恩（美）林恩. .斯蒂恩斯蒂恩方延明：数学文化导论方延明：数学文化导论1）哲学说2）符号说 3）科学说 4）工具说 5）逻辑说 6）创新说 7）直觉说 8）集合说9）结构说 10）模型说 11）活动说 12）精神说 13）审美说 14）艺术说 15）万物皆数说总结了数学的总结了数学的1515个分类定义个分类定义给出：给出：数学是研究现实世界中数与形之间各种形式模型的数学是研究现实世界中数与形之间各种形式模型的 结构的一门科学结构的一门科学我国数学家徐利治认为数学是我国数学家徐利治认为数学是“ “实在世界的最实在世界的最 一般的量与空间形式的科学，同时又作为实在世界一般的量与空间形式的科学，同时又作为实在世界 中最具有特殊性、实践性及多样性的量与空间形式中最具有特殊性、实践性及多样性的量与空间形式 的科学的科学” ”多年来，人们在不断地寻找数学的新多年来，人们在不断地寻找数学的新“ “定义定义” ”，但是，，但是， 要给数学下个定义，并不那么容易。

至今难以有关于要给数学下个定义，并不那么容易至今难以有关于“ “数数 学学” ”的、大家取得共识的的、大家取得共识的“ “定义定义” ” 究其原因主要有两个方究其原因主要有两个方 面面二是理解性，观点不同，出发点不同，理解也不同二是理解性，观点不同，出发点不同，理解也不同 ，即使同一个时期也无统一的定义，每个定义都会打上，即使同一个时期也无统一的定义，每个定义都会打上 时代的烙印时代的烙印一是时变性，即数学同其它学科一样，它的对象、一是时变性，即数学同其它学科一样，它的对象、 内容和方法，无时不在发生变化，因而只能在各个历史内容和方法，无时不在发生变化，因而只能在各个历史 时期对其对象、方法本质加以概括，给出描述定义，以时期对其对象、方法本质加以概括，给出描述定义，以 使人有整体性概念；使人有整体性概念；因此，数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着因此，数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着 时代的变化而变化，现在、今后都不可能给出统一的、时代的变化而变化，现在、今后都不可能给出统一的、 严格的、永久性的数学定义严格的、永久性的数学定义二、数学的意义本节观点摘自：张恭庆本节观点摘自：张恭庆 “ “数学的意义数学的意义” ”张恭庆张恭庆- -北京大学数学科学学院教授、中国科学院院北京大学数学科学学院教授、中国科学院院 士、第三世界科学院院士士、第三世界科学院院士马克思马克思 1818-18831818-1883一门科学只有当它达到了能够成功地运一门科学只有当它达到了能够成功地运 用数学时，才算真正发展了用数学时，才算真正发展了印度数学家拉奥说印度数学家拉奥说“ “一个国家的科学水平可以用它消一个国家的科学水平可以用它消 耗的数学来度量耗的数学来度量” ”数学家华罗庚数学家华罗庚1910-1985 1910-1985宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化 工之巧，地球之变，生物之谜，日用工之巧，地球之变，生物之谜，日用 之繁，无处不用数学之繁，无处不用数学1、世界强国与数学强国数学实力往往影响着国家实力，世界强国必然 是数学强国数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家 常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求强国变迁图英国牛顿、法国的笛卡尔、柯 西、庞加莱德国哥廷根成为世界数学的中心 、苏联第一颗人造地球卫星苏联、欧洲数学家移民 ，世界唯一数学大国2、数学与科技革命“ “数学既是科学的女数学既是科学的女 皇，皇， 也是科学的仆也是科学的仆 人人” ”德国数学家高斯德国数学家高斯1777-1855 1777-1855意大利意大利 伽利略伽利略1564-1642 1564-1642“科学是堆砖头，数学家将之变成华厦”法国 庞加莱 1854-1912“ “大自然的规律是用数学书写的大自然的规律是用数学书写的” ”第一次科技革命第二次科技革命第三次科技革命分类科学技术科学技术科学技术时间1543— 17551733— 18231755— 18951823－ 19021895－ 19531903－ 1970 标志近代自然 科学体系 的形成蒸汽机的 广泛应用发现能量 守恒、细 胞学说和 进化论电力的广 泛应用相对论和 量子力学 的诞生原子能、 电子技术 、航天技 术、分子 生物学和 遗传 代表哥白尼的“ 日心说”、 牛顿《自 然哲学的 数学原理 》、开普 勒定律、 伽利略落 体理论珍妮纺纱 机、水力 纺纱机、 水力织布 机、瓦特 蒸汽机的 发明、自然科学 的全面变 革（地质 学、生物 学、化学 、热力学 、电动力 学及电磁 学）飞机、电 报、 、发电机 、电灯泡 、留声机 、电影放 映机、内 燃机的出 现X射线、 电子、天 然放射性 、DNA双 螺线结构 等的发现电子计算 机、移动 、网 络、人造 卫星、可 视三次科技革命在这三次科技革命中，数学成了探索新知识的先 导，自然科学和社会科学中许多重要的理论起源于数 学或由于数学的推动。

如：经典力学---微积分与微分方程，电磁波的发现—Maxwell 方程组，正电子的发现—Dirac方程组的对称性，u相对论与量子论的革命. 从观念、理论到方法数 学都为这两个理论做了充分的准备（群论、 Riemann几何、概率、Hilbert空间、算子、特征 值）. u“是几何学家走到前头去了， 我不过是学了几何 学家的东西， 才发明了相对论”———Einstein， A. u当代的数学物理如“弦理论”、“重力场”等大量 使用现代数学， 特别是纯粹数学中的最新理论成 果 u电子计算机的提出与设计从设想、理论设计、研制，一直到程序、存储 等全过程，数学家始终起决定性地主导作用：图灵—通用数字计算机.“为什么数学比其他一切科学所 到特殊的尊重？ 一个理由是它的 命题是绝对可靠的和无可争辩的 ，……，还有一个理由， 那就是 数学给于精密自然科学以某种程 度的可靠性”u数学的逻辑严密性， u数学研究的是逻辑合理的世界数学在人类探索新知识中起先导作用德国 爱因斯坦1879-1955任何一门成熟的科学都需要用数学语言来描述，在数学模型的框架下来表达它们的思想和方法，数学与其它自然科学结合，形成了数学化学、生物数学、数学地质学、数学心理学等众多交叉学科。

在模拟智能和机器学习中也起了很重要的作用，包括：环境感知、计算机视觉、模式识别与理解以及知识推理等3、数学与自然科学数学在社会科学，如经济学、语言学、系统科学、管理科学中占居重要位置现代经济理论的研究以数学为基本工具通过建立数学模型和数学上的推演，来探求宏观经济和微观经济的规律从1969年到2001年间，50名诺贝尔经济学奖得主中，有27人其主要贡献是运用数学方法解决经济问题4、数学与社会科学4、数学与社会科学冯·诺依曼与摩根斯登的“对策论与经济行为”使“决策”成为一门科学控制理论与运筹学，特别是线性规划、非线性规划、最优控制、组合优化等在交通运输、商业管理、政府决策等许多方面得到广泛的应用5、数学与技术科学今天的技术科学如信息、航天、医药、材料、能源、生物、环境等都成功地运用了数学信息科学与数学的关系最为密切信息安全、信息传输、计算机视觉、计算机听觉、图象处理、网络搜索、商业广告、反恐侦破、遥测遥感等都大量地运用了数学技术6、数学与国民经济数学与国民经济中的很多领域休戚。