数学 第三单元 导数及其应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性 新人教B版选修1-1.ppt

第三章 §3.3　导数的应用3.3.1　利用导数判断函数的单调性1.理解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一　函数的单调性与导函数正负的关系思考1　　观察下列各图，完成表格内容.函数及其图象切线斜率k正负导数正负单调性正___[1，＋∞)上单调_____正递增______R上单调________负(0，＋∞)上单调_____正负正递增递减______(0，＋∞)上单调___________(－∞，0)上单调_____负负递减负负递减思考2　　依据上述分析，可得出什么结论？答案一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增.(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减.梳理　梳理　导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0 0 角_____单调_____<0 0 角_____单调_____><锐钝上升递增下降递减知识点二　函数的变化快慢与导数的关系思考　　我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答案如图所示，函数y＝f(x)在区间(0，b)或(a,0)内导数的绝对值较大，图象“陡峭”，在区间(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图象“平缓”.梳理　梳理　一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”.题型探究类型一　利用导数判断函数的单调性证明则cos x<0，sin x>0，∴xcos x－sin x<0，关于利用导数证明函数单调性的问题(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则f′(x)≥(或≤)0.反思与感悟 证明故f(x)在区间(0，e)上是增函数.类型二　利用导数求函数的单调区间命题角度命题角度1　不含参数的函数求单调区间　不含参数的函数求单调区间例例2　　求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间.解答反思与感悟求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域.(2)求导数y′＝f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数.(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数.解答函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，得x<3，又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)，(2,3).命题角度命题角度2　含参数的函数求单调区间　含参数的函数求单调区间例例3　　讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性.解答反思与感悟(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误.(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了. 解答(2)求函数f(x)的单调递增区间.解答类型三　含参数函数的单调性例例4　　若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是_________.[1，＋∞)答案解析引申探究引申探究试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间.f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，当k≤0时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)；解答反思与感悟(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意.(3)恒成立问题的重要思路①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.解答当堂训练12345√√ 答案解析123452.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是答案解析√√12345√√答案解析12345√√答案解析∵函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，∴f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0在R上恒成立，12345f′(x)＝ex＋(x－k)ex＝(x－k＋1)ex，当xk－1时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，k－1)，单调递增区间为(k－1，＋∞).5.求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间.解答规律与方法1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导数f′(x).(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.本课结束。