2022年湖南省益阳市黄沙坪中学高一数学理上学期期末试题含解析.docx

2022年湖南省益阳市黄沙坪中学高一数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，，，则使Sn取得最大值时n的值为(　　)A. 5 B. 6 C. 7 D. 8参考答案：D【分析】由题意求得数列的通项公式为，令，解得，即可得到答案.【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得，即又由，即，所以等差数列的公差为，又由，解得，所以数列的通项公式为，令，解得，所以使得取得最大值时的值为8，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2. 已知集合，那么                            （    ）A. 0∈A       B. 2A      C.-1∈A       D. 0A     参考答案：A3. （4分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β均为非零实数，若f=﹣1，则f等于（） A． ﹣1 B． 1 C． 0 D． 2参考答案：B考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的求值．分析： 把x=2012，f=﹣1代入已知等式求出asinα+bcosβ的值，再将x=2013及asinα+bcosβ的值代入计算即可求出值．解答： 由题意得：f=asin+bcos=asinα+bcosβ=﹣1，则f=asin+bcos=﹣（asinα+bcosβ）=1，故选：B．点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4. 已知在⊿ABC中，，则此三角形为（   ）A． 直角三角形    B. 等腰三角形   C．等腰直角三角形   D. 等腰或直角三角形参考答案：B略5. 下列函数中与函数是同一个函数的是A.   B.       C.    D. 参考答案：B略6. 已知在半径为2的圆Ｏ上有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点，若ＡＢ＝ＣＤ＝2，ＡＢ、ＣＤ中点分别为O1,Ｏ2，则△Ｏ2AB的面积最大值为（　　　）A．　　　　　B．　　　C．　　　　D．参考答案：A7. 已知，若关于x的方程有三个实根，则实数a的取值范围是A．        B．             C．           D．参考答案：C8. 已知，，若对任意，都存在，使，则的取值范围是（　　）A.       B.      C.      D.参考答案：A9. 设，，若对任意成立，则下列命题中正确的命题个数是（   ）（1）（2）（3）不具有奇偶性（4）的单调增区间是（5）可能存在经过点(a，b)的直线与函数的图象不相交A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个参考答案：B【分析】先化简的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到是三角函数的最大值，得到是三角函数的对称轴，将其代入整体角，令整体角等于，求出辅助角，再对五个说法逐一分析，由此得出正确的说法的个数.【详解】依题意，由于对任意成立，故是三角函数的对称轴，所以.所以.对于（1），计算，故（1）正确.对于（2），计算得，故（2）错误.对于（3）根据的解析式可知，是非奇非偶函数，故（3）正确.对于（4）由于的解析式有两种情况，故单调性要分情况讨论，故（4）错误.对于（5）要使经过点的直线与函数没有交点，则此直线和轴平行，且，两边平方得，这不可能，矛盾，所以不存在经过点的直线与函数的图象不相交.综上所述，正确的命题有两个，故选B【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴，考查三角函数的最值，考查三角恒等变化和三角函数性质等知识，属于中档题.10. 已知两条直线和互相垂直，则等于(     )A．            B．              C．            D． 参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当时，． 若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是_____．参考答案：(－1,0) 【分析】若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，作出函数的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数是定义在R上的偶函数且当时，，所以函数图象关于轴对称，作出函数的图象：若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，由图象可知：时，即有4个交点.故m的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.12. 已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是_________    参考答案：略13. 半径为2，圆心为300°的圆弧的长为　　．参考答案：【考点】G7：弧长公式．【分析】利用弧长公式即可得出．【解答】解：300°=弧度．∴半径为2，圆心为300°的圆弧的长=×2=．故答案为：．14. 已知函数, 当时，则函数的最大值为_________________.参考答案：615. 在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于点，一分钟后，其位置在点，且，再过一分钟，该物体位于点，且，则的值为________．参考答案：略16. 参考答案：17. 在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=                 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知圆O：和点，， ，.(1)若点P是圆O上任意一点，求；(2)过圆O上任意一点M与点B的直线，交圆O于另一点N,连接MC，NC，求证：.参考答案：(1)2(2)见证明【分析】（1）设点的坐标为，得出，利用两点间的距离公式以及将关系式代入可求出的值；（2）对直线的斜率是否存在分类讨论①直线的斜率不存在时，由点、的对称性证明结论；②直线的斜率不存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，通过计算直线和的斜率之和为零来证明结论成立详解】（1）证明：设，因为点是圆 上任意一点，所以， 所以， （2）①当直线的倾斜角为时，因为点、关于轴对称，所以.   ②当直线的倾斜角不等于时，设直线的斜率为，则直线的方程为. 设、，则，.  ，  ，.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系问题，考查两点间的距离公式、韦达定理在直线与圆的综合问题的处理，本题的关键在于将角的关系转化为斜率之间的关系来处理，另外，利用韦达定理求解直线与圆的综合问题时，其基本步骤如下：（1）设直线的方程以及直线与圆的两交点坐标、；（2）将直线方程与圆的方程联立，列出韦达定理；（3）将问题对象利用代数式或等式表示，并进行化简；（4）将韦达定理代入（3）中的代数式或等式进行化简计算。

19. （12分）已知圆M的圆心在x轴上，半径为1，直线l：y=3x﹣1被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+4）（﹣3≤t≤﹣1），过A，B两点分别做圆M的一条切线，相交于点C，求由此得到的△ABC的面积S的最大值和最小值．参考答案：考点： 圆的切线方程． 专题： 直线与圆．分析： （Ⅰ）设圆心M（a，0），利用M到l：y=3x﹣1的距离，结合直线l被圆M所截得的弦长为，求出M坐标，然后求圆M的方程；（Ⅱ）设出过A，B的切线方程，由相切的条件：d=r，求得直线AC、直线BC的方程，进而得到C的坐标，求出△ABC的面积S的表达式，由二次函数是最值求出面积的最值，从而得解．解答： （Ⅰ）设M（a，0）由题设知，M到直线l的距离是d=，l被圆M所截得的弦长为，则2=，解得d=，由=，解得a=1或﹣，由圆心M在直线l的下方，则a=1，即所求圆M的方程为（x﹣1）2+y2=1；（Ⅱ）设过A（0，t）的切线为y=kx+t，由直线和圆相切的条件：d=r=1，可得=1，解得k=，即切线方程为y=x+t①同理可得过B的切线方程为y=x+t+4②，由①②解得交点C（，），由﹣3≤t≤﹣1，则1≤4+t≤3，t++4∈[，2]，又|AB|=4+t﹣t=4，则△ABC的面积为S=|AB|?=4=4（1﹣），由﹣3≤t≤﹣1，可得t2+4t+1=（t+2）2﹣3∈[﹣3，﹣2]，则当t=﹣2时，△ABC的面积S取得最小值，且为；当t=﹣1或﹣3时，S取得最大值，且为6．点评： 本题以圆的弦长为载体，考查直线与圆的位置关系：相切，三角形面积的最值的求法，考查计算能力．20. 若集合，，求（1） （2）参考答案：}21. （本小题满分15分）已知，，函数．（1）设，且，求的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．参考答案：（1）==…3分       由，得，                …………5分于是，因为，所以．  ……………7分（2）因为，由（1）知．                   ……………9分因为△ABC的面积为，所以，于是.       ①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.由余弦定理得，所以．     ②由①②可得或 于是  ………………12分由正弦定理得，所以．       ……………14分略22. 已知 ；（1）求tanθ的值；（2）求sin2θ+3sinθcosθ的值．参考答案：【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得tanθ的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin2θ+3sinθcosθ的值．【解答】解：（1）由，可得，分子分母同除以得cosθ，求得tanθ=1．（2）．　。