【数学竞赛】七年级数学思维探究(24)认识三角形.doc

1893年，在喀山大学建立起世界上第一个数学家的雕像，这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的首创人之一罗巴切夫斯基（17921856），他发现了一个逻辑完好性和严实性能够和欧几里得几何相媲美的新的几何世界——非欧几何．他为非欧几何的存在和发展奋斗了30多年，被誉为“几何学中的哥白尼”．24．认识三角形解读课标从房子的顶梁到自行车的三脚架，从起重机的三角形吊臂再到爱因妥芬（心电图的发明者）三角形，生活中到处可看到三角形，三角形是最简单、最基本的几何图形，它不单是研究其余图形的基础，在解决实质问题中也有着宽泛的应用．认识三角形，就是认识三角形的观点及基本因素——边与角，与边与角有关的知识有：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们段、角度的计算，图形的计数等方面有宽泛的应用．代数化及分类议论法是解与三角形基本因素有关问题的重要方法．代数化即用方程、不等式解边与角的计算及简单推理题，分类议论即按边或角对三角形进行分类．问题解决例1在△ABC中，高BD和CE所在直线想交于O点，若△ABC不是直角三角形，且A60，则BOC_________度．试一试因三角形的高不必定在三角形内部，这样△ABC形状应分两种状况议论．例2如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（）．A．A1212C．11112B．AAD．A234试一试在折叠动向变化中，不变关系是BCAEDADE，这是解本例的重点．DB1A2EC例3（1）如图①，AD⊥BC于D，（2）如图②，若将点A在AE上挪动到否还有（1）中的关系？说明原因．（ 3）请你提出一个近似的问题．AE均分BAC，尝试寻DAE与C、B的关系．F，FD⊥BC于D，其余条件不变，那么EFD与C、D是AAFBECBEDCD图①图②试一试关于（2），经过作协助线，将问题转变为（1）．例4如图①，已知A为x轴负半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，C0,2，D3,2．1的面积；（）求△BCD2AC⊥BC，作CBA的均分线交CO于P，交CA于Q，判断CPQ与CQP的大小（）如图②，若关系，并证明你的结论；（3）如图③，若ADCDAC，点B在x轴正半轴上运动，ACB的均分线CE交DA的延伸线于点E，在B点的运动过程中，E的值能否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明原因．ABCyyyEABABAOOxOxBxPQDCDCDC图①图②图③试一试关于（3），ABC可否用E的式子表示？由数到形，分解出基本图形是解题的重点．例5在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个极点，共有2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上．问：以这2011个点为极点能把三角形纸片切割成多少个没有重叠部分的小三角形？解法一我们不如先退一步，观察三角形内有一个点、两个点、三个点的简单情况，有下表所示的关系：三角形的点数可连线获得小三角形的个数13253749不难发现，三角形内有一个点时，连线可获得3个小三角形，此后每增添一个点，这个点必落在已连好的某一个小三角形内，它与该三角形的三个极点可获得三个小三角形，进而增添了两个小三角形，于是能够推出，当三角形内有2008个点时，连结可获得小三角形的个数为：3220081=4017（个）．解法二整体核算法．设连线后把原三角形切割成n个小三角形，则它们的内角和为180n，又由于原三角形内每一个点为小三角形极点时，能为小三角形供给360的内角，2008个点共供给内角2008360，于是得方程180n3602008180，解得n4017，即这2008个点能将原三角形纸片切割成4017个小三角形．角均分线角均分线是联系角与角之间关系的纽带，当角均分线与三角形相遇可生成内涵上有关系性、解法上有共通性的组图．例61中的两内角均分线交于P点，两外角均分线交于M点，一内角均分线（）如图①，已知△ABC与一外角均分线交于N点．试分别研究BPC、M、N与A关系；2ABCD中，已知ABD与ACD的均分线交于点E，求证：EAD．（）如图②，在凹四边形2ANAPEBCxDyyxBCM图②图①剖析与解1BPC1A，M9011（）90A，NA．222（2）凹四边形ABCD形似“规形”，易证BDCABC．图②可分解为两个“规形”，∵BE、CE分别均分ABD、ACD，∴可设ABEDBEx，ACEDCEy．由（1）得EAxy，①DExy，②②-①得DEEA，∴EAD2．数学冲浪知识技术广场1．一副三角板叠在一同如图搁置，最小锐角的极点D恰巧放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．若ADF100，则BMD_________度．FCEMABD2．一副三角板，如下图叠放在一同，则图中1的度数为_______．13．如图，△ABC中，A80，剪去A后，获得四边形BCED，则12_______．ADEBC4．如图，在△ABC中，A，ABC的均分线与ACD的均分线交于点A1，得A1；A1BC的平分线与ACD的均分线订交于点A2，得A2；，A2008BC的均分线与A2008CD的均分线订交于点A2009，1得A2009，则A2009________．AA1A2BCD5．如图，△ABC中，A、B、C的外角分别记为、、．若::3:4:5，则A:B:C（）．A．3:2:1B．1:2:3C．3:4:5D．5:4:3A αβCBγ6．如图，BP是△ABC中ABC的均分线，CP是ACB的邻补角的均分线．若ABP20，ACP50，则AP（）．A．70B．80C．90D．100APBMC7．在等腰△ABC中，ABAC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）．A．7B．11C．7或11D．7或108．如图，△ABC中，ABDDBEEBC，ACDDCEECB，若BEC145，则BDC等于（）．A．100B．105C．110D．115ADEBC9．如图，已知射线OM与射线ON相互垂直，B、A分别为OM、ON上一动点，ABM、BAN的均分线交于C．问：B、A在OM、ON上运动过程中，C的度数能否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明原因．NCAOBM10。