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大学物理学2（讲稿）河北工程大学物理系康山林第十章真空中静电场一、基本要求：掌握场强叠加原理、高斯定理、环路定理；理解电场、电势与电势能的概念；了解场强与电势的关系二、重点内容：库仑定律、场强叠加原理、高斯定理、环路定理三、难点内容：场强与电势的计算本章内容和方法都比较重要，要着重讲述电场的物质性和场强与电势的计算方法，使学生掌握电场的基本概念和计算场强与电势的基本方法本章内容计划使用6 学时10-1电 荷Coulomb定律一、电荷及其特性：1 .电荷是物质的一种基本属性2 .电荷有两种，正电与负电；同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引3 .电荷的多少是电量0,物体所带的电量是量子化的；基本电荷e=1.6 X 1 0 9 c；Q=N e4 .在封闭的系统内电荷总量保持不变（电荷守恒定律）；电荷不能被消灭也不能被创造5 .物体所带的电量与物体的运动无关即与参照系无关二、Coulomb 定律1 .点电荷：带电体的大小可以忽略点电荷是一个理想化的模型2 .Coulomb 尸=2 i Q r/（4 叫尸）；戊=8.8 5 X lO N.mZ/C,为真空介电常数1）适用于点电荷；（2）适用于真空静电场；（3）满足力的独立叠加原理。

10-2场强叠加原理一、电场的物质性：电场是物质的一种存在形式物质有场和实物两种形式1 场和实物的物质共性：（1）场和实物都是客观存在的；（2）场和实物都具有能量和质量；（3）场和实物之间存在着相互作用2.场和实物的物质特性：（1）电场具有分布性，实物具有集中性（体积有限）2）电场具有叠加性，实物具有不相容性（不能同时占据同一空间）二、电场强度1 .试探电荷q（r.电量足够小的点电荷2 .电场强度：（1）定义：在电场中一点单位试探电荷受的力为该点的电场强度；（2）电场3度一般是空间坐标的函数，E=E（x,z）反映了电场的分布性三、场强叠加原理设试探电荷勤处在若干个电荷产生的电场中，受到作用为：F=F,+F2+-斗 尸”；F/q（）=F，q（）+F J q o+F Jq（）；C.E=EE2 +&苞；电荷体系的电场中任意一点的电场强度等于各个电荷独自存在时在该点产生的电场强度的矢量和，E=ZEi.场强叠加原理（反映了电场的叠加性）四、电场强度的计算1.点电荷电场：F=Q q（）r/（47te（）,r3）,E=F/q（）=Q r/（47i e（）,）2.点电荷体系的电场：E=/（4兀 费）S QJM。

3.连续分布的带电体电场：dE=dq r/（4联0户）,E=1/47K o J r dq /r3计算电场强度的-一 般方法步骤：（1）选取坐标系；（2）确定电荷元眼（点电荷或已知结论的形状）；（3）确定d E,并画出方向；（4）方向处理（投影方法或对称法）；（5）统一变量积分计算结果例 题10-1 一根均匀带电的直棒，已知电荷线密度为九 直线的长度为/;求：（1 ）延长线上一点P 的电场强度；（2）中垂线上一点P 的电场强度；解：（1）选直棒方向为x轴，一个端点为坐标原点；设P点到原点距离为6;取 电 荷 元 的 坐 标 为 x；员Q dE=（1/4 兀o），dq/（b-x）2=（A/47r（），dx/（b-x）2.E=A/47Uoio,dx/（h-x）2=（）J47ts（）,/（b-l）b;（2）选直棒方向为x 轴，棒的中点为坐标原点；设 P 点到原点距离为圆取电荷元 dq=/dx,坐标为 X；贝U:dE=（1/4兀（）tdq/（/+/）=（2/4乃加）dx/（a2+x2）；设 E 与 x 方向的夹角为优 cosO=x/（a2+x2）1/2；sin9=a/（a2+x2）1/2；dEx=dE cosO=（X/4n8o）xdx/（a2+x2）3 2;dEy=dEsinO=（2/4.）adx/（a2+x2）3,2;Ex=（k/4叫）ixdx/a2-x23,2=0 Ey=aA/47t8（）dx/a2+x23 2=a（4叫）,/+（1/2）2/2；：.E=a（/就0）/+（1/2）2铲j。

例 题 10-2.长度为/的均匀带电直棒，电荷线密度九 求：任 意 一 点（P 点）的场强设P点到直棒垂直距离为底两端的连线与P点到直棒垂直线的夹角分别为仇和解：选直棒方向为x轴，P点到棒的垂点为坐标原点；取 电 荷 元 的=九&,则：dE=1/4兀（）dq/r2=k/47J：8（）dx I?；r2=a2+x2；dEx=-dEsinO=）J47t8（）sin0dx/r2；dEy=dEcos3=）J47T8o cosddx/r2*/r=a/cos0=asecO x=atg0 dx=asec29d9dEx=-）J47i:as（）sin0d9 Ex=-k/47tae（）sindd0=J47ra8（）（cos02-cosO）;dEy=）J4兀aEocosOdEv=X/47ta8cos6dO=）J47i:aso（sin02sin0i）;E=X/47raco（cosOj-cosO/），+4兀 四0（sin02-sinO）j讨论：（1）对中垂线上一点,仇=-2；cos0-cos（）2=0;sinOz-sin仇=2sin6z；：Ex=0；Ey=Xsin02/27ra（j=k/47taso I/a2+（1/2）21 2；C.E=）J47tas（）l/a2+（1/2）2 2j。

2）/a 看作点电荷J+F/W%Ex=0；Ey=q/47t8oa E=q/47te（）a jo（3）/a；看作无限长直线，07t/22=/2,Ex=0;Ey=2兀ao；E=X/27tae（）/.（4）在半无限长直线的端平面上的一点，/=-%/2;仇=0；:Ex=X/4兀a（）；Ey=X/4兀aeE=A/47raso i+X/47ta8（）j例 题103一带电半圆环半径为火，电荷线密度为2;求：圆心处的电场强度解：dq=XRdO dE=dq/47ts（）B2=XRdO/47is（）R2；dEx=dEcosO=XcosOdO/47T8o R/4兀&（）Rcos0d0=0;dEy=dEsinO=Xsin6d9/47i:s（）R Ev=dEsmO=47C8（）Rsin6dO=X/27ts（）R;E=A/2兀（）R/;例 题10-4 均匀带电圆环半径为H;电荷线密度为九 求：中垂线上一点场强解：以圆心为坐标原点，垂直圆环平面选为x轴；dq=/RddE=dq/4兀（）（R?+工2）=兀Rdf）/4兀g（）（R2+f ）；由对称性 E_=0;dEx=dEcos/i=XR/47t8o（*+x2）cosd0Ex=XR/4兀（）（R2+x2）cospM=XR/2so（7?2+x2）cos cosfi=x/R2+x212;E=（XR/28O）x/R2+x23/2 i=（Q/47L80）xi/R2-x23/2;例 题10-5 一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为0;求：中垂线上一点的电场强度。

解：以圆心为坐标原点，垂直圆环平面选为X轴；在圆盘上选取一个细圆环，半径为八 宽度为 dr；贝，dq=o2 兀rdr；dE=ldq/4iteo)xi/(r2+x2)3/2=(oxi/2so)rdr/(/+x2)3/2；E=(jxi/2so)Jo*rdr/(?+x2)3/2=(n/2eo)1-x/(7?2+x2)I/2；E=(oi/2E0)1-x/(R2+x2),/2=(ai/2e0)1-1/(l+R2/x2)I/2;讨论：(l)R x;E=)；点电荷电场强度2)x R;E=(ji/2E0)1-1/(i+Rx2)1/2=(yi/2s0 无限大带电平面的场强10-3静电场高斯定理一、电场线：5 竺1.定义：假设一簇曲线每一点的切线E,且 噩 而 8;则这簇曲线称为电场线电场线是为了形象描述电场而人为引进的，电场中并非真实存在2.电场线的性质：（1）起于正电荷止于负电荷，无电荷的地方不能中断2）任一条电场线不能闭合3）任意两条电场线不能相交二、电场通量：1.定义：d（P=E d S,（P=E dS-,2.闭合曲面的电场通量：-dS；规定：处的方向沿着法线指向外故电场线穿出闭合曲面时电场通量为正，穿入闭合曲面时电场通量为负。

三、静电场Guass定理1.内容表述：静电场中，通过任意一个闭合曲面的电场强度通量，等于该闭合曲三色面所包围电荷的代数和的1/打倍；即：芯=仁4；2.定理的证明：（1）点电荷的电场，高斯面为球面，点电荷位于球心：Q Q E d S=4 dS=t点电荷电场，任意闭合面，点电荷位于闭合面内：Q Q分别在曲面内外作两个球面$和S2；奴=4,E d S i=电；Q由两边夹定理：EdS=点电荷的电场，高斯面为任意曲面，点电荷位于闭合曲面外：将高斯面分为S 和$2两部分，则有：DE dSi=-E ds2；ds=o电荷体系的电场，高斯面为任意曲面，包围部分电荷：设有电荷Q,2,，Q,”，0”+/,，Q”;其中Q，Q，在高斯面内，ftQm+i,0在高斯面外；.=1/+&+&+&；Ei（15=4,i=l,2,，m Ej,R,Z q=Q；r R,Xq=0.根据高斯定理 0 可得：r R,E=Q/47tf：or2.例 题10-7 一个均匀带电球体半径为R,电荷密度为p；求：电场强度的分布解：因为电荷分布关于球心对称，选取高斯面为球面，半径为广则：EdS=E dS=E471T 2;r R,Xq=Q=p 47tR3/3；r R,Eq=p 4nr3/3 1,根据高斯定理 由 可得：r R,E=Q/4兀。

2)电荷分布柱轴对称(高斯面为闭合圆柱面，柱轴为对称轴)：E=E(r),E/r-,选取高斯面为闭合圆柱面，柱轴为对称轴，(1(=E dS=2j tEr l0例 题10-7 一个无限长的均匀带电圆柱面，已知单位长度上带电量为九半径为R；求：电场强度的分布解：电荷分布关于柱轴对称，选取高斯面为闭合圆柱面，长度为/,半径为尸；则：f EdS=、EdS +E dS r+d S ：EA.dS 上,E dS *：.EdS 上=0,EdSr=0；E ”dS 懦:.EdS =EdS ,E*dS=E*dS =EdS R,Xq=)d r R,Eq=0根据高斯定理 E WS=E 7/f e o；可得：r R,E=X/2ne()r .(3)电荷分布平面对称(高斯面为闭合柱面，柱轴垂直于对称 面)：E=E(x),|x|相 同 处E相等；E/i；选高斯面为闭合柱面，柱轴_ 1_对称面；8勺 E-dS=2ES.例 题10-8 一个均匀带电平面，已知电荷面密度为不求：电场强度的分布解：电荷分布关于无限大平面对称，选取高斯面为闭合圆柱面，长 度 为2 x,半径 为r；柱轴垂直于带电平面且关于平面对称则：f EdS=E*dS i+E-dS E*dS ,：E/dS :.EdS 右=EdS .：E/dS :.EdS *=EdS 总 J E L d S :.E*dS 福 =0;E*dS=E*dS i+E*dS 方=2E m?；Xq=a n:r2根据高斯定理点七好=/包；可得：E=o/s.；3.用Ga s s定理求电通量例 题10-9点电荷q放在一个边长为/的立方体的中心，求任一侧面的电通量中E。

解：由于立方体的六个侧面上的电通量都相等；将立方体的六个侧面作为闭合的高斯曲面，根据高斯定理：EdS=6 E=q/o；E=6 O；作业 10 (P13 8):10-2 6,10-2 8,10-2 9,10-3 010-4静电场环路定理与电势一、静电场环路定理1.表述：静电场的场强沿任意环路积分等于零，7 1=0；Q2 .证明：（1）点电荷的电场：dr/=0；（2）电荷系的电场:E d I=E Ei d 1=0；3 .意义：（1）静电场无旋度；RotE=0；（2）静电力是保守力，对应一种势能，称为电势能二、电势能：1.定义：电势能的减少等于静电场力作的功，所以：W=-q0E-dl2 .说明：（1）电势能属于电场与电荷（带电体）组成的系统。