河北工程大学结构力学第六章力法.ppt

第六章 力 法§6-1 超静定结构的组成和超静定次数§6-2 力法基本原理§6-3 力法举例§6-5 力法简化计算§6-6 温度变化及有弹簧支座结构的计算§6-7 超静定结构的位移计算及力法计算校核§6-4 超静定结构在支座移动时的力法计算1§6-1 超静定结构的组成和超静定次数一、超静定结构的组成为了认识超静定结构的特性，我们把它与静定结构作一些对比静定结构：一个结构，当它的支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一地确定时，该结构就叫做静定结构超静定结构：一个结构，当它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一地加以确定时，就叫做超静定结构2 即：超静定结构有如下特征： 1、从几何构造分析的观点来看，超静定结构是有多余约束的几何不变体系 2、若只考虑静力平衡条件，超静定结构的内力和支座反力不能够由平衡方程唯一确定，还要补充位移条件 若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座反力可以有无穷多组解答 如下图超静定梁，若只满足平衡条件，支座B的竖向反力可以是任意值 3ABEI , l超静定结构分为：外部、内部、内外部超静定。

这里：(a) 为静定结构，求出支反力后即可求出内力 (a) 为外部超静定结构FPFyABAFyBFxA(a)FPBA(a´)FxAFyAFyBFyC4这里：(b) 为静定结构，求出支反力后即可求出内力 (b) 为外部静定、内部超静定结构AB(b)FyAFyBFxA(b´)ABFxAFyAFyB5这里：(c) 为静定结构，求出支反力后即可求出内力 (c) 为外部超静定结构此外：还有的结构内外部都是超静定的c)ABFyAFyBFxAFxB(c´)ABFxAFyAFyBFxB6二、超静定结构的种类二、超静定结构的种类(a) 连续梁、单跨超静定梁(b) 超静定刚架7(c) 超静定拱(d) 超静定桁架(e) 超静定组合结构8(f) 排架三、超静定次数的确定1、公式法确定(通过计算自由度获得) 超静定次数n = -W = 结构的多余约束数2、切除多余约束法(选取基本体系) 超静定次数n=把超静定结构变为静定结构时所需切除的多余约束数9即：超静定次数 n = 结构多余约束数目规则：1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束；2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束；4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。

基本体系：通过切除多余约束而得到的静定结构 通常做法：拆除原结构的所有多余约束，代之以多余力X，而得到静定结构10例： a) n=2n=2原结构n=2静定结构静定结构有很多种，但应选取易于计算的形式11还可以变成组合刚架b)原结构n=2三铰刚架n=2简支刚架n=2悬臂刚架静定结构12c)n=3原结构d)原结构n=2一个封闭框有三个多余约束13f)n=3 特别注意：不要把原结构拆成几何可变体系此外，要把超静定结构的多余约束全部拆除原结构e)n=1原结构14§6-2 力法基本原理一、基本思路力法是计算超静定结构的最基本的方法采用力法解超静定结构问题时，必须要把超静定问题与静定问题联系起来，加以比较，从中找到由静定过渡到超静定的途径将超静定结构问题转化为静定结构问题；利用熟悉的静定结构的计算方法达到计算超静定结构的目的15 解超静定结构，除应满足平衡条件外，还必须满足位移协调条件二、一次超静定结构的力法计算利用具有一个多余约束的一次超静定梁，说明力法的基本解题思路(抗弯刚度EI=常数)1、确定基本未知量(选取基本体系)CBAqll撤除支座B的链杆，代之以多余力X1(得到基本体系)，X1即是基本未知量。

当然基本体系还有很多种16其基本结构是简支梁2、基本体系简支梁AC在q和X1的共同作用下处于平衡状态，此时的状态与原结构等效，称为原结构的基本体系(不唯一)CBAqll＝＝X1基本体系基本体系CBA+ 11X1CBA＝＝ 1PCBAq3、基本方程 基本方程就是求解X1的方程17由基本体系知：求出X1后，问题即获得解决原结构：1 =0(B点的竖向位移为零)由1 = 1P+ 11 ，可得： 1P+ 11=0由前面知1P 、11的物理意义是非常明确的当位移1、11、 1P与X1的方向一致时取正值，但是要注意这里 X1的方向是任意设的现在提出的问题是：如何求出11和1P1P—属静定结构的位移计算问题，可简单求出11 —由X1引起，可利用叠加原理求解18设X1=1时在B点产生的位移为11，则：11=11 X1，代入上述变形条件有：11 X1 + 1P =0式中：11－系数；1P－自由项此为线性变形条件下一次超静定结构的力法方程4、求解 X111、1P可用图乘法简单求出，然后X1即可获解X1求出后，可按静力平衡方程求出支座反力和内力，它们就是原结构的反力和内力。

19上述计算超静定结构的方法就是力法基本特点：以多余力作为基本未知量，根据所去掉的多余约束处相应的位移条件，建立关于多余力的方程或方程组特别强调：力法基本方程是位移协调方程5、具体计算求作上例的弯矩图(M图)（1）作 图计算CAX1=1BCA20X1为正，说明其方向与假设方向相同，反之则相反21(3) 作M图(如下页图)先计算主控截面的弯矩，然后按静定结构作M图的方法作原结构的弯矩图CBAM图226、讨论若取基本体系为右图(a)，去掉B点的转动约束，代之以一对大小相等、方向相反的力偶X1，可得：ACBX1q基本体系基本体系(a)此即为B点的弯矩需注意的是：两种基本体系，计算工作量相差很大b)X1=11CBA82qlACBq(c)82ql23下面用一简例总结力法求解过程： 如下图示超静定梁，去掉支座B的链杆，用相应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量去掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法基本结构EIFPABl/2l/2AB基本结构FPAB基本体系24+EIFP（ΔBV=0）ABl/2l/2原结构ABΔ11ABδ11）(Δ1PFPABAB基本结构FPAB基本体系25因为：方程可写为：即：力法方程为：基本结构的位移=原结构的位移——原结构B截面竖向位移——基本结构在X1=1作用下沿X1方向的位移。

——基本结构在FP作用下沿X1方向的位移系数和自由项的物理意义：26特别注意： 1）力法方程是位移方程（变形协调方程） 2）力法方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支座竖向位移力法计算： 1) 求系数及自由项lABl/2图FPAMP图272) 求未知力X1283) 作内力图M图FQ图AB29三、多次超静定结构的力法计算 下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和未知力X分别作用下的位移图原结构ABFPCDΔBH=0ΔBV=0θB=0基本体系ABFPCDX1X3X2=30FPABCDΔ2PΔ1PΔ3PABCDδ22δ12δ32X2=1ABCDδ21δ11δ31X1=1ABCDδ23δ13δ33X3=1=+++31力法方程为 根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的物理意义此即为求解多余力X1、 X2、X3的力法方程组，称为力法基本方程32 i 表示位移的方位；j 表示产生位移的原因自由项： 可能大于、等于或小于零主系数：δ11、δ22、δ33恒大于零。

副系数：δij (i≠j)可能大于、等于或小于零计算系数和自由项： 用静定结构的位移计算公式计算由互等定理：33符号说明：注意：当选取不同的基本体系时，力法的基本方程形式相同，只是多余力的含义不同求解基本未知量Xi将 ii、 ij、 iP代入力法方程，求解X1、X2、X3作弯矩图34四、n次超静定结构的力法典型方程符号意义同前求解内力(作内力图)的公式：作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN35五、力法求解超静定结构的步骤五、力法求解超静定结构的步骤1、确定基本未知量(选取基本体系)；2、列力法方程：注意：对于不同的结构，在计算ij、iP时考虑的因素不同，如梁和刚架，一般只考虑弯矩的影响，与第八章位移计算时基本相同3、计算系数和自由项：4、求解基本未知量Xi；5、作内力图计算公式同前36§6-3 力法举例一、连续梁例6-3-1 作图示连续梁的弯矩图和剪力图 1、选取基本体系用力法解连续梁时，其基本体系是将杆件在中间支座处变为铰，如下图所示ABCDlllEIEIEIABCD基本体系X1X2原结构 ΔφB=0 ΔφC=037ABCDΔ1PABCDX1=1δ11δ21ABCDX2=1δ12δ222、列 力法方程讨论方程和系数的物理意义。

383、求系数和自由项 作 图、 图及MP图如图示ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零位移方程(力法方程)ABCDX1=11图ABCDX2=11图39ABCDMP图上述弯矩图的一个特征是：弯矩图局部化图乘计算求系数和自由项：40解方程得：5、 作内力图1) 根据下式求各截面M值，然后画M图4、求基本未知量412) 根据M图求各杆剪力并画FQ图ABFQABFQBAlM图ABCDAB杆：42BCFQBCFQCBl很容易求得CD杆剪力为:FQ图ABCDBC杆：43二、超静定刚架例6-3-2 求图示刚架M图，各杆抗弯刚度不同ABCE1I1 lE2I2 l原结构ABCX2基本体系X1φA=0ΔφB=0 解：1、确定基本未知量X1 、 X2 选取基本体系如右上图，原结构A点的转角 ，B点的相对转角 442、列力法方程3、求系数和自由项（ ） ABCX1=111图E1I1 lE2I2 lABCX2=11E1I1 lE2I2 l图ABCMP图45将求得的系数和自由项代入力法方程就得到：4、求基本未知量X1 、 X246此时因无具体数据，无法作出内力图。

475、 讨论1）当k=0，即E1I1很小或E2I2很大，则刚架弯矩图为：可见，柱AB相当于在横梁BC的B端提供了固定约束M图ABCBC482）当k=1，刚架弯矩图如图a)示3）当k=∞，即E1I1很大或E2I2很小由于柱AB抗弯刚度趋近于零，只提供轴向支撑，故梁BC相当于简支梁，M图见图b)ABCa) M图ABCb) M图496、结论 在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆抗弯刚度EI的比值k 有关，而与杆件抗弯刚度EI的绝对值无关若荷载不变，只要 k 不变，结构内力也不变例7-3-3 作图作图(a)刚架内力图刚架内力图解解：：1、、确确定定基基本本未未知知量量X1、、X2(选取选取基本体系基本体系)C点点的的相相对对水水平平位位移移和和相相对竖向位移均为零对竖向位移均为零2EI2EIEIEDCBA5kN1m5m5mq=10kN/mq(a)50 = = = = EIdxEIMMPP12522 - -= = = = EIdxEIMMPP13.32811 = = EIdxEIM，，83.1452222＝＝d d = = = =EIdxEIMM5 .62212112＝＝d dd d = = EIdxEIM，，5 .622111＝＝d d 2、列力法方程3、求系数和自由项（ ） 幻灯片 52511M55(m)X1 =1 (c)X2=15552M(m)(d)555125PM(kN·m) (e)27.2522.231.2571.5531.25M(kN·m)(f )X2X2X1 X1(b)5kNq基本体系返回50返回5152 62.5 X1 + 62.5 X2 -328.13 =0 62.5 X1 + 145.83 X2 +125 =04、求基本未知量X1 、 X2解得： X1 =10.69kN X2=-5.44kN 由结果可知：多余力Xi只与刚架各杆的抗弯刚度的相对值有关，而与绝对值无关。

5、作弯矩图计算公式为：(见图f )53然后考虑外荷载用分段叠加法作M图求出几个控制截面的弯矩值，如：54三 、超静定桁架原结构FPaa例6-3-4 作图示桁架为例讨论两种基本体系的处理方法各杆刚度为EA X1X1解：1、确定基本未知量X1（选取基本体系I）FPABX1aa基本体系I552、列力法方程 力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1共同作用下，杆AB切口左右截面相对水平位移等于零基本结构中包括AB杆基本体系IFPABX1aaX1X13、求系数和自由项（ ） 56根据上述基本体系I求得各杆FNP及 标于图中ABFPaaFPFP000FNP图ABaa1111X1=1图[AB杆要计算在内]574、求基本未知量X15、求各杆轴力FN 按下式计算FNFN图58 力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1共同作用下，结点A、B相对水平位移等于杆AB的伸长，但符号相反基本结构中不包括AB杆X1X1AB基本体系IIX1FPaa6、讨论：基本体系II若AB杆的抗拉压刚度为E1A1，则力法方程为：59例6-3-5 图a桁架，斜杆AC、BD的截面积为 ，其余各杆为A，E为常数。

求各杆的内力aaABDCFPFP(a)X1基本体系1(b)ABDCFPFP(c)ABDCFPFP+1(d)X1=1ABDC60基本体系2ABDCFP(e)X1FP111N1(g)ABDCX1=1最后内力图N(h)ABDCFPFP0000(f)ABDCNP图FPFP061四、超静定组合结构例6-3-6 图a所示的超静定组合结构，E为常数 求：(1) 当k=I1/I2=2时，结构的内力； (2)当k值变化时，说明M及NBC的变化规律ABCDEEA= EI1EI2aaaFP(a)X1基本体系(b)ABCDEEI1EI2FP解：1、确定基本未知量X1（选取基本体系）622、列力法方程 MP2Fpa(d)ABCDEFP11 X1+1P =03、求系数和自由项（ ） (c)2aa/2X1=1ABCDE63)16(6638)]232()221[(2]232)2221[(11323131212111kEIaEIaEIaaaaEI2aaaEIdxEANdxEIM+=+=+=+=注意：此处11和1P 的计算，应该考虑什么影响因素。

64kFPXP+=-=16161111-981FPXNBC-==11MXMMP+=2FPa/94FPa/9NBC=-8FP/9M、FN 图ABCDEFP(e)4、求基本未知量X1随着k值变化，X1变化，MAB、MCD值随之变化6、讨论：改变k值5、作弯矩图M(如右下图)65当k=I1/I2=0时，X1=FP，则MAB=0，MCD达最大当k不断增加，X1减小， MAB 增加，MCD 减小当k(I1)时，X1=0，MCD=0，MAB 达最大 MAB=2FPa，无变形由此，进一步看出：超静定结构的内力与杆件的抗弯刚度的绝对值无关2FPa/94FPa/9NBC=-8FP/9M、FN 图ABCDEFP(e)66四 、排架E1I1E2I2E1I1E2I2EA→ ∞一般有铰结排架和刚结排架，单层厂房，柱顶与屋盖的联结视为铰结，为铰结排架其中的柱是阶梯形变截面杆件，柱底为固定端，柱顶与横梁(屋架)为铰结计算时常忽略横梁的轴向变形67例6-3-7 求图示排架M图EIEI原结构5kN/mEA→ ∞EIEA→ ∞6m2m 排架结构求解时，通常切断链杆以得到力法基本结构。

这样，MP图和 图局部化，求解力法方程系数比较简单68解：1、确定基本未知量X1、 X2（选取基本体系）基本体系5kN/mX2X1MP图90kN.m方程物理意义： 横梁切口左右截面相对水平位移等于零2、列力法方程 3、求系数和自由项（ ） 69X1=166图X2=128图28705、作M图M图(kN.m)1.475m45.7525.5818.674.675.444、求多余未知力71例6-3-8（书中例6-2）求在所示吊车荷载作用下的内力计算资料如下：BCEFGA18m18mIS2IX2MHFPHMHH6.75m2.6m4.65m 2.1mIS1IX1DFPHA6.75m2.6m基本体系4.65m2.1mDX2BFECGX1H1.598.108.101.592.831(a)特点？72§6-4 超静定结构在支座移动时的力法计算 超静定结构：支座移动、温度改变、材料收缩、制造误差等因素都会使结构产生内力和变形 即：超静定结构的一个重要特点就是在无荷载作用时，也可以产生内力(称为自内力)。

自内力：无荷载作用时，超静定结构由于支座移动、温度改变等因素作用产生的内力 注意：力法计算自内力的步骤与荷载作用时的情形相同，只是自由项的计算不同而已73自由项计算公式： 超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解力法的解题思路很有帮助下面讨论超静定结构产生支座移动时力法的解题思路原结构ABEI lθ例6-4-1 作图示单跨超静定梁内力图74（受X1及支座转角θ共同作用）解： 1）选两种基本体系如下图示2）力法基本方程位移条件力法方程ABEI lθ基本体系IX1Bθ基本体系IIX1AEI l（只有X1作用，支座转角θ 对杆端A无影响）753）求系数和自由项4）求未知力X1AB图X1=1AB图X1=11l765） 作内力图在基本体系II中，若X1为逆时针方向，如下图示，则力法方程成为：ABX1=1M图BAFQ图BA这时注意方程右边的符号77小结：1）当超静定结构有支座位移时，所取的基本体系上可能保留有支座移动，也可能没有支座移动应当尽量取无支座移动的基本体系2）当基本体系有支座移动时，自由项按下式求解：为基本体系由X=1产生的支座反力；为基本体系的支座位移。

3）当超静定结构有支座移动时，其内力与杆件的抗弯刚度EI成正比，EI越大，内力越大78例6-4-2 写出图示刚架的力法方程并求出系数ΔiC解：1）取两种基本体系如下图示ACEI lEI lbaθ原结构79基本体系IICABbX1X2ΔAH=-aθA= θ2） 建立力法方程讨论方程及系数的物理意义基本体系ICABbθΔCH=0ΔCV=0X1X2a80基本体系IlBCX1=1l10图A3） 求自由项本例主要讨论自由项的求法，其余计算略去lBCX2=1l01图lAl81ABCX2=1图11基本体系IIABC1X1=1图l82例6-4-3 已知：E支座下沉为a，逆时针转动为，EI=常数，用力法作刚架内力图解：1、确定基本未知量X1、X2（选取基本体系）EDCBA(b)X1X2基本体系(a)lEDCBAal/2l/2l/22、列力法方程(保留支座位移) 83ic—由支座移动引起的Xi作用点沿Xi方向的位移3、求系数和自由项（ ） EDCBA(c)X1=1l/2l0EDCBA(d)X2=1l/2l/2l/2l/2184解方程：4、求未知量X1、X285得：6、讨论：(1) 选择第二种基本体系EDCBA基本体系2X2X15） 作内力图力法方程：86注意： 第一个方程的右边为零，是因为在原结构上与X1相应的位移为零；第二个方程的右边为，是因为原结构与X2相应的位移为，且与X2同向为正，反之为负；(2) 选择第三种基本体系注意：此时，两个方程的右边皆不为零，分别为-a和-，而1c和2c皆为零。

为什么？请你思考！力法方程：EDCBAX1X2基本体系387附：单跨超静定梁有支座移动时的弯矩图1)一端固定一端简支梁A支座有转动位移AB图X1=11ABEI, lθAABM图FQ图AB88AB图X1=1lABEI, lΔABM图FQ图AB2)一端固定一端简支梁B支座有竖向位移89ABX1X2ABX1=11图AB1X2=1图ABEI, lθA3)两端固定梁A支座有转动位移90FQ图ABABM图ABEI, lθAABM图图ABX1=114)一端固定一端滑动梁A支座有转动位移91ABX2 =1l图ABEI, lΔABX1=11图ABX1X25)两端固定梁B支座有竖向位移92ABM图FQ图AB依据3)，很容易得到右图示内力图FQ图ABABEI, lθB6)两端固定梁B支座有转动位移ABM图93§6-5 力法简化计算一、力法简化计算的思路 若结构的超静定次数为n，则在荷载作用下其力法方程为：94 在上列方程中，主系数δii恒大于零，副系数 δij（i≠j）则可能大于零、等于零或小于零 若能使全部副系数δij等于零，则方程组解耦，力法方程变为： 即使不能使全部副系数等于零，若能使大部分副系数等于零，则力法计算也将大大简化。

所以，力法简化计算的目的：使尽可能多的副系数等于零95二、非对称结构的简化计算 对于非对称结构，为简化计算，应尽量使 图及MP图局部化，以简化方程系数的计算所以，取基本结构时应考虑这一因素ABCD连续梁基本体系X2X3X1支座处变铰96排架结构基本体系X2X1EA→ ∞EA→ ∞多跨刚架基本体系97（一）结构对称(视频)(见右图)1、条件(1) 结构的几何形式和支承情况对某轴对称；(2) 杆件截面和材料性质也对此轴对称(因此杆件的截面抗弯刚度EI对此轴对称)三 、对称结构的简化计算EI1EI2EI2l/2l/2（单跨反对称和双跨反对称视频）982、对称形式对称、双向对称，见图双向对称，具有两个对称轴竖向荷载下，结构对称EI1EI2EI2l/2l/2对称结构3、非对称荷载的处理（荷载分解）对称结构通常作用有非对称荷载，处理方法为：99（1）非对称荷载分解为对称荷载和反对称荷载分别计算，然后叠加两种情况的结果aaFP/2FP /2EI1EI1反对称荷载EI2aaEI1EI1（正）对称荷载FP/2FP /2EI2al/2FPl/2EI1EI1原结构EI2100（2）荷载不分解，只取对称基本体系。

al/2FPl/2EI1 hEI1 h原结构EI2FPFpaMP图FP对称基本体系101根据 ，MP图的对称性或反对称性可知：于是，原力法方程变为：（对称）11图l/2（反对称）l/2图（对称）图hh两种作法各有利弊，可根据情况选用102（二）对称性利用 用力法解对称结构，应取对称的基本结构，只有这样才能简化计算1、对称结构在对称荷载作用下的简化计算FPaFPFP(对称）FPaMP图FPFP基本体系al/2aFPFPl/2EI1 hEI1 h原结构EI2103X1，X2——对称未知力X3——反对称未知力根据 ，MP 图的对称性或反对称性可知：l/2 （对称）11图 （对称）hh图 （反对称）l/2图副系数为零104于是，原力法方程：变为：结论：对称结构在对称荷载作用下，其反对称未知力为零，只有对称未知力1052、对称结构在反对称荷载作用下的简化计算al/2aFPFPl/2EI1 hEI1 h原结构EI2FPFP （反对称）FPaFPaMP图FPFP 基本体系106根据 ，MP图的对称性或反对称性可知：（对称）11图（对称）图（反对称）l/2l/2hhX1，X2——对称未知力X3——反对称未知力副系数为零107于是，原力法方程：变为： 对于前两个方程组成的方程组，因其右端项为零，且系数行列式的值通常不等于零，即于是，方程组只有零解：X1=0，X2=0。

108 结论：对称结构在反对称荷载作用下，其对称未知力为零，只有反对称未知力普遍性结论：采用力法计算任何对称结构，只要所取的基本未知量都是对称力或反对称力，则力法方程必然分解为独立的两组，其中一组只包含对称未知力，另一组只包含反对称未知力，原来的高阶方程组现在分解为两个低阶方程组，因而使计算得到简化 109（三） 奇数跨或偶数跨对称结构的处理 1、若对称结构是奇数跨，则存在与对称轴相交的截面切开该截面，则未知力分为两组：对称未知力和反对称未知力若荷载对称或反对称，则按前述方法处理X1, X2为对称未知力; X3为反对称未知力110 2、若对称结构是偶数跨，则不存在与对称轴相交之截面，此时应根据荷载情况分别处理： 1）对称荷载对称结构在该对称荷载作用下，其内力和位移均对称FPFP原结构FPFP基本体系111 2）反对称荷载对称结构在反对称荷载作用下，其内力和位移均反对称FPFP原结构FP基本体系FP注意：多余力反对称112（四） 组合未知力（广义未知力）结合下图示刚架进行说明EI1基本体系EI2EI1X1X2X1X2EI1原结构EI2EI1hl/2l/2113力法方程为：MP图X1=1lX1=1(对称)图X2=12lX2=1ll图(反对称)114 在上题中，X1实质上是对称结构在对称荷载作用下产生的未知力，而X2则是反对称荷载产生的未知力。

EI1对称荷载EI2EI1l/2l/2X1X1q/2EI1反对称荷载EI2EI1l/2l/2X2X2q/2q/2115（五）举例例6-5-1 分析图a所示刚架，作弯矩图 本题采用两种做法，以示比较a)q=7kN/mBDCA3EI2EI2EI6m6m 第一种方法：分解荷载成对称和反对称两组荷载 第二种方法：不分解荷载，选取对称的基本体系116(a)q=7kN/mBDCA3EI2EI2EI6m6m(b)正对称荷载X1X2X1X3基本体系q=3.5kN/mBDCAq=3.5kN/m第一种方法：分解荷载成对称和反对称两组荷载1、考虑对称荷载(1) 取基本体系如图b，基本未知量X1、X2、X311 X1 + 12 X2 + 1P = 021 X1 + 22 X2 + 2P = 0(2) 列力法方程直接利用对称性直接利用对称性117X3=133333(f)BDCAX2=1111 111(e)BDCA对称荷载作用，利用对称性X3=0(3) 计算系数和自由项（ ） 66(d)BDCAX1=16363(g)BDCA118)m(72]632)6621(2[2111kNEIEI==1dxEIM=1M)1(18] 1)6621(2[212112kNEIEI-=-==1dxEIM=2M).1(8)]161 (2[21) 161 (3122mkNEIEIEI=+=2dxEIM=2M)(567)]643()66331(2[211EIEIP==1dxEIMMP=m)(无量纲126] 1)66331(2[2122EIEIdxEIMMPP-=-==有有关关单单位位说说明明：：E (kN/m2)，，I (m4)，，EI (kN m2)119(4) 求未知量X1、X2(5) 作对称荷载下结构的弯矩图 ，也可以最后叠加作图（采取最后作弯矩图）2、考虑反对称荷载(1) 取基本体系如图c，基本未知量X1、X2、X3。

此时，120(c)反对称荷载X1X2X1X3基本体系q=3.5kN/mBDCAq=3.5kN/m63(h)BDCA63 反对称荷载，利用对称性，X1 = X2 = 0(2) 列力法方程(3) 计算系数和自由项（ h ） 121kNEIEI)m(60]332)3321(3)63[(2233=+=dxEIM3=M3EIEIP)(378]3)66331[(223==dxEIMMP3= m(4) 求未知量X33、作结构M图57.630.614.423.4M图(kN.m)BDCA校核：122第二种方法：不分解荷载，选取对称的基本体系此时， 不变， 不变，只作 图q=7kN/mBDCA3EI2EI2EI6m6mX1X2X1X3基本体系MP(kNm)126BDCA各自由项计算如下：==)(567)]643()612631[(211EIEIPmdxEIMMP1=123-=-=)(无量纲126] 1)612631[(212EIEIPdxEIMMP2===)(378]3)612631[(213EIEIPmdxEIMMP3=代入力法方程有：=+=-+-=+-03786001268180567187232121XXXXX这时，只是两组方程合在一起，求解是一样的，但是计算却要更简单些。

所以，在实际应用中要根据具体题目的情况，而不能盲目利用对称性，使计算复杂化124例6-5-2 右图示结构，讨论用力法简化计算 将荷载分解为对称荷载和反对称荷载在对称结点荷载作用下，由于不考虑杆件的轴向变形，其M等于零在反对称结点荷载作用下，只有一个未知量X1原结构FPEIEIEIEI2EI2EI125EIEI反对称荷载EIEI2EI2EIFP/2FP/2FP/2EIEI对称荷载EIEI2EI2EIFP/2ABFN= -FP/2+X2=0X1=0X4≠0X3=0FP/2FP/2126 解：将荷载分为两组：第一组荷载关于x和y 轴都对称，见图b)第二组荷载关于y 轴对称，关于x 轴反对称，见下页图c)y2FPFPFPb）2FPFPFPxFN= -FPFN= -2FPFN= -FPM=0aaaAB04FP2FP2FPa）例6-5-3 图a)示对称结构，各杆EI相同，讨论力法的简化计算127 由于不考虑杆件的轴向变形，上页图b) 荷载下各杆弯矩等于零 图c) 荷载关于x轴反对称，切开与x轴相交的截面，未知力分为两组：对称未知力X1，X2以及反对称未知力X3。

所以对称未知力X1，X2等于零，只有反对称未知力X3，如图 d)所示y2FPFPFPc）2FPFPFPxX1=0X1=02FPFPFPd）2FPFPFPyxX3≠0X2=0X3≠0X2=0128归纳起来，利用对称性以简化计算的要点如下：(1) 选用对称的基本体系，选用对称力或反对称力作为基本未知量2)在对称荷载作用下，只考虑对称未知力(反对称未知力等于零)3)在反对称荷载作用下，只考虑反对称未知力(对称未知力等于零)4)非对称荷载可分解为对称荷载和反对称荷载129六、半刚架法 对称结构的计算还有另一种方法——取半边结构计算例6-5-4 对例例6-5-1采用取半边结构的方法求解解：根据对称结构在对称荷载和反对称荷载作用下的变形特点，选取半刚架1、正对称荷载作用下半刚架的计算(a)q=7kN/mBDCA3EI2EI2EI6m6m130(a)q=3.5kN/mBDCAq=3.5kN/m正对称荷载(b)CAq=3.5kN/m(c)CAX1X2基本体系q=3.5kN/m(1) 取基本体系(见图c)，基本未知量X1、X2 11 X1 + 12 X2 + 1P = 021 X1 + 22 X2 + 2P = 0(2) 列力法方程(3) 计算系数和自由项（ ） 131X2=11111X1=1663EIEI36)]632()6621[(2111==EIEI9] 1)6621[(212112===EIEIEI4) 131 (31) 161 (2122==132EIEIP5 .283)]643()66331[(211-=-=EIEIP63] 1)66331[(212-=-=(4) 求多余力X1、X2=-+=-+0634905 .2839362121XXXX-==kNXkNX5 . 4921(5) 作出对称荷载下半刚架的弯矩图，利用对称性作出另一半 (见图 ) 。

BDCA13.513.54.54.515.7515.751332、反对称荷载作用下的半刚架计算(2) 力法方程 11 X1 + 1P = 0 (d)反对称荷载q=3.5kN/mBDCAq=3.5kN/m(e)q=3.5kN/mCA(f)X1基本体系q=3.5kN/mCA(1) 取基本体系(见图)，多余未知力X1 3) 计算11、1P （（ ））134X1=133363EIEIP189]3)66331[(211-=-=EIEIEI30)]332()3321[(31)363(2111=+=3 . 6)30189(1111PkNEIEIX=--=-=3、作最后M图(4) 求多余力X1(5) 作出反对称荷载下半刚架的弯矩图，利用反对称性作出另一半 (见图 ) 13557.6BDCA30.614.414.423.4M 图(kN.m)23.431.5BDCA44.118.918.9M2图(kN.m)18.944.118.915.7515.75下面是两个利用半刚架方法求解对称结构的习题(习题6-8b、c)。

而习题6-8a、d则是另外一种利用对称性选取半刚架进行求解的习题136习题6-8baaEI=常数a/2a/2q1/4结构X1基本体系q习题6-8ca2aqEI＝常数q1/2结构a/2q1/4结构X1基本体系a/2qX2137§6-6 温度变化及有弹簧支座结构的计算一 、温度变化时的计算下面通过例题进行说明原结构8m6m0.6m0.4m例6-6-1 图示刚架，混凝土浇筑时温度为 ，到冬季时室外温度为 ，室内保持不变，求M图各杆EI相同，线膨胀系数为α138所以2) 力法方程解： 1) 温度改变值：X1=1基本体系X166图1393) 计算系数和自由项 4) 求未知力X1自由项计算用静定结构受温度变化影响时的位移计算公式1405) 作弯矩图和轴力图 值得注意：超静定结构在温度变化或支座移动作用下，杆件内力与杆件抗弯刚度EI成正比与静定结构相比，超静定结构是温度低的一侧受拉 因为基本体系是静定结构，温度变化不引起内力，故内力都是由多余未知力引起的，即：94.4EIα94.4EIαM图94.4EIα=13614111温度变化时内力计算特点(1) 温度变化引起的内力与杆件的抗弯刚度EI成正比；(2) 给定的温度条件下，截面尺寸愈大、内力愈大；(3) 此时要改善结构的受力状态，加大截面尺寸不是有效途径；(4) 拉应力产生在降温面。

因此特别提请注意：在钢筋混凝土结构中，裂缝可能出现在降温面15.74EI=22.6FN图(kN)142二 、具有弹簧支座结构的力法求解 弹簧支座分为拉压弹簧支座和转动弹簧支座两类，如下图示ΔFP拉压弹簧支座θ转动弹簧支座M143解：1) 将拉压弹簧与杆端C分开，取基本体系如图示 2) 力法方程3) 求系数和自由项例6-6-2 求下图示刚架M图ABCEI lEI l原结构EI lABCEI l基本体系X1144ABCMP图ABCX1=1图ll1454) 求未知量X1 若基本体系保留有弹簧支座，则求方程的系数比较繁琐，应尽量避免详见下面的例ABC0.1590.0455(ql2)M图5) 作弯矩图(如右图)146例6-6-3 求下图示具有弹簧支座梁的M图解：1) 基本体系见图 b)2) 力法方程：3) 求系数和自由项：ABEI la) 原结构ABEI lb) 基本体系X1147ABX1=11图ABX1=1产生的变形图X1=1AB荷载产生的变形图1484）求未知力并作M图ABMP图ABX1=11图ABM图此点剪力为零，距B点x=3l/20149§6-7 超静定结构的位移计算及力法 计算校核一、 超静定结构的位移计算基本思路：利用基本体系求原结构的位移。

用力法求出超静定结构的内力后，欲求某截面的位移，则单位荷载可以加在任选的基本体系上，即超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上进行基本体系与原结构的唯一区别：把多余力由原来的被动力换成主动力150原理：对于某超静定结构，所选取的各种基本体系在外因（荷载、温度变化、支座移动）以及未知力X共同作用下，其内力和变形与原结构完全相同所以求原结构的位移就转化为求基本体系的位移特别提出：基本体系是不唯一的，但是原结构的最后内力图是唯一的，所以，在求得原结构的内力图后，可以选取任一基本体系来求原结构的位移1511、荷载作用时的位移计算公式即：选取基本体系应使其在单位力作用下，尽量少的杆件上有内力注意：也可以利用计算超静定结构内力时选取的同一基本体系；但是 越简单越好152 2、支座移动时的位移计算公式3、温度变化时的位移计算公式1534、综合因素影响下的位移计算公式（一） 荷载作用下超静定结构的位移计算 与静定结构的位移计算一样，在计算超静定结构的位移时，对梁和刚架来说通常只考虑弯曲变形的影响，即只考虑弯矩的作用，而忽略剪力和轴力的影响154例6-7-1 求梁中点竖向位移ΔCV，EI为常数。

解：1) 单位荷载加在原结构上原结构ABl/2l/2CCABM图ω1ω2l/8CAB1l/8l/8图y1y21552) 单位荷载加在基本体系I上基本体系IABCAACBCB1l/4图M图ω1ω2y1y2ql2/241563）单位荷载加在基本体系II上基本体系IIABCCABCAB1l/2图M图ω2ω1y2y1157例6-7-2 求图示刚架结点水平位移ΔDH，结构M图及各杆EI如图示解：单位荷载分别加在四种基本体系上，显然基本体系1的计算最简单（见下页图）2EI2EI7kN/m3EI6m6mACDBACDB14.431.557.630.623.4M图(kN.m)158图6CDBA1图ACDB16X17kN/mACDB基本体系1X2X37kN/mCDB基本体系2X1X2X3A159图3CDBA133图6CDBA167kN/mCDB基本体系4X3X1X2A7kN/mCDB基本体系3X3X2X1A160（二） 温度变化时的位移计算 a) 原结构8m6m0.6m0.4mABCDb) M图94.4EIα94.4EIα例6-7-3 图a)所示结构的M图已求出，见图b），欲求D结点的水平位移 。

各杆EI、 相同161 因为超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上进行如取图c)所示基本体系求解超静定结构，则基本体系上作用有X1及温度变化两种因素c) 力法基本体系X1ADCB 基本体系在 X1作用下的M图即上页图b)，此外还要考虑温度变化的影响则位移计算的公式为：忽略 的影响16294.4EIα94.4EIαM图X16m6m8m166图163（三） 支座移动时的位移计算BAb) M图例6-7-4 图a)所示结构的M图已求出，见图b）欲求截面B的转角 BA图1BAEI, la)BAEI, l1) 所取的基本体系无支座移动1642) 所取的基本体系有支座移动BAEI, lBA11BAM图X1165（四） 综合受载情况下时的位移计算例6-7-5 用力法计算图a所示结构由于荷载、支座移动 和 温 度 变 化 时 引 起 的 B点 的 水 平 位 移 BH，M=2000kN·m， A支 座 水 平 右 移 2.5cm，EI=500000kN·m2，t1=5℃，t2=-5℃，=10-5，杆件的截面高度h=40cm。

解：1、作M图（作超静定结构的弯矩图）（1）取基本体系(图B)，基本未知量X1（2）力法方程： 11 X1+1P+1c+ 1t=0166(c)M1(m)555X1=1(d)M200020002000(kN.m)MPX1=1(e)N111CBAa5m5mt1t2EIEIM(a)X1基本体系aCBAt1t2EIEIM(b)167(3) 计算 11 、 1P、1c、1t4111033. 33500-==EI4110150075000--=-=EIP)0(01==KcR10)(21℃=-=ttt0)(21210=+=ttt41075.93)555521(4 . 010-=+=(4) 求 X1kNXtcP3 .4221033. 310)75.931500()(144111111=-=---=--(5) 作M图(见图9-23f)PMXMM+=11168(f)111.5111.52000M(kN.m)M2、求BH ：(1) 选取基本体系1(图g)(g)P=1基本体系同前5CBAt1t2)(91. 1)(1075.190810)25005 .31275.278(]25. 0) 1[()5521(4 . 01010]5 .111)5521[(1555==+--=----=---cmmEI169注意：算式中的第二个负号，是因为t引起的弯矩使杆件内部受拉，而在 图中是使用杆件外侧受拉。

 M1(2) 选取基本体系2(图h)，简支式刚架P=155(h)基本体系2CBAt1t2P=11(i)CBAt1t2-1170再次提请注意：求位移时所选取的基本体系使计算越简单越好对比用两种不同的基本体系计算以上例题中求BH的工作量，即可注意到这个问题1092.192225. 01)]25521(4 . 01010[]532)55 .11121(531)5200021(]5 .111)5521[(155-=--+-=--))((92. 1-=cmEI＋－171关于校核的重要性，书中共讲了8条，请同学们自己看一下校核的重点内容：超静定结构的最后内力图关于最后内力图的校核，从两个方面进行二、 超静定结构内力图的校核但是为保证计算结果的正确性，应进行阶段性校核：基本体系是否几何不变？校核 、MP图是否正确？校核ii、 ij、iP、ic、it的正负号是否正确？校核Xi是否满足方程172 即是说：对于超静定结构的内力图，除了校核求得的M、FQ、FN是否满足平衡条件外，最主要的是变形条件的校核只有既满足平衡条件又满足变形协调条件的解答才是超静定结构的正确解答。

1、平衡条件的校核 从结构中取出任一部分(结点或杆件)，考虑内力和外荷载，都应满足平衡条件即： 2、变形条件的校核 在进行变形条件的校核时，通常选择原结构位移173等于零的截面进行校核，也就是进行超静定结构的位移计算 基本作法：任选一基本体系，任选一多余未知力Xi，然后根据M图算出沿Xi方向的位移i，并检查i是否与原结构中的相应位移(给定值是已知的)相等，即：i=0或i=给定值 一般情况下，计算公式为：174当已知i=0，且仅受外荷载作用时有：典型结构：梁和刚架仅考虑弯矩M的影响，即有：175对于封闭式刚架或框架，若i=0，则有：若EI=常数，则有：即：封闭框部分弯矩图的正负部分的面积相等 如下页图连续梁，可以校核ΔBV 、Δ CV、ΔDV是否等于零，也可以校核 、 ΔφB、 ΔφC是否等于零 在计算M/EI图或M图的面积之和时，规定刚架外侧的面积为正，刚架内侧的面积为负，或者相反176校核图校核ΔDVABCD1ABCD1图校核ΔφBABCD1M图ABCD 图177 对于如下图示封闭刚架，可以利用位移校核的简单公式。

梁、柱长均为6m 上图封闭刚架已求得弯矩图，为验算E左右截面相对转角ΔφE是否等于零，切开E截面，加上一对单位集中力偶，得到 图，则图ACDB1111EACDB14.431.557.630.623.4M图(kN.m)2EI2EI3EI178M图 (kN.m)ACDB14.431.557.630.623.42EI2EI3EI179例6-7-6 判断如下图a)所示弯矩图是否正确显然， ，可知M图有错误ABCDM图a)ABCD图b)1180例6-7-7 判断图a)所示结构结点D水平位移的方向 解：取图b)所示基本体系，在D点加单位水平荷载，作 图可见，结点D水平位移方向向右ACDB16b) 图ωACDB14.431.557.630.623.4a) M图(kN.m)2EI2EI3EIy181。