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物理光学与应用光学第二版课件第二章.ppt

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常见问题

第 2 章光的干涉第 2 章光的干涉 2.1　双光束干涉　双光束干涉 2.2　平行平板的多光束干涉　平行平板的多光束干涉 2.3 　光学薄膜　光学薄膜 2.4 　典型干涉仪　典型干涉仪 2.5 　光的相干性　光的相干性例题例题第 2 章光的干涉 2.1 双双光光束束干干涉涉 2.1.1 产生干涉的基本条件产生干涉的基本条件 1. 两束光的干涉现象两束光的干涉现象 光的干涉是指两束或多束光在空间相遇时，在重叠区内形成稳定的强弱强度分布的现象例如，图2-1所示的两列单色线偏振光 (2.1-1) (2.1-2) 第 2 章光的干涉图 2-1　两列光波在空间重叠第 2 章光的干涉在空间P点相遇，E1与E2振动方向间的夹角为θ，则在P点处的总光强为式中，I1、I2是二光束的光强；φ是二光束的相位差，且有 (2.1-3)(2.1-4)第 2 章光的干涉由此可见，二光束叠加后的总强度并不等于这两列波的强度和，而是多了一项交叉项I12，它反映了这两束光的干涉效应，通常称为干涉项。

干涉现象就是指这两束光在重叠区内形成的稳定的光强分布所谓稳定是指，用肉眼或记录仪器能观察到或记录到条纹分布，即在一定时间内存在着相对稳定的条纹分布显然，如果干涉项I12远小于两光束光强中较小的一个，就不易观察到干涉现象；如果两束光的相位差随时间变化，使光强度条纹图样产生移动，且当条纹移动的速度快到肉眼或记录仪器分辨不出条纹图样时，就观察不到干涉现象了第 2 章光的干涉　　在能观察到稳定的光强分布的情况下，满足 m=0, ±1, ±2，… 的空间位置为光强极大值处，且光强极大值IM为 (2.1-6) 满足j=(2m+1)π  m=0, ±1, ±2， …的空间位置为光强极小值处，且光强极小值Im为当两束光强相等，即I1=I2=I0时，相应的极大值和极小值分别为　IM=2I0(1+cosθ) 　(2.1-9)Im=2I0(1-cos θ) (2.1-10) (2.1-8) (2.1-5) (2.1-7) 第 2 章光的干涉 2. 产生干涉的条件产生干涉的条件 首先引入一个表征干涉效应程度的参量——干涉条纹可见度，由此深入分析产生干涉的条件。

 1) 干涉条纹可见度(对比度) 干涉条纹可见度定义为 (2.1-11) 当干涉光强的极小值Im=0时，V=1，二光束完全相干，条纹最清晰；当IM=Im时，V=0，二光束完全不相干，无干涉条纹；当IM≠Im≠0时，0＜V＜1，二光束部分相干，条纹清晰度介于上面两种情况之间 def第 2 章光的干涉 2) 产生干涉的条件 由上述二光束叠加的光强分布关系(2.1-3)式可见，影响光强条纹稳定分布的主要因素是：二光束频率；二光束振动方向夹角和二光束的相位差  (1) 对干涉光束的频率要求由二干涉光束相位差的关系式可以看出，当二光束频率相等，Δω=0时，干涉光强不随时间变化，可以得到稳定的干涉条纹分布当二光束的频率不相等，Δω≠0时，干涉条纹将随着时间产生移动，且Δω愈大，条纹移动速度愈快，当Δω大到一定程度时，肉眼或探测仪器就将观察不到稳定的条纹分布因此，为了产生干涉现象，要求二干涉光束的频率尽量相等第 2 章光的干涉 (2) 对二干涉光束振动方向的要求由(2.1-9)、 (2.1-10)式可见，当二光束光强相等时V=cosθ (2.1-12)因此，当θ=0、二光束的振动方向相同时，V=1，干涉条纹最清晰；当θ=π/2、二光束正交振动时，V=0，不发生干涉；当0＜θ＜π/2时， 0＜V＜1，干涉条纹清晰度介于上面两种情况之间。

所以，为了产生明显的干涉现象，要求二光束的振动方向相同第 2 章光的干涉 (3) 对二干涉光束相位差的要求由(2.1-3)式可见，为了获得稳定的干涉图形，二干涉光束的相位差必须固定不变，即要求二等频单色光波的初相位差恒定实际上，考虑到光源的发光特点，这是最关键的要求  可见，要获得稳定的干涉条纹，则： ① 两束光波的频率应当相同； ② 两束光波在相遇处的振动方向应当相同； ③ 两束光波在相遇处应有固定不变的相位差这三个条件就是两束光波发生干涉的必要条件，通常称为相干条件第 2 章光的干涉 3. 实现光束干涉的基本方法实现光束干涉的基本方法 通常称满足相干条件的光波为相干光波，相应的光源叫相干光源为了更深刻地理解干涉的特性，首先简单地介绍光源的发光性质  1) 原子发光的特点 众所周知，一个光源包含有许许多多个发光的原子、分子或电子，每个原子、分子都是一个发光中心，我们看到的每一束光都是由这些原子和分子(发光中心)发射和汇集出来的但是每个单个原子和分子的发光都不是无休止的，每次发光动作只能持续一定的时间，这个时间很短(实验证明，原子发光时间一般都小于10-8秒)，因而每次原子发光只能产生有限的一段波列。

第 2 章光的干涉进一步，由光的辐射理论知道，普通光源的发光方式主要是自发辐射，即各原子都是一个独立的发光中心，其发光动作杂乱无章，彼此无关因而，不同原子产生的各个波列之间、同一个原子先后产生的各个波列之间，都没有固定的相位关系，这样的光波叠加，当然不会产生干涉现象或者说，在一极短的时间内，其叠加的结果可能是加强，而在另一极短的时间内，其叠加的结果可能是减弱，于是在一有限的观察时间τ内，二光束叠加的强度是时间τ内的平均，即为第 2 章光的干涉如果在τ内各时刻到达的波列相位差j无规则地变化，j将在τ内多次(可能在108次以上)经历0与2π之间的一切数值，这样，上式的积分为因此即二光束叠加的平均光强，恒等于二光波的光强之和，不发生干涉由此看来，不仅从两个普通光源发出的光不会产生干涉，就是从同一个光源的两个不同部分发出的光也是不相干的因此，普通光源是一种非相干光源第 2 章光的干涉 2) 获得相干光的方法 由上面关于相干条件的讨论可知，利用两个独立的普通光源是不可能产生干涉的，即使使用两个相干性很好的独立激光器发出的激光束来进行干涉实验，也是相当困难的事，其原因是它们的相位关系不固定。

 在光学中，获得相干光、产生明显可见干涉条纹的唯一方法就是把一个波列的光分成两束或几束光波，然后再令其重合而产生稳定的干涉效应这种“一分为二”的方法，可以使二干涉光束的初相位差保持恒定第 2 章光的干涉一般获得相干光的方法有两类：分波面法和分振幅法分波面法是将一个波列的波面分成两部分或几部分，由这每一部分发出的波再相遇时，必然是相干的，下面讨论的杨氏干涉就属于这种干涉方法分振幅法通常是利用透明薄板的第一、二表面对入射光的依次反射，将入射光的振幅分解为若干部分，当这些不同部分的光波相遇时将产生干涉，这是一种很常见的获得相干光、产生干涉的方法，下面讨论的平行平板产生的干涉就属于这种干涉方法第 2 章光的干涉 2.1.2 双光束干涉双光束干涉 1. 分波面法双光束干涉分波面法双光束干涉 在实验室中为了演示分波面法的双光束干涉，最常采用的是图2-2所示的双缝干涉实验用一束He-Ne激光照射两个狭缝S1、S2，就会在缝后的白色屏幕上出现明暗交替的双缝干涉条纹为了研究分波面法双光束干涉现象的特性，下面进一步讨论杨氏双缝干涉实验。

第 2 章光的干涉图 2-2 双缝干涉实验第 2 章光的干涉　　在图2-3所示的实验原理图中，间距为d的S1和S2双缝从来自狭缝S的光波波面上分割出很小的两部分作为相干光源，它们发出的两列光波在观察屏上叠加，形成干涉条纹第 2 章光的干涉图 2-3　杨氏双缝干涉实验原理图第 2 章光的干涉由于狭缝S和双缝S1、S2都很窄，均可视为次级线光源从线光源S发出的光波经SS1P和SS2P两条不同路径，在观察屏P点上相交，其光程差为 Δ=(R2-R1)+(r2-r1)=ΔR+Δr 在d<

相邻两亮(暗)条纹间的距离是条纹间距ε，且有 (2.1-16) 其中w=d/D叫光束会聚角可见，条纹间距与会聚角成反比；与波长成正比，波长长的条纹较短波长疏在实验中，可以通过测量D、d和ε，计算求得光波长λ 第 2 章光的干涉 ② 如果S1、S2到S的距离不同，ΔR≠0，则对应 (2.1-17) 的空间点是亮条纹；对应 (2.1-18) 的空间点是暗条纹即干涉图样相对于ΔR=0的情况，沿着y方向发生了平移第 2 章光的干涉　　除了上述杨氏干涉实验外，菲涅耳双棱镜(图2-4)、菲涅耳双面镜(图2-5)和洛埃镜(图2-6)都属于分波面法双光束干涉的实验装置第 2 章光的干涉图 2-4　菲涅耳双棱镜干涉装置第 2 章光的干涉图 2-5　菲涅耳双面镜干涉装置第 2 章光的干涉图 2-6　洛埃镜干涉装置第 2 章光的干涉这些实验的共同点是：　　① 在两束光的叠加区内，到处都可以观察到干涉条纹，只是不同地方条纹的间距、形状不同而已这种在整个光波叠加区内，随处可见干涉条纹的干涉，称为非定域干涉。

与非定域干涉相对应的是定域干涉，有关干涉的定域问题，将在2.5节中讨论  ② 在这些干涉装置中，都有限制光束的狭缝或小孔，因而干涉条纹的强度很弱，以致于在实际中难以应用  ③ 当用白光进行干涉实验时，由于干涉条纹的光强极值条件与波长有关，除了m=0的条纹仍是白光以外，其它级次的干涉条纹均为不同颜色(对应着不同波长)分离的彩色条纹第 2 章光的干涉 2. 分振幅法双光束干涉分振幅法双光束干涉 1) 平行平板产生的干涉——等倾干涉 平行平板产生干涉的装置如图2-7所示，由扩展光源发出的每一簇平行光线经平行平板反射后，都会聚在无穷远处，或者通过图示的透镜会聚在焦平面上，产生等倾干涉第 2 章光的干涉图 2-7 平行平板干涉的光程图示第 2 章光的干涉 (1) 等倾干涉的强度分布根据光波通过透镜成像的理论分析，光经平行平板后，通过透镜在焦平面F上所产生的干涉强度分布(图样)，与无透镜时在无穷远处形成的干涉强度分布(图样)相同其规律主要取决于光经平板反射后，所产生的两束光，到达焦平面F上P点的光程差。

　　由图示光路可见，该这两束光因几何程差引起的光程差为式中，n和n0分别为平板折射率和周围介质的折射率，N是由C点向AD所引垂线的垂足，自N点和C点到透镜焦平面P点的光程相等假设平板的厚度为h，入射角和折射角分别为θ1和θ2，则由几何关系有第 2 章光的干涉再利用折射定律可得到光程差为 (2.1-19) 第 2 章光的干涉　　进一步，考虑到由于平板两侧的折射率与平板折射率不同，无论是n0＞n，还是n0＜n，从平板两表面反射的两支光中总有一支发生“半波损失”所以，两束反射光的光程差还应加上由界面反射引起的附加光程差λ/2，故如果平板两侧的介质折射率不同，并且平板折射率的大小介于两种介质折射率之间，则两支反射光间无“半波损失”贡献，此时的光程差仍采用(2.1-19)式 (2.1-20) 第 2 章光的干涉由此可以得到焦平面上的光强分布为式中，I1和I2分别为两支反射光的强度显然，形成亮暗干涉条纹的位置，由下述条件决定：相应于光程差Δ=mλ(m=0, 1, 2, …)的位置为亮条纹；相应于光程差Δ=(m+1/2)λ的位置为暗条纹 (2.1-21) 第 2 章光的干涉如果设想平板是绝对均匀的，折射率n和厚度h均为常数，则光程差只决定于入射光在平板上的入射角θ1(或折射角θ2)。

因此，具有相同入射角的光经平板两表面反射所形成的反射光，在其相遇点上有相同的光程差，也就是说，凡入射角相同的光，形成同一干涉条纹正因如此，通常把这种干涉条纹称为等倾干涉第 2 章光的干涉 (2) 等倾干涉条纹的特性等倾干涉条纹的形状与观察透镜放置的方位有关，当如图2-8所示，透镜光轴与平行平板G垂直时，等倾干涉条纹是一组同心圆环，其中心对应θ1=θ2=0 的干涉光线第 2 章光的干涉图 2-8　产生等倾圆条纹的装置第 2 章光的干涉 ① 等倾圆环的条纹级数由(2.1-20)式可见，愈接近等倾圆环中心，其相应的入射光线的角度θ2愈小，光程差愈大，干涉条纹级数愈高偏离圆环中心愈远，干涉条纹级数愈小是等倾圆环的重要特征设中心点的干涉级数为m0，由(2.1-20)式有 (2.1-22) 因而通常，m0不一定是整数，即中心未必是最亮点，故经常把m0写成其中，m1是靠中心最近的亮条纹的级数(整数)， 0＜ε＜1 (2.1-23) (2.1-24) 第 2 章光的干涉 ② 等倾亮圆环的半径。

由中心向外计算，第N个亮环的干涉级数为［m1－(N－1)］，该亮环的张角为θ1N，它可由 (2.1-25)与折射定律n0sinθ1N=n sinθ2N确定将(2.1-22)式与(2.1-25)式相减，得到一般情况下，θ1N和θ2N都很小，近似有n≈n0θ1N/θ2N，，因而由上式可得 (2.1-26)第 2 章光的干涉相应第N条亮纹的半径rN为 (2.1-27)式中，f 为透镜焦距，所以 (2.1-28)由此可见，较厚的平行平板产生的等倾干涉圆环，其半径要比较薄的平板产生的圆环半径小第 2 章光的干涉　　③ 等倾圆环相邻条纹的间距为 (2.1-29) 该式说明，愈向边缘(N愈大)，条纹愈密第 2 章光的干涉 (3) 透射光的等倾干涉条纹如图2-9所示，由光源S发出、透过平板和透镜到达焦平面上P点的两束光，没有附加半波光程差的贡献，光程差为它们在透镜焦平面上同样可以产生等倾干涉条纹  由于对应于光源S发出的同一入射角的光束，经平板产生的两束透射光和两束反射光的光程差恰好相差λ/2，相位差相差π，因此，透射光与反射光的等倾干涉条纹是互补的，即对应反射光干涉条纹的亮条纹，在透射光干涉条纹中恰是暗条纹，反之亦然。

(2.1-30) 第 2 章光的干涉图2-9 透射光等倾条纹的形成第 2 章光的干涉　　应当指出，当平板表面的反射率很低时，两支透射光的强度相差很大，因此条纹的可见度很低，而与其相比，反射光的等倾干涉条纹可见度要大得多图2-10绘出了对于空气-玻璃界面，接近正入射时所产生的反射光等倾条纹强度分布(图2-10(b))和透射光等倾条纹的强度分布(图2-10(d)) 所以，在平行板表面反射率较低的情况下，通常应用的是反射光的等倾干涉第 2 章光的干涉图 2-10 平板干涉的反射光条纹和透射光条纹比较第 2 章光的干涉 2) 楔形平板产生的干涉——等厚干涉　　楔形平板是指平板的两表面不平行，但其夹角很小楔形平板产生干涉的原理如图2-11所示扩展光源中的某点S0发出一束光，经楔形板两表面反射的两束光相交于P点，产生干涉，其光程差为Δ=n(AB+BC)－n0(AP－CP)光程差的精确值一般很难计算但由于在实用的干涉系统中，板的厚度通常都很小，楔角都不大，因此可以近似地利用平行平板的计算公式代替，即Δ=2nh cosθ2 (2.1-31) 第 2 章光的干涉图 2-11 楔形平板的干涉第 2 章光的干涉式中，h是楔形板在B点的厚度；θ2是入射光在A点的折射角。

考虑到光束在楔形板表面可能产生的“半波损失”，两表面反射光的光程差应为显然，对于一定的入射角(当光源距平板较远，或观察干涉条纹用的仪器孔径很小时，在整个视场内可视入射角为常数)，光程差只依赖于反射光处的平板厚度h，所以，干涉条纹与楔形板的厚度一一对应因此，将这种干涉称为等厚干涉，相应的干涉条纹称为等厚干涉条纹 (2.1-32) 第 2 章光的干涉 (1) 等厚干涉条纹图样对于图2-12所示的垂直照射楔形板产生干涉的系统，位于垂直透镜L1前焦面上的扩展光源发出的光束，经透镜L1后被分束镜M反射，垂直投射到楔形板G上，由楔形板上、下表面反射的两束光通过分束镜M、透镜L2投射到观察平面E上不同形状的楔形板将得到不同形状的干涉条纹图2-13给出了(a)楔形平板、 (b) 柱形表面平板、 (c)球形表面平板、(d)任意形状表面平板的等厚干涉条纹不管哪种形状的等厚干涉条纹，相邻两亮条纹或两暗条纹间对应的光程差均相差一个波长，所以从一个条纹过渡到另一个条纹，平板的厚度均改变λ/(2n) 第 2 章光的干涉图 2-12 观察等厚干涉的系统第 2 章光的干涉图 2-13 不同形状平板的等厚条纹第 2 章光的干涉 (2) 劈尖的等厚干涉条纹如图2-14所示，当光垂直照射劈尖时，会在上表面产生平行于棱线的等间距干涉条纹。

相应亮线位置的厚度h满足 m=1, 2, … (2.1-33) 相应暗线位置的厚度h满足 m=0,1, 2 … (2.1-34) 显然，棱线总处于暗条纹的位置如果考虑到光在上表面(或下表面)上会产生“半波损失”，在棱线处上、下表面的反射光总是抵消，则在棱线位置上总为光强极小值就是很自然的了第 2 章光的干涉图 2-14　劈尖的干涉条纹第 2 章光的干涉　　若劈尖上表面共有N个条纹，则对应的总厚度差为 (2.1-35) 式中，N可以是整数，亦可以是小数  相邻亮条纹(或暗条纹)间的距离，即条纹间距为 (2.1-36) 由此可见，劈角α小，条纹间距大；反之，劈角α大，条纹间距小因此，当劈尖上表面绕棱线旋转时，随着α的增大，条纹间距变小，条纹将向棱线方向移动第 2 章光的干涉由(2.1-36)式还可看出，条纹间距与入射光波长有关，波长较长的光所形成的条纹间距较大，波长短的光所形成的条纹间距较小这样，使用白光照射时，除光程差等于零的条纹仍为白光外，其附近的条纹均带有颜色，颜色的变化均为内侧波长短，外侧波长长。

当劈尖厚度较大时，由于白光相干性差的影响，又呈现为均匀白光由此可知，利用白光照射的这种特点，可以确定零光程差的位置，并按颜色来估计光程差的大小第 2 章光的干涉 (3) 牛顿环如图2-15所示，在一块平面玻璃上放置一曲率半径R很大的平凸透镜，在透镜凸表面和玻璃板的平面之间便形成一厚度由零逐渐增大的空气薄层当以单色光垂直照射时，在空气层上会形成一组以接触点O为中心的中央疏、边缘密的圆环条纹，称为牛顿环它的形状与等倾圆条纹相同，但牛顿环内圈的干涉级次小，外圈的干涉级次大，恰与等倾圆条纹相反若由中心向外数第N个暗环的半径为r，则由图2-15可知由于透镜凸表面的曲率半径R远大于暗环对应的空气层厚度，所以上式可改写为 (2.1-37)第 2 章光的干涉图 2-15　牛顿环的形成第 2 章光的干涉因第N个暗环的干涉级次为(N+1/2)，故可由暗环满足的光程差条件写出由此可得 (2.1-38)(2.1-39)由该式可见，若通过实验测出第N个暗环的半径为r，在已知所用单色光波长的情况下，即可算出透镜的曲率半径。

第 2 章光的干涉在牛顿环中心(h=0)处，由于两反射光的光程差(计及“半波损失”)为Δ=λ/2，所以是一个暗点，而在透射光方向上可以看到一个强度互补的干涉图样，这时的牛顿环中心是一个亮点牛顿环除了用于测量透镜曲率半径R外，还常用来检验光学零件的表面质量常用的玻璃样板检验法就是利用与牛顿环类似的干涉条纹这种条纹形成在样板和待测零件表面之间的空气层上，俗称为“光圈” 根据光圈的形状、数目以及用手加压后条纹的移动，就可以检验出零件的偏差例如，当条纹是图2-16所示的同心圆环时，表示没有局部误差假设零件表面的曲率半径为R1，样板的曲率半径为R2，则二表面曲率差ΔC=1/R1－1/R２由图2-16的几何关系有第 2 章光的干涉图 2-16　用样板检验光学零件表面质量第 2 章光的干涉如果零件直径D内含有N个光圈，则利用(2.1-38)式可得在光学设计中，可以按上式换算光圈数与曲率差之间的关系 (2.1-40) 第 2 章光的干涉 2.2 平行平板的多光束干涉平行平板的多光束干涉　　上一节讨论了平行平板的双光束干涉现象，实际上它只是在表面反射率较小情况下的一种近似处理。

由于光束在平板内会如图2-17所示不断地反射和折射，而这种多次反射、折射对于反射光和透射光在无穷远或透镜焦平面上的干涉都有贡献，所以在讨论干涉现象时，必须考虑平板内多次反射和折射的效应，即应讨论多光束干涉第 2 章光的干涉图 2-17 光束在平行平板内的多次反射和折射第 2 章光的干涉 1. 平行平板多光束干涉的强度分布平行平板多光束干涉的强度分布——爱里爱里(Airy)公式公式现在讨论如图2-18所示的、在透镜焦平面上产生的平行平板多光束干涉的强度分布  假设E0i为入射光电矢量的复振幅，与P点(和P′点)对应的多光束的出射角为θ0，它们在平板内的入射角为θ，则相邻两反射光或透射光之间的光程差为Δ=2nh cos θ (2.2-1)相应的相位差为 (2.2-2)第 2 章光的干涉图 2-18　在透镜焦平面上产生的多光束干涉第 2 章光的干涉若光从周围介质射入平板时的反射系数为r，透射系数为t，光从平板射出时的反射系数为r′，透射系数为t′，则从平板反射出的各个光束的复振幅为第 2 章光的干涉所有反射光在P点叠加，其合成场复振幅为根据菲涅耳公式可以证明第 2 章光的干涉由平板表面反射系数、透射系数与反射率、透射率的关系： r2=r’2=R tt′=1-R=T并利用可得 (2.2-3) 第 2 章光的干涉再由I=E·E*，得到反射光强与入射光强的关系为 (2.2-4) 式中 (2.2-5) 类似地，也可得到透射光强与入射光强的关系式： (2.2-6) (2.2-4)式和(2.2-6)式即是反射光干涉场和透射光干涉场的强度分布公式，通常称为爱里公式。

第 2 章光的干涉 2. 多光束干涉图样的特点多光束干涉图样的特点 根据爱里公式，可以看出多光束干涉的干涉图样有如下特点：  (1) 互补性由(2.2-4)式和(2.2-6)式可以得到　　　　　　　　　　　　　Ir+It=Ii　　　　　　　　　　　　　(2.2-7) 该式反映了能量守恒的普遍规律，即在不考虑吸收和其它损耗的情况下，反射光强与透射光强之和等于入射光强若反射光因干涉加强，则透射光必因干涉而减弱，反之亦然即是说，反射光强分布与透射光强分布互补  第 2 章光的干涉 (2) 等倾性由爱里公式可以看出，干涉光强随R和j变化，在特定的R条件下，仅随j变化根据(2.2-2)关系式，也可以说干涉光强只与光束倾角有关，这正是等倾干涉条纹的特性因此，平行平板在透镜焦平面上产生的多光束干涉条纹是等倾条纹当实验装置中的透镜光轴垂直于平板(图2-19)时，所观察到的等倾条纹是一组同心圆环第 2 章光的干涉图 2-19 多光束干涉的实验装置第 2 章光的干涉 (3) 光强分布的极值条件由爱里公式可以看出，在反射光方向上，当 (2.2-8) 时，形成亮条纹，其反射光强为 (2.2-9) 当 j=2mπ m=0, 1, 2, … (2.2-10)时，形成暗条纹，其反射光强为Irm=0 (2.2-11) 第 2 章光的干涉对于透射光，形成亮条纹和暗条纹的条件分别是 (2.2-12) 和 (2.2-13) 其相应的光强分别为 (2.2-14) 和 (2.2-15) 第 2 章光的干涉应当说明的是，在前面讨论平行平板双光束干涉时，二反射光的光程差计入了第一束反射光“半波损失”的贡献，表示式为Δ=2nh cosθ2+λ/2; 而在讨论平行平板多光束干涉时，除了第一个反射光外，其它相邻二反射光间的光程差均为Δ=2nh cosθ，实际上对于第一束反射光的特殊性(“半波损失”问题)已由菲涅耳系数r=－r′表征了。

因此，这里得到的光强分布极值条件，与只计头两束反射光时的双光束干涉条件，实际上是相同的，然干涉条纹的分布也完全相同第 2 章光的干涉 3. 透射光的特点透射光的特点　　这里，只详细讨论透射光的干涉条纹特点在不同表面反射率R的情况下，透射光强的分布如图2-20所示，图中横坐标是相邻两透射光束间的相位差j，纵坐标为相对光强　　由图可以得出如下规律：　　(1) 光强分布与反射率R有关 R很小时，干涉光强的变化不大，即干涉条纹的可见度很低当R增大时，透射光暗条纹的强度降低，条纹可见度提高控制R的大小，可以改变光强的分布第 2 章光的干涉图 2-20　多光束干涉的透射光强分布曲线第 2 章光的干涉　　 (2) 条纹锐义与反射率R有关随着R增大，极小值下降，亮条纹宽度变窄但因，透射光强的极大值与R无关，所以，在R很大时，透射光的干涉条纹是在暗背景上的细亮条纹与此相反，反射光的干涉条纹则是在亮背景上的细暗条纹，由于它不易辨别，故极少应用能够产生极明锐的透射光干涉条纹，是多光束干涉的最显著和最重要的特点　　在It/Ii~j曲线上，若用条纹的半峰值全宽度ε=Δj表征干涉条纹的锐度，则如图2-21所示，在　　　　　　　时，第 2 章光的干涉图 2-21 条纹的半宽度图示第 2 章光的干涉从而有若F很大(即R较大)，ε必定很小，有sinε/4≈ε/4，F(ε/4) 2=1，因而可得 (2.2-16) 第 2 章光的干涉显然，R愈大，ε愈小，条纹愈尖锐。

 条纹锐度除了用ε表示外，还常用相邻两条纹间的相位差(2π)与条纹半宽度(ε)之比N表征， (2.2-17) 此比值称为条纹精细度R愈大，亮条纹愈细，N值愈大当R→1时，N→∞，这对于利用这种条纹进行测量的应用，十分有利 　　应当指出，上述ε是在单色光照射下产生的多光束干涉条纹的半宽度，它不同于准单色光的谱线宽度，故又称为“仪器宽度” 第 2 章光的干涉 (3) 频率特性由图2-20所示的It/Ii~j分布曲线可见，只有相邻透射光相位差处在半宽度Δj内的光才能透过平行平板而由(2.2-2)式，在平行板的结构(n、h)确定，入射光方向一定的情况下，相位差j只与光波长有关，只有使j=2mπ的光波长才能最大地透过该平行平板所以，平行平板具有滤波特性若将j改写为 (2.2-18) 并以ν为横坐标，可绘出如图2-22所示的It/Ii~ν曲线，其滤波特性显而易见第 2 章光的干涉图 2-22　平行平板的滤波特性第 2 章光的干涉通常将相应于条纹半宽度Δj的频率范围Δν1/2称为滤波带宽，且利用(2.2-16)式，可以改写为 (2.2-20)进一步，由νm=c/λm，有 (2.2-19)第 2 章光的干涉相应于j=2mπ的光波长为所以，透射带宽可用波长表示：通常称(Δλm)1/2为透射带的波长半宽度。

显然，R愈大，N愈大，相应的(Δλm)1/2愈小 (2.2-21)第 2 章光的干涉 2.3 光　学　薄　膜光　学　薄　膜 2.3.1　光学薄膜的反射特性　光学薄膜的反射特性　　　　1. 单层膜单层膜 在玻璃基片的光滑表面上镀一层折射率和厚度都均匀的透明介质薄膜，当光束入射到薄膜上时，将在膜内产生多次反射，并且在薄膜的两表面上有一系列互相平行的光束射出，如图2-23所示计算这些光束的干涉，便可了解单层膜的光学性质第 2 章光的干涉图 2-23　单层介质膜的反射与透射第 2 章光的干涉　　假设薄膜的厚度为h，折射率为n1，基片折射率为n2，光由折射率为n0的介质入射到薄膜上，采用类似于平行平板多光束干涉的处理方法，可以得到单层膜的反射系数为(2.3-1) 式中r1是薄膜上表面的反射系数，r2是薄膜下表面的反射系数， j是相邻两个出射光束间的相位差，且有 (2.3-2) 第 2 章光的干涉 jr是单层膜反射系数的相位因子，由下式决定： (2.3-3) 由此可得单层膜的反射率R为 (2.3-4) 第 2 章光的干涉　　当光束正入射到薄膜上时，薄膜两表面的反射系数分别为和将其代入(2.3-4)式，即可得到正入射时单层膜的反射率公式： (2.3-5) (2.3-6) (2.3-7) 第 2 章光的干涉对于一定的基片和介质膜，n0、n2为常数，可由上式得到R随j即随n1h的变化规律。

图2-24给出了n0 =1，n2=1.5，对给定波长λ0和不同折射率的介质膜，按(2.3-7)式计算出的单层膜反射率R随膜层光学厚度n1h的变化曲线由此曲线可得如下结论：　　　　① n1= n0或n1= n2时， R和未镀膜时的反射率R0一样 　　② n1＜n2时，R＜R0，该单层膜的反射率较之未镀膜时减小，透过率增大，即该膜具有增透的作用，称为增透膜第 2 章光的干涉图 2-24　介质膜反射率随光学厚度的变化第 2 章光的干涉 (2.3-8) 由该式可见，当镀膜材料的折射率时，Rm=0，此时达到完全增透的效果例如，在n0=1，n2=1.5的情况下，要实现Rmin=0，就应选取n1=1.22的镀膜材料可是在实际上，折射率如此低的镀膜材料至少目前还未找到现在多采用氟化镁(n=1.38)材料镀制单层增透膜，其最小反射率Rmin≈1.3% 　　进一步考察图2-24的变化曲线可以看出，当n1＜n2，n1h=λ0/4时，反射率最小，且R=Rm，有最好的增透效果这个最小反射率为第 2 章光的干涉应当指出，(2.3-8)式表示的反射率是在光束正入射时针对给定波长λ0得到的，亦即对一个给定的单层增透膜，仅对某一波长λ0才为Rm，对于其它波长，由于该膜层厚度不是它们的1/4或其奇数倍，增透效果要差一些。

此时，只能按(2.3-7)式对这些波长的反射率进行计算图2-25中的E曲线给出了在n2=1.5的玻璃基片上，涂敷光学厚度为λ0 /4(λ0 =0.55μm)的氟化镁膜时，单层膜反射率随波长的变化特性由该曲线可见，这个单层膜对红光和蓝光的反射率较大，所以，观察该膜系时就会看到它的表面呈紫红色第 2 章光的干涉图 2-25 单层氟化镁膜的反射率随波长和入射角的变化第 2 章光的干涉另外，(2.3-7)式是在光束正入射的情况下推导出来的，如果我们赋予n0、n1、n2以稍微不同的意义， (2.3-7)式也适用于光束斜入射的情况根据菲涅耳公式(1.2-18)式和(1.2-19)式，在折射率不同的两个介质界面上，例如对于薄膜上表面，光束斜入射时的反射系数为 (2.3-9) (2.3-10) 第 2 章光的干涉 ③ n1＞n2时，R＞R0，该单层膜的反射率较未镀膜时增大，即该膜具有增反的作用，称为增反膜  进一步考察图2-24的变化曲线可以看出，当n1＞n2，且n1h=λ0/4时，R=RM，有最好的增反效果，其最大反射率为尽管该式在形式上与(2.3-8)式相同，但因n1值不同，对应的反射率R，一个是最大，一个是最小。

对于经常采用的增反膜材料硫化锌，其折射率为2.35，相应的单层增反膜的最大反射率为33% (2.3-11) 第 2 章光的干涉 ④ 对于n1h=λ0/2的半波长膜，不管膜层折射率比基片折射率大还是小，单层膜对λ0的反射率都和未镀膜时的基片反射率相同，即为这说明，对于波长为λ0的光，膜层厚度增加(或减小) λ0 /2，对反射率没有影响 (2.3-12) 第 2 章光的干涉 2. 多层膜多层膜 1) 等效界面法 现有如图2-26所示的双层薄膜，为确定其膜系反射率，首先考察与基片相邻的第二层膜(折射率和厚度分别为n2和h2)与基片组成的单层膜系的反射系数若设该反射系数为　，则根据(2.3-1)式，有 (2.3-13) 式中，r2和r3分别为n1、n2界面和n2、nG界面的反射系数；j2是由这两个界面反射的相邻两光束相位差，且 (2.3-14) 式中，θ2是光束在第二膜层中的折射角第 2 章光的干涉图 2-26 双层膜第 2 章光的干涉进一步，我们可将上述单层膜系看成是具有折射率为nI的一个“新基片”，并称nI为等效折射率。

这个“新基片”与第一层膜的新界面称为等效界面(图2-27)，其反射系数即为 r ，由(2.3-13)式给出　　对于第一层膜与“新基片”组成的单层膜系，再一次利用(2.3-1)式，就可得到光束在双层膜系上的反射系数 (2.3-15) 第 2 章光的干涉图 2-27 等效界面第 2 章光的干涉式中，r1是n0、n1界面的反射系数； θ1是光束在第一层膜中的折射角将(2.3-13)式代入(2.3-15)式，并求r与其共轭复数的乘积，便可得到双层膜系的反射率 (2.3-17) (2.3-16) 第 2 章光的干涉式中第 2 章光的干涉如图2-28所示，有一个K层膜系，各膜层的折射率为n1、n2、… nK，厚度为h1、h2、…hK，界面反射系数为r1、r2、…、rK+1采用与处理双层膜相同的办法，从与基片相邻的第K层开始，构成一个等效界面，其反射系数为 (2.3-18) 式中 (2.3-19) 第 2 章光的干涉图 2-28 多层膜第 2 章光的干涉 2) 矩阵法 矩阵法是研究多层薄膜理论的现代方法，对于基本研究和数值计数，它均具有快捷和普遍的优点。

在此，仅介绍有关的基本概念和结论  对于图2-29所示的多层膜系，为了能全面地描述其光学特性，对于沿z方向传输的光波，定义介质光学导纳为磁场强度的切向分量与电场强度的切向分量之比： (2.3-22) 第 2 章光的干涉图 2-29　多层膜系示意第 2 章光的干涉对于沿－z方向传输的光波，介质的光学导纳为 (2.3-23) 根据麦克斯韦电磁理论，第j界面的边界条件可写成： (2.3-24) 式中，Ezjt、E-zjt和Ezjt′、E-zjt’分别为第j界面左侧和右侧、沿z方向和－z方向传输的切向分量场定义导纳矩阵Vj为 (2.3-25) 第 2 章光的干涉则(2.3-24)式可写成矩阵形式： (2.3-26) 该式描述了光从第j界面的右侧透射到左侧时电矢量矩阵的递，称　　　　　　　　　　　　　　为第j界面的透射矩阵第 2 章光的干涉　　考虑到光在膜层中传输时的相移jj，有若令 (2.3-27)(2.3-28)第 2 章光的干涉为第j个膜层的相位矩阵，则整个膜系的传递公式为 (2.3-29)进一步，如果定义第j层膜的特征矩阵Mj为 (2.3-30)第 2 章光的干涉将导纳矩阵、透射矩阵的关系式代入，可得 (2.3-31) 此时，可将(2.3-29)式改写为 (2.3-32) 第 2 章光的干涉式中，，为多层膜系的特征矩阵；　，为膜系的传递矩阵，它描述了膜系将光波电场的切向分量从一端传到另一端的特性。

若用V0乘以(2.3-32)式，则可以得到 (2.3-33) 显然，多层膜系的特征矩阵传递了电磁场的切向分量第 2 章光的干涉如果多层膜基底材料的折射率为nK+1，根据光的电磁理论，由(2.3-33)式可得(2.3-34) 并且，多层膜系的光学导纳为 (2.3-35) 根据光学导纳的概念，多层膜系的反射系数r和反射率R为 (2.3-36) (2.3-37) 第 2 章光的干涉 3. 多层高反射膜多层高反射膜 目前，经常采用的多层高反射膜是一种由光学厚度均为λ0/4的高折射率膜层和低折射率膜层交替镀制的膜系，如图2-30所示这种膜系称为λ0/4膜系，通常采用下面的符号表示： GHLHLH…LHA=G(HL)pHA p=1, 2, 3 …其中，G和A分别代表玻璃基片和空气；H和L分别代表高折射率膜层和低折射率膜层；p表示一共有p组高低折射率交替层，总膜层数为(2p+1)半波长的光学厚度应写成HH或LL 第 2 章光的干涉图 2-30 λ0/4膜系的多层高反射膜示意图第 2 章光的干涉这种膜系之所以能获得高反射率，从多光束干涉原理看是容易理解的：根据平板多光束干涉的讨论，当膜层两侧介质的折射率大于(或小于)膜层的折射率时，若膜层的诸反射光束中相继两光束的相位差等于π，则该波长的反射光获得最强烈的反射。

而图2-30所示的膜系恰恰能使它包含的每一层膜都满足上述条件，所以入射光在每一膜层上都获得强烈的反射，经过若干层的反射之后，入射光就几乎全部被反射回去  这种膜系的优点是计算和制备工艺简单，镀制时容易采用极值法进行监控；缺点是层数多，R不能连续改变目前发展了一种非λ0/4膜系，即每层膜的光学厚度不是λ0/4，具体厚度要由计算确定其优点是只要较少的膜层就能达到所需要的反射率，缺点是计算和制备工艺较复杂第 2 章光的干涉由图2-30，若在基片G上镀一层λ0/4的高折射率光学膜，其反射率为式中是镀第一层膜后的等效折射率若在高折射率膜层上再镀一层低折射率膜层，其反射率为第 2 章光的干涉式中是镀双层膜后的等效折射率依此类推，当膜层为偶数(2p)层时， (HL)p膜系的等效折射率为相应的反射率为 (2.3-38) (2.3-39) 第 2 章光的干涉当膜层为奇数(2p+1)层时， (HL)pH膜系的等效折射率为 (2.3-40) 相应的反射率为 (2.3-41) 　　表2-1列出了多层膜的等效折射率、反射率和透射率(不计吸收)的计算值。

计算数据为：nA=1, nG=1.52, nH=2.3(ZnS), nL=1.38(MgF2) 第 2 章光的干涉表表 2-1 多层膜的反射率和透射率多层膜的反射率和透射率第 2 章光的干涉第 2 章光的干涉若采用矩阵法进行计算，则在正入射情况下，膜系为奇数(2p+1)层时，膜系导纳由(2.3-34) 式和(2.3-35)式得 (2.3-42) 膜系反射率为 (2.3-43) 与等效界面法所得结果相同第 2 章光的干涉由上述计算结果可见：  ① 要获得高反射率，膜系的两侧最外层均应为高折射率层(H层)，因此，高反射率膜一定是奇数层  ② λ0/4膜系为奇数层时，层数愈多，反射率R愈大  ③ 上述膜系的全部结果只对一种波长λ0成立，这个波长称为该膜系的中心波长当入射光偏离中心波长时，其反射率要相应地下降因此，每一种λ0/4膜系只对一定波长范围的光才有高反射率，如图2-31所示图中给出了几种不同层数的ZnS-MgF2λ0/4(λ0=0.46 μm)膜系的反射特性曲线。

可以看出，随着膜系层数的增加，高反射率的波长区趋于一个极限，所对应的波段称为该反射膜系的反射带宽对于图示情况，带宽约为200 nm 第 2 章光的干涉图 2-31 几种不同层数的λ0/4膜系的反射率曲线第 2 章光的干涉　　反射带宽的计算公式为 (2.3-44) 式中，g=λ0/λ由此可见，反射带半宽度Δg只与nH/nL有关， nH/nL愈大，带宽就愈大例如，对于由ZnS(nH=2.34)和MgF2 (nL=1.38)材料镀制的λ0=0.632 8 μm的反射膜，其反射带半宽度为相应反射带边缘的g值为第 2 章光的干涉因此，其反射带边缘波长为所以这个膜系对0.55~0.76 μm范围内的光均有高反射率故在白光入射时，这种膜系的反射光为橙黄色，而透射光为青蓝色第 2 章光的干涉 2.3.2　薄膜波导　薄膜波导　　上面的讨论说明了光学薄膜可用于控制光学元器件的反射率和透射率现在作为光学薄膜的另外一种重要应用，讨论薄膜波导 　　对于薄膜波导的研究，是伴随着集成光学的发展进行着的集成光学类似于半导体技术中的集成电路，把一些光学元件，如发光元件、光放大元件、光传输元件、光耦合元件和接收元件等，以薄膜形式集成在同一衬底上，构成了一个具有独立功能的微型光学系统。

这种集成光路具有体积小、性能稳定可靠、效率高、功耗小等许多优点，自20世纪60 年代末期以来，它作为一个崭新的光学领域，迅速地发展起来在此，只介绍薄膜波导传输光的基本工作原理及光耦合的概念第 2 章光的干涉　　　　1. 薄膜波导传输光的基本原理薄膜波导传输光的基本原理　　薄膜波导如图2-32所示它实际上是沉积在衬底(nG)上的一层折射率为n、厚度约为1~10 μm的薄膜，其上层为覆盖层，可以是空气或其他介质，折射率为n0，且有n＞n0、nG 若覆盖层和衬底的折射率相同，则称为对称波导；若它们的折射率不同，则称为非对称波导 　　假设在薄膜波导中传输的是平面光波，则可用光线描述它的传播规律正如1.2节所指出的那样，光在折射率不同的介质界面上将发生反射和折射，当n＞n0、n＞nG时，会发生全反射现象，产生全反射的条件是入射角大于临界角相应薄膜波导上、下表面的临界角分别为第 2 章光的干涉图 2-32　薄膜波导第 2 章光的干涉和 (2.3-45) (2.3-46) 光在薄膜波导中传播的基本原理就是这种界面全反射从几何光学角度来看，光在薄膜内沿着“Z”字形路径，向着z方向传播。

第 2 章光的干涉　　　　2. 薄膜波导的模式特性薄膜波导的模式特性　　1) 模式方程　　假设薄膜在y、z方向上无限延伸，平面光波在薄膜中的入射面为xOz平面，它在薄膜上、下表面之间来回反射，其波矢量分别为图2-33中的KA和KB这个平面光波可分解为沿波导方向(z方向)和沿横向(x方向)行进的两个分量，相应的传播常数为β=k0n sinθi和γ=k0n cosθi，并且满足(k0n)2=β2+γ2，这里的k0是光波在真空中的波数于是，对于顺着传播常数为β、沿z方向行进的波运动的观察者来说，如果能观察到按“Z”字形来回反射行进的平面波，则这个波的存在就必然满足横向往返干涉加强的条件，即在上、下界面间往返一周的相位变化为2π的整数倍，可表示为2k0nh cosθi+j1+j2=2mπ　m=0, 1, 2,…　　(2.3-47)第 2 章光的干涉图 2-33　波导内平面波的分解第 2 章光的干涉该式即是光能够在薄膜波导中传播所必须满足的条件，称为模式方程，它是波导光学中的基本方程式中，θi是光波在薄膜表面上的入射角，j1和j2分别是光波在薄膜上、下表面全反射时的相位变化，对于s分量的光波(在波导理论中称为TE波)，j1由下式决定(见(1.2-55))式： (2.3-48) 对于p分量的波(在波导理论中称为TM波)，j1满足下式关系： (2.3-49) 把上二式中的n0改为nG，即可写出相应的j2关系式。

第 2 章光的干涉　　由上所述，能够在薄膜波导中传播的光波，在横向(x方向)表现为驻波，在波导方向(z方向)上是具有传播常数β的行波，相应的波导波长为 (2.3-50) 通常，将薄膜波导中能够传播的光波称为导模；将不满足全反射条件，不能在薄膜波导中传播的光波称为辐射模由于辐射模在界面上不满足全反射条件，在上、下界面上只能部分反射，势必有一部分能量辐射出去，导致光能量不能沿波导有效传播第 2 章光的干涉　　由模式方程可以看出，对于一定的波导结构(n、n0、nG和h是常数)，对应不同的m值，有不同的θi角，相应为不同的传播模式图2-34给出了相应于m=0, 1, 2, 3的光波，在波导中所走的“Z”字形路径，与其对应的传播模式分别为TE0、TE1、TE2、TE3和TM0、TM1、TM2、TM3，m是光波在波导中传播的模阶数另外还可以看出，如果在波导中传播的光波包含有不同的波长，则对应于某一个m值，不同的波长有不同的θi角，因此，沿着传播方向的光波速度不同，故(2.3-47)式也称为色散方程第 2 章光的干涉　　2) 单模传输条件　　如上所述，(2.3-47)式实际上是光波能够在薄膜波导中传播所必须满足的条件。

在一般情况下，对于一定的薄膜波导，相应于某一波长的光波可以有多种模式传播，叫做多模光波传输在一定条件下，如果某种光波只能以单一模式(基模)在波导中传播，就是单模光波传输下面，讨论单模光波传输的条件 　　在这里，仅讨论TE波传播的情况，对于TM波的传播，情况完全类似 　　假定薄膜波导是非对称的，并且nG＞n0若入射角θi=θC下，则光波在薄膜下表面处于全反射的临界状态，在薄膜上表面为全反射，因此 j2=0　　　　　　　　　　(2.3-51) 第 2 章光的干涉 (2.3-52) 上式中利用了关系　　　　　　　　　　　　　　　　于是，模式方程变为 (2.3-53) 第 2 章光的干涉在一定的波导结构(h, n, n0, nG)情况下，由该式决定的波长fc=2π/k0叫截止波长凡波长大于λC的光波均因不满足全反射条件，不能在波导中传播由(2.3-53)式可见，不同模式(m)光波的截止波长不同，对于基模TE0(m=0)，截止波长最长，且为(2.3-54) 显然，当光波长小于(λC)m≠0时，在波导中将产生多模传输；当光波长小于基模截止波长，但大于其他模式的截止波长时，将单模传输。

应当指出的是，相应于不同薄膜波导厚度h, 截止波长不同第 2 章光的干涉　　对于对称波导(n0=nG)，由(2.3-53)式，有(λC)m=0=∞ 这表明，对称波导的基模没有截止波长，任何波长都可传输 　如果波导尺寸大，或者波长小，光波导多模传输，则能够传播模式的数目可由(2.3-53)式得到对于对称波导情形，(2.3-53)式为因此，模式数m为 (2.3-55) (2.3-56) 对于非对称波导，模式数目应由(2.3-53)式计算但在m较大时，(2.3-53)式右边第二项可以忽略，可近似用(2.3-56)式计算第 2 章光的干涉　　　　3. 薄膜波导的光耦合薄膜波导的光耦合　　在薄膜波导的应用中，一个非常重要的问题是如何将外来的光能量耦合到薄膜内，或者如何将薄膜内传输的光能量耦合输出由于薄膜非常薄，要想把外来光直接射入薄膜(图2-35)，并使入射光波与薄膜波导中一定模式相匹配，是非常困难的  第 2 章光的干涉图 2-35　薄膜波导的横向光耦合第 2 章光的干涉　　1) 棱镜耦合　　如图2-36所示，将一个小棱镜放在薄膜上面，棱镜底面与薄膜上表面之间保持一个很小的空气隙，厚度约为λ/8~λ/4，适当地选择入射激光束的入射角，使之在棱镜底面发生全反射，将会有一个衰逝波场延伸到棱镜底面之下，通过这个场的作用，棱镜中的激光束能量可以转移到薄膜中，或者将薄膜中的光能量转移到棱镜中。

第 2 章光的干涉图 2-36　棱镜耦合第 2 章光的干涉　　为了具体分析这种耦合器是怎样实现能量耦合的在图2-36中画出了射入棱镜激光束的四条等间距光线，它们射到棱镜底面上的1、 2、 3、 4点，这四个点分别与薄膜波导中某模式光波“Z”字形路径的1′、 2′、 3′、 4′点对应当第一支光线到达点1时，在薄膜中正对着的点1′处激起一个可以在波导中传播的光波，这个光波沿z方向的传播速度为 (2.3-57) 第 2 章光的干涉当第二支光线到达2时，也同样在薄膜中正对着的点2′位置激起一个光波如果由第一支光线激起的光波从点1′传播到点2′所需要的时间，恰与第二支光线到达2点滞后第一支光线到达1点的时间相等，则在薄膜内传播的光波由于不断地有新的同相光波加入而变得越来越强，因此，可以形成这种传播模式设棱镜折射率为n3，激光束在棱镜底面上的入射角为θ3，点1和点2之间的距离为d，不难求出光波到达2点较到达1点的滞后时间是(dn3 sinθ3/c)另外，波导内的光波从点1′到点2′的时间是(dn sinθi/c)当两个时间相等时，有n sinθi=n3 sinθ3 　　　　　　　(2.3-58)称该关系式为同步条件，要使棱镜耦合器有效地工作，必须满足这一条件。

第 2 章光的干涉　　2) 光栅耦合　　图2-37是一个光栅耦合器在薄膜表面用全息术或其他方法形成一个光栅层，当激光入射到该光栅上时，将发生衍射如果某一级衍射光的波矢量沿波导方向的分量与薄膜中的某个模式的传播常数β相等，则这一级衍射光波在薄膜中激起的光波就满足同步条件，此衍射光波就与这个模式发生耦合，光能量被输入薄膜光栅耦合比较稳定可靠，结构紧凑，耦合效率可达70%以上第 2 章光的干涉图 2-37　光栅耦合第 2 章光的干涉　　3) 楔形薄膜耦合　　这种耦合器的耦合是利用非对称波导的截止特性实现的由(2.3-53)式不难看出，对于每一种模式都存在一个截止膜厚，如果膜厚小于这个值，这个模式便不能传输这时由于该模式在下表面的入射角小于临界角，光束将折射到衬底里如图2-38所示，膜厚从xa到xb逐渐减小到零，在xc处恰好等于截止膜厚，从xa到xb的距离一般为10~100个波长详细计算表明，在xc附近8个波长范围内，能量逐渐地从薄膜耦合到衬底中在衬底中，有80%以上的能量集中在薄膜表面附近约15°角的范围内利用相反的过程也可以把能量从衬底耦合到薄膜中。

第 2 章光的干涉图 2-38　楔形薄膜耦合第 2 章光的干涉 2.4　典　典型型干干涉涉仪仪2.4.1 迈克尔逊干涉仪迈克尔逊干涉仪　　　　1. 迈克尔逊干涉仪的工作原理迈克尔逊干涉仪的工作原理 迈克尔逊干涉仪的结构简图如图2-39所示，G1和G2是两块折射率和厚度都相同的平行平面玻璃板，分别称为分光板和补偿板，G1背面有镀银或镀铝的半反射面A， G1和G2互相平行 M1和M2是两块平面反射镜，它们与G1和G2成45°角设置从扩展光源S来的光，在G1的半反射面A上反射和透射，并被分为强度相等的两束光Ⅰ和Ⅱ，光束Ⅰ射向M1，经M1反射后折回，并透过A进入观察系统L(人眼或其它观察仪器)；光束Ⅱ通过G2并经M2反射后折回到A，在A反射后也进入观察系统L这两束光由于来自同一光束，因而是相干光束，可以产生干涉第 2 章光的干涉图 2-39 迈克尔逊干涉仪第 2 章光的干涉迈克尔逊干涉仪干涉图样的性质，可以采用下面的方式讨论：相对于半反射面A，作出平面反射镜M2的虚像M2′，它在M1附近于是，可以认为观察系统L所观察到的干涉图样，是由实反射面M1和虚反射面M2′构成的虚平板产生的，虚平板的厚度和楔角可通过调节M1和M2反射镜控制。

因此，迈克尔逊干涉仪可以产生厚的或者薄的平行平板(M1和M2′平行)和楔形平板(M1和M2′有一小的夹角)的干涉现象扩展光源可以是单色性很好的激光，也可以是单色性很差的(白光)光源 第 2 章光的干涉如果调节M2，使得M2′与M1平行，所观察到的干涉图样就是一组在无穷远处(或在L的焦平面上)的等倾干涉圆环当M1向M2′移动时(虚平板厚度减小)，圆环条纹向中心收缩，并在中心一一消失M1每移动一个λ/2的距离，在中心就消失一个条纹于是，可以根据条纹消失的数目，确定M1移动的距离根据(2.1-29)式，此时条纹变粗(因为h变小， eN变大)，同一视场中的条纹数变少当M1与M2′完全重合时，因为对于各个方向入射光的光程差均相等，所以视场是均匀的如果继续移动M1 ，使M1逐渐离开M2′ ，则条纹不断从中心冒出，并且随虚平板厚度的增大，条纹越来越细，且变密第 2 章光的干涉如果调节M2，使M2′与M1相互倾斜一个很小的角度，且当M2′与M1比较接近，观察面积很小时，所观察到的干涉图样近似是定域在楔表面上或楔表面附近的一组平行于楔边的等厚条纹。

在扩展光源照明下，如果M1与M2′的距离增加，则条纹将偏离等厚线，发生弯曲，弯曲的方向是凸向楔棱一边(图2-40)，同时条纹可见度下降干涉条纹弯曲的原因如下：如前所述，干涉条纹应当是等光程差线，当入射光不是平行光时，对于倾角较大的光束，若要与倾角较小的入射光束等光程差，其平板厚度应增大(这可由Δ=2nh cosθ2看出) 由图2-40可见，靠近楔板边缘的点对应的入射角较大，因此，干涉条纹越靠近边缘，越偏离到厚度更大的地方，即弯曲方向是凸向楔棱一边在楔板很薄的情况下，光束入射角引起的光程差变化不明显，干涉条纹仍可视作一些直线条纹对于楔形板的条纹，与平行平板条纹一样，M1每移动一个λ/2距离，条纹就相应地移动一个第 2 章光的干涉图 2-40　干涉条纹偏离等厚线第 2 章光的干涉在干涉仪中，补偿板G2的作用是消除分光板分出的两束光Ⅰ和Ⅱ的不对称性不加G2时，光束Ⅰ经过G1三次，而光束Ⅱ经过一次由于G1有一定厚度，导致Ⅰ与Ⅱ有一附加光程差加入G2后，光束Ⅱ也三次经过同样的玻璃板，因而得到了补偿不过，对于单色光照明，这种补偿并非必要，因为光束Ⅰ经过G1所增加的光程，完全可以用光束Ⅱ在空气中的行程补偿。

但对于白光光源，因为玻璃有色散，不同波长的光有不同的折射率，通过玻璃板时所增加的光程不同，无法用空气中的行程补偿，因而观察白光条纹时，补偿板不可缺少第 2 章光的干涉白光条纹只有在楔形虚平板极薄(M1与M2′的距离仅为几个波长)时才能观察到，这时的条纹是带彩色的如果M1和M2′相交错，交线上的条纹对应于虚平板的厚度h=0当G1不镀半反射膜时，因在G1中产生内反射的光线Ⅰ和产生外反射的光线Ⅱ之间有一附加光程差λ/2，所以白色条纹是黑色的；镀上半反射膜后，附加程差与所镀金属及厚度有关，但通常均接近于零，所以白光条纹一般是白色的交线条纹的两侧是彩色条纹  迈克尔逊干涉仪的主要优点是两束光完全分开，并可由一个镜子的平移来改变它们的光程差，因此可以很方便地在光路中安置测量样品这些优点使其有许多重要的应用，并且是许多干涉仪的基础第 2 章光的干涉 2. 迈克尔逊干涉仪应用举例迈克尔逊干涉仪应用举例 1) 激光比长仪 应用迈克尔逊干涉仪和稳频He-Ne激光器可以进行长度的精密计量在图2-41所示的装置中，光电计数器用来记录干涉条纹的数目，光电显微镜给出起始和终止信号。

当光电显微镜对准待测物体的起始端时，它向记录仪发出一个信号，使记录仪开始记录干涉条纹数当物体测量完时，光电显微镜对准物体的末端，发出一个终止信号，使记录仪停止工作这样，利用就可算出待测物体的长度式中，m是从物体起端到末端记录仪记录的条纹数  第 2 章光的干涉图 2-41 激光比长仪示意第 2 章光的干涉在测量过程中，难免有机械振动的影响，它可能使M2后退几个微米，会产生几十个干涉条纹数的误差为此，应采用可逆计数器，不管M2怎么移动，它只记录向一个方向移动所对应的干涉条纹数  激光比长仪可用于大型工作的精密测量，米尺刻度的自动校正，丝杆精度的检验等第 2 章光的干涉 2) 光纤迈克尔逊干涉仪 随着光纤技术的发展，光纤传感器已经获得了广泛的应用在众多的光纤传感器中，有许多装置的工作原理，实际上是由光纤构成的迈克尔逊干涉仪图2-42是一种光纤迈克尔逊测长干涉仪的原理图，其中P是光纤定向耦合器，它将来自激光器的光分成两束，分别经参考臂光纤和信号臂光纤射向固定反射镜M1和移动反射镜M2，其反射光波经该二光纤由定向耦合器耦合到光电探测器D上，通过光电探测器记录干涉条纹的变化数，即可确定出M2移动的距离，实现长度的测量。

第 2 章光的干涉图 2-42 光纤迈克尔逊测长干涉仪原理图第 2 章光的干涉 2.4.2 马赫马赫-泽德干涉仪泽德干涉仪 马赫-泽德(Mach-Zehnder)干涉仪是一种大型光学仪器，它广泛应用于研究空气动力学中气体的折射率变化、可控热核反应中等离子体区的密度分布，并且在测量光学零件、制备光信息处理中的空间滤波器等许多方面，有着极其重要的应用特别是，它已在光纤传感技术中被广泛采用马赫-泽德干涉仪也是一种分振幅干涉仪，与迈克尔逊干涉仪相比，在光通量的利用率上，大约要高出一倍这是因为在迈克尔逊干涉仪中，有一半光通量将返回到光源方向，而马赫-泽德干涉仪却没有这种返回光源的光第 2 章光的干涉马赫-泽德干涉仪的结构如图2-43所示G1、G2是两块分别具有半反射面A1、A2的平行平面玻璃板，M1、M2是两块平面反射镜，四个反射面通常安排成近乎平行，其中心分别位于一个平行四边形的四个角上，平行四边形长边的典型尺寸是1~2m，光源S置于透镜L1的焦点上S发出的光束经L1准直后在A1上分成两束，它们分别由M1、 A2反射和由M2反射、A2透射，进入透镜L2，出射的两光相遇，产生干涉。

第 2 章光的干涉图 2-43　马赫-泽德干涉仪第 2 章光的干涉假设S是一个单色点光源，所发出的光波经L1准直后入射到反射面A1上，经A1透射和反射、并由M1和M2反射的平面光波的波面分别为W1和W2，则在一般情况下，W1相对于A2的虚像W１′与W2互相倾斜，形成一个空气隙，在W2上将形成平行等距的直线干涉条纹(图中画出了两支出射光线在W2的P点虚相交)，条纹的走向与W2和W１′所形成空气楔的楔棱平行当有某种物理原因(例如，使W2通过被研究的气流)使W2发生变形，则干涉图形不再是平行等距的直线，从而可以从干涉图样的变化测出相应物理量(例如，所研究区域的折射率或密度)的变化第 2 章光的干涉在实际应用中，为了提高干涉条纹的亮度，通常都利用扩展光源，此时干涉条纹是定域的，定域面可根据β=0作图法求出(详见2.5节) 当四个反射面严格平行时，条纹定域在无穷远处，或定域在L2的焦平面上；当M2和G2同时绕自身垂直轴转动时，条纹虚定域于M2和G2之间(图2-44) 即通过调节M2和G2 ，可使条纹定域在M2和G2之间的任意位置上，从而可以研究任意点处的状态。

例如，为了研究尺寸较大的风洞中任一平面附近的空气涡流，将风洞置于M2和G2之间，并在M1和G1之间的另一支光路上放置补偿，调节M2和G2 ，使定域面在风洞中选定的平面上，由透镜L2和照相机拍摄下这个平面上的干涉图样只要比较有气流和无气流时的条纹图样，就可确定出气流所引起空气密度的变化情况第 2 章光的干涉图 2-44　马赫-泽德干涉仪中条纹的定域第 2 章光的干涉在光纤传感器中，大量利用光纤马赫-泽德干涉仪进行工作图2-45是一种用于温度传感器的马赫-泽德干涉仪结构示意图由激光器发出的相干光，经分束器分别送入两根长度相同的单模光纤，其中参考臂光纤不受外场作用，而信号臂放在需要探测的温度场中，由二光纤出射的两个激光束产生干涉由于温度的变化引起信号臂光纤的长度、折射率变化，从而使信号臂传输光的相位发生变化，导致了由二光纤输出光的干涉效应变化，通过测量此干涉效应的变化，即可确定外界温度的变化第 2 章光的干涉图 2-45 马赫-泽德光纤干涉仪的定域温度传感器第 2 章光的干涉 2.4.3 法布里法布里-珀罗干涉仪珀罗干涉仪 1. 法布里法布里-珀罗干涉仪的结构珀罗干涉仪的结构　　法布里-珀罗干涉仪主要由两块平行放置的平面玻璃板或石英板G1、G2组成，如图2-46所示。

两板的内表面镀银或铝膜，或多层介质膜以提高表面反射率为了得到尖锐的条纹，两镀膜面应精确地保持平行，其平行度一般要求达到(1/20~1/100)λ 干涉仪的两块玻璃板(或石英板)通常制成有一个小楔角(1′~10′)，以避免没有镀膜表面产生的反射光的干扰如果两板之间的光程可以调节，这种干涉装置称为法布里-珀罗干涉仪；如果两板间放一间隔圈——一种殷钢制成的空心圆柱形间隔器，使两板间的距离固定不变，则称为法布里-珀罗标准具第 2 章光的干涉图 2-46　法布里—珀罗干涉仪简图第 2 章光的干涉法布里-珀罗干涉仪采用扩展光源照明，其中一支光的光路如图2-46所示，在透镜L2的焦平面上形成图2-47(b)所示的等倾同心圆条纹，将它与迈克尔逊干涉仪产生的等倾干涉条纹(图2-47(a))比较可见，法布里-珀罗干涉仪产生的条纹要精细得多，但是两种条纹的角半径和角间距计算公式相同条纹干涉级决定于空气平板的厚度h，通常法布里-珀罗干涉仪的使用范围是1~200 mm，在一些特殊装置中，h可大到1 m以h=5 mm计算，中央条纹的干涉级约为20 000，可见其条纹干涉级很高，因而这种仪器只适用于单色性很好的光源。

第 2 章光的干涉图 2-47　迈克尔逊干涉仪与法布里—珀罗干涉仪　　　　　　　中的干涉条纹的比较第 2 章光的干涉应当指出，当干涉仪两板内表面镀金属膜时，由于金属膜对光产生强烈吸收，使得整个干涉图样的强度降低假设金属膜的吸收率为A，则根据能量守恒关系有 R+T+A=1 (2.4-2)当干涉仪两板的膜层相同时，由(2.2-6)式和上式可以得到考虑膜层吸收时的透射光干涉图样强度公式： (2.4-3)其中这里，j′是光在金属内表面反射时的相位变化，R应理解为金属膜内表面的反射率可见，由于金属膜的吸收，干涉图样强度降低了［1-A/(1-R)］2倍，严重时，峰值强度只有入射光强的几十分之一 (2.4-4)第 2 章光的干涉 2. 法布里法布里-珀罗干涉仪的应用举例珀罗干涉仪的应用举例 1) 研究光谱线的超精细结构 由于法布里-珀罗标准具能够产生十分细而亮的等倾干涉条纹，因而它的一个重要应用就是研究光谱线的精细结构，即将一束光中不同波长的光谱线分开——分光。

作为一个分光元件来说，衡量其特性的好坏有三个技术指标：能够分光的最大波长间隔——自由光谱范围；能够分辨的最小波长差——分辨本领；使不同波长的光分开的程度——角色散第 2 章光的干涉 (1) 自由光谱范围——标准具常数由多光束干涉的讨论已经知道，有两个波长为λ1和λ2(且λ1＞λ1)的光入射至标准具，由于两种波长的同级条纹角半径不同，因而将得到如图2-48所示的两组干涉圆环，且λ2的干涉圆环直径比λ1的干涉圆环直径小，前者用实线表示，后者用虚线表示随着λ1和λ2的差别增大，同级圆环半径相差也变大当λ1和λ2相差很大，以致于λ2的第m级干涉条纹与λ1的第m+1级干涉条纹重叠，就引起了不同级次的条纹混淆，达不到分光之目的所以，对于一个标准具分光元件来说，存在一个允许的最大分光波长差，称为自由光谱范围(Δλ)f 第 2 章光的干涉图 2-48 法-珀标准具的两套干涉环第 2 章光的干涉对于靠近条纹中心的某一点(θ≈0)处，λ2的第m级条纹与λ1的第m+1级条纹发生重叠时，其光程差相等，有因此， (2.4-5) 自由光谱范围(Δλ)f也称作仪器的标准具常数，它是分光元件的重要参数。

例如，对于h=5 mm的标准具，入射光波长λ=0.5461 μm, n=1时，由上式可得(Δλ)f=0.3×10-4 μm 第 2 章光的干涉　　(2) 分辨本领　分光仪器所能分辨开的最小波长差(Δλ)m称为分辨极限，并称 (2.4-6) 为分辨本领  在这里，首先遇到了一个问题：什么是“能分辨开”? 显然，对于不同的观察者，这个“能分辨开”是不同的为此，必须要选择一个公认的标准而在光学仪器中，通常采用的标准是瑞利(Rayleigh)判据  瑞利判据在这里指的是，两个等强度波长的亮条纹只有当它们的合强度曲线中央极小值低于两边极大值的81%时，才算被分开(图2-49)现在，按照这个判据来计算标准具的分辨本领第 2 章光的干涉图 2-49 两个波长的亮条纹刚好被分辨开时的强度分布第 2 章光的干涉　　如果不考虑标准具的吸收损耗，λ1和λ2的透射光合强度为 (2.4-7) 式中，j1和j2是在干涉场上同一点的两上波长条纹所对应的相位差设I1i=I2i=Ii，j1-j2=ε，则在合强度极小值处(图2-49中的F点)，j1=2mπ+ε/2, j2=2m π-ε/2，因此极小值强度为 (2.4-8) 第 2 章光的干涉在合强度极大值处(图2-49中的G点)，j1=2mπ，j2=2mπ－ε，故极大值强度为 (2.4-9) 按照瑞利判据，两个波长条纹恰能分辨的条件是 (2.4-10) 因此有第 2 章光的干涉由于ε很小，sin(ε/2)≈ε/2，可解得 (2.4-11) 式中，N是条纹的精细度。

再由(2.4-4)式，略去j′的影响，有 (2.4-12) 由于此时两波长刚被分辨开，Δj=ε，因而标准具的分辨本领为 (2.4-13) 第 2 章光的干涉可见，分辨本领与条纹干涉级数和精细度成正比由于法布里-珀罗标准具的N很大，所以标准具的分辨本领极高例如，若h=5 mm, N≈30(R≈0.9)，λ=0.5 μm，则在接近正入射时，标准具的分辨本领为这相当于在λ=0.5μm上，标准具能分辨的最小波长差(Δλ)m为0.008 3×10-4μm，这样高的分辨本领是一般光谱仪所达不到的应当指出，上面的讨论是把λ1和λ2的谱线视为单色谱线，由于任何实际谱线的本身都有一定的宽度，所以标准具的分辨本领达不到这样高第 2 章光的干涉有时把(2.4-13) 式中的0.97N称为标准具的有效光束数N′，于是(2.4-13)式可以写成 (2.4-14) 第 2 章光的干涉 (3) 角色散角色散是用来表征分光仪器能够将不同波长的光分开程度的重要指标它定义为单位波长间隔的光，经分光仪所分开的角度，用dθ/dλ表示dθ/dλ愈大，不同波长的光经分光仪分得愈开。

 由法布里-珀罗干涉仪透射光极大值条件第 2 章光的干涉不计平行板材料的色散，两边进行微分，可得 (2.4 - 15) 或 (2.4 - 16) 可见，角度θ愈小，仪器的角色散愈大因此，在法布里-珀罗干涉仪的干涉环中心处光谱最纯第 2 章光的干涉　　2) 干涉滤光片　　滤光片的作用是只让某一波段范围的光通过，而其余波长的光不能通过通常，滤光片的性能指标有三个： 　　① 中心波长λ0它是指透光率最大(TM)时的波长；　　② 透射带的波长半宽度Δλ1/2它是透过率为最大值一半(T=TM/2)处的波长范围，Δλ1/2大者为宽带滤光片，小者为窄带滤光片； 　　③ 峰值透过率TM 　　滤光片按其结构可分为两类： 　　① 吸收滤光片它是利用物质对光波的选择性吸收进行滤光的例如，红、绿玻璃以及各种有色液体等，具体滤光性能可参看有关手册； 第 2 章光的干涉　　② 干涉滤光片它是利用多光束干涉原理实现滤光的　　　　　前者由于使用的物质有限，不能制造出在任意波长处、具有所希望带宽的滤光片，而后者从原理上讲，可以制成在任何中心波长处、有任意带宽的滤光片，因此在精密测量技术中得到广泛的应用。

在这里，将根据光学薄膜多光束干涉原理，讨论法布里—珀罗型干涉滤光片、红外线滤光片及偏振滤光片第 2 章光的干涉　　(1) 法布里-珀罗型干涉滤光片　常用的法布里—珀罗干涉滤光片有两种一种是全介质干涉滤光片，如图2-50所示，在平板玻璃G上镀两组膜系(HL)p和(LH)p，再加上保护玻璃G′制成实际上，这两组膜系可以看做为两组高反射膜H(LH)p-1和(HL)p-1H中间夹着一层间隔层LL；另一种是金属膜干涉滤光片，如图2-51所示，在平板玻璃G上镀一层高反射率的银膜S，银膜之上再镀一层介质薄膜F，然后再镀一层高反射率的银膜，最后加保护玻璃G′可见，这两种滤光片都可以看做是一种间隔很小的法布里—珀罗标准具，其性能指标如下：第 2 章光的干涉图 2-50　全介质干涉滤光片第 2 章光的干涉图 2-51　金属反射膜干涉滤光片第 2 章光的干涉　　① 滤光片的中心波长在正入射时，透射光产生极大的条件为2nh=mλ　　　　m=1, 2, 3, …由此可得滤光片的中心波长为 (2.4-17) 对于一定的光学厚度nh，λ的数值只取决于m，对应不同的m值，中心波长不同。

例如，对于间隔层折射率为n=1.5、厚度为h=6×10-5 cm的干涉滤光片，在可见光区域内有λ=0.6μm(m=3)和0.45μm(m=4)两个中心波长当间隔层厚度增大时，中心波长的数目就更多些为了把不需要的中心波长滤去，可附加普通的有色玻璃片(兼作保护玻璃)G和G′ 第 2 章光的干涉　　由(2.4-17)式可以求得相邻干涉级(Δm=1)的中心波长差为(2.4-18) 　　② 透射带的波长半宽度透射带的波长半宽度Δλ1/2由(2.2-21)式确定， (2.4-19) 或表示为 (2.4-20) 上式表明，m、R愈大，Δλ1/2愈小，干涉滤光片的输出单色性愈好第 2 章光的干涉　　③ 峰值透射率　峰值透射率是指对应于透射率最大的中心波长的透射光强与入射光强之比，即若不考虑滤光片的吸收和表面散射损失，则峰值透射率为1 实际上，由于高反射膜的吸收和散射会造成光能损失，峰值透射率不可能等于1特别是金属反射膜滤光片，吸收尤为严重，由(2.4-3)式可得对应于中心波长的峰值透射率为 (2.4-22) (2.4-21) 第 2 章光的干涉由于吸收，峰值透射率一般在30%以下。

表2-2列出了几种滤光片的三个主要参数，其中最后一种滤光片的透射率曲线如图2-52所示第 2 章光的干涉图 2-52　一种典型的多层介质膜干涉滤光片透射率曲线第 2 章光的干涉表表 2-2 几种干滤光片的特性几种干滤光片的特性第 2 章光的干涉　　(2) 红外线滤光片　在2.3节中，已讨论了多层高反射膜的反射率光谱特性(见图2-31)图2-53给出了以波长λ为横坐标时的七层膜系透射率光谱曲线，可以看出，膜厚的变化将改变截止带的位置若取nh=0.130μm，膜系反射可见光而透过红外光因此，如果在光源的反射镜上镀上这种膜系，就制成了冷光镜例如，可将其用于电影放映机中，以减少电影胶片的受热和增强银幕上的亮度理论和实践均已表明，采用两个高反射膜堆中间夹一个过渡层的膜系，可以成为很好的冷光膜，例如，结构为　　　　　　　　　　的膜系在这个膜系的结构符号中，下脚标1、2、3表示λ1、λ2、λ3三个控制波长，且有λ2=(λ1+λ3)/2，高折射率膜层用ZnS，低折射率膜层用MgF2当三个波长分别为λ1=0.65μm，λ2=0.565μm，λ3=0.480μm时，该膜系的反射带宽为0.3 μm左右。

第 2 章光的干涉图 2-53　膜厚变化对截止带的影响第 2 章光的干涉　　(3) 偏振滤光片　利用多层膜的反射特性还可以作成偏振滤光片 　　由前面的讨论已知，在玻璃上镀高折射率薄膜，可以增大反射率，当光束斜入射时，其反射率的大小因p分量和s分量而异，并且在某个入射角上，反射光中的p分量可以变为0所以，与只有玻璃板时的情况1相同，这种高反膜也可以起偏振元件的作用，但这时的反射率如图2-54所示，比没有薄膜时高得多如果镀上ZnS+MgF2+ZnS三层膜，则在膜的偏振角上，s分量的剩余反射率可以达到90%，因此是一个很好的偏振元件若如图2-55(a)所示，将三层膜夹在棱镜中间(在斜面上镀上三层膜，然后胶合起来)，并使光以接近全反射的角度入射，则可得到图2-55(b)所示的带宽为几纳米的透射带，构成一个单色滤光片，并将p分量和s分量分离开来第 2 章光的干涉图 2-55　单色滤光片第 2 章光的干涉由于光线斜入射照射至三层膜，p分量和s分量在反射时的相位变化不同，形成了图中的两个透射带为了消除这种偏差，可以用双折射材料作为胶合物质，通过双折射将相位变化抵消，这就是所谓的消双折射全反射滤光片。

进一步，若如图2-56所示，把棱镜各面都镀上三层膜，然后把它们用稍厚一些的香胶胶合起来而不发生干涉，就可以得到偏振度高达98%的偏振滤光片它的主要缺点是视场很窄第 2 章光的干涉图 2-56　偏振滤光片第 2 章光的干涉 3) 激光器谐振控 如图2-57(a)所示的一台激光器主要由两个核心部件组成：激光工作物质(激活介质)和由M1、M2构成的谐振腔激光工作物质在激励源的作用下，为激光的产生提供了增益，其增益曲线如图2-57(b)中的虚线所示谐振腔为激光的产生提供了正反馈，并具有选模作用，它实际上就是由M1、M2构成的法布里-珀罗干涉仪激光器产生的激光振荡频率，实际上是一系列满足干涉条件的频率由于激光输出还必须满足一定的阈值条件，所以激光输出频率只有如图2-57(b)所示的A、B、C等少数几个第 2 章光的干涉图 2-57 激光器及其纵模第 2 章光的干涉　　由激光理论知道，对于激光器的每一个纵模，都有一定的频率宽度，称为单模线宽；相邻两个纵模间的频率间隔称为纵模间隔若不计激光工作物质对振荡频率特性的影响，这些频率特性均可由法布里-珀罗干涉仪理论得出： 　　(1) 纵模频率激光器输出的纵模频率实际上是满足法布里-泊罗干涉仪干涉亮条纹条件的一系列频率。

在正入射情况下，满足下面的关系： 2nL=mλ m=1, 2, 3… (2.4-23)式中，n和L分别是谐振腔内介质的折射率和谐振腔长度；m是干涉级次(纵模阶次)由此可得纵模频率为第 2 章光的干涉 (2.4-24) 相应的波长为 (2.4-25) 第 2 章光的干涉　　(2) 纵模间隔　根据(2.4-24)式，纵模间隔为可见，它只与谐振腔长度和折射率有关 (2.4-26) 第 2 章光的干涉　　(3) 单模线宽　由多光束干涉条纹锐度的分析，干涉条纹的相位差半宽度为 (2.4-27) 而由(2.2-2)式有因此，当光波包含有许多波长时，与相位差半宽度相应的波长差为 (2.4-29) (2.4-28) 第 2 章光的干涉或以频率表示，相应的谱线宽度为 (2.4-30) 由上式可见，谐振腔的反射率越高，或腔长越长，谱线宽度越小例如，一支He-Ne激光器，L=1 m，R=98%，可算出Δν1/2=1MHz实际上，由于激光工作物质对激光输出的单色性影响很大，就使得激光谱线宽度远小于该计算值。

第 2 章光的干涉 2.5　光　光的的相相干干性性2.5.1　光的相干性　光的相干性　　　　1. 光源特性对条纹可见度的影响光源特性对条纹可见度的影响　　1) 光源大小对条纹可见度的影响　　若图2-3所示的杨氏干涉是指杨氏双孔实验，则S1、S2和S均为针孔，S1和S2双孔从来自点光源S的光波波面上分割出很小的两部分，进行干涉实验在这种情况下，将产生清晰的干涉条纹，V=1如果S变为扩展光源，则其干涉条纹可见度将下降这是因为，在扩展光源中包含有许多点光源，每个点光源都将通过干涉系统在干涉场中产生各自的一组干涉条纹，由于各个点光源位置不同，它们所产生的干涉条纹之间有位移(如图2-58中的下部曲线)，干涉场中的总光强分布为各条纹的强度总和(图2-58中的上部曲线)，其暗点强度不再为零，因此可见度下降当扩展光源大到一定程度时，条纹可见度可能下降为零，完全看不到干涉条纹第 2 章光的干涉图 2-58 多组条纹的叠加第 2 章光的干涉假设在杨氏干涉系统中，光源如图2-59(a)所示，是以S为中心的扩展光源S′S″，则可将其想象为由许多无穷小的元光源组成，整个扩展光源所产生的光强度便是这些元光源所产生的光强度之和。

若考察干涉场中的某一点P，则位于光源中点S的元光源(宽度为dx)在P点产生的光强度为 (2.5-1)式中，I0dx是元光源通过S1或S2在干涉场上所产生的光强度；Δ是元光源发出的光波经S1和S2到达P点的光程差对于距离S为x的C点处的元光源(图2-59(b))，它在P点产生的光强度为第 2 章光的干涉图2-59　扩展光源的杨氏干涉第 2 章光的干涉 (2.5-2)式中，Δ′是由C处元光源发出的、经S1和S2到达P点的两支相干光的光程差由图中几何关系可以得到如下近似结果：式中，β=d/R是S1和S2对S的张角因此第 2 章光的干涉所以， (2.5-2)式可以写成 (2.5-3)于是，宽度为b的扩展光源在P点产生的光强度为 (2.5-4)第 2 章光的干涉式中，第一项与P点的位置无关，表示干涉场的平均强度，第二项表示干涉场光强度周期性地随Δ变化由于第一项平均强度随着光源宽度的增大而增强，而第二项不会超过2I0λ/πβ，所以随着光源宽度的增大，条纹可见度将下降根据(2.5-4)式，可求得条纹可见度为 (2.5-5) 图2-60绘出了V随光源宽度b变化的曲线。

可见，随着b的增大，可见度V将通过一系列极大值和零值后逐渐趋于零当b=0、光源为点光源时，V=1；当0

第 2 章光的干涉我们亦可从另一个角度考察光的空间相干性范围对一定的光源宽度b，通常称光通过S1和S2恰好不发生干涉时所对应的这两点的距离为横向相干宽度，以dt表示， (2-144) 或以扩展光源对O点(S1S2连线的中点)的张角θ(图2-59)表示， (2-145) 如果扩展光源是方形的，则由它照明平面上的相干范围的面积(相干面积)为 (2-146) 第 2 章光的干涉理论上可以证明，对于圆形光源，其照明平面上横向相干宽度为 (2-147) 相干面积为 (2-148) 第 2 章光的干涉例如，直径为1 mm的圆形光源，若λ=0.6 μm，在距光源1 m的地方，由(2-147)式算出的横向相干宽度约为0.7mm 因此，干涉装置中小孔S1和S2的距离，必须小于0.7mm才能产生干涉条纹而与此相应的相干面积AC≈0.38 mm2又如，从地面上看太阳是一个角直径θ=0°32′=0.018弧度的非相干光源，若认为太阳是一个亮度均匀的圆盘面，且只考虑λ=0.55 μm的可见光，则太阳光直射地面时，它在地面上的相干面积是直径约为0.08 mm 的圆面积。

第 2 章光的干涉图 2-61 光源的相干孔径角第 2 章光的干涉有时用相干孔径角βC表征相干范围会更直观方便当b和λ给定时，凡是在该孔径角以外的两点(如S1′和S2′)都是不相干的，在孔径角以内的两点(如S1″和S2″)都具有一定程度的相干性(图2-61)，公式 (2-149) 表示相干孔径角βC与光源宽度b成反比，并称该式为空间相干性的反比公式第 2 章光的干涉　　2) 光源复色性对条纹可见度的影响　　光源的非单色性(复色性)直接影响着干涉条纹的可见度对于图2-7所示的平行平板干涉实验，已假设所用光源S是单色的扩展光源实际上，任何光源都包含有一定的光谱宽度Δλ，在干涉实验中，Δλ范围内的每一种波长的光都将在透镜焦平面F上产生各自的一组干涉条纹，并且各组条纹除零干涉级外，相互间均有位移(如图2-61(a)的下部曲线所示)，其相对位移量随着干涉光束间光程差Δ的增大而增大，所以干涉场总强度分布(图2-61(a)的上部曲线)的条纹可见度随着光程差的增大而下降，最后降为零(如图2-61(b)所示)因此，光源的光谱宽度限制了干涉条纹的可见度。

第 2 章光的干涉图2-61　光源复色性对条纹的影响(a) 强度曲线； (b) 条纹可见度曲线第 2 章光的干涉　　为了讨论光源复色性对干涉条纹可见度的影响，可以假设光源在Δλ范围内各个波长上的强度相等，或以波数k(=2π/λ)表示，在Δk宽度内不同波数的光谱分量强度相等(图2-62)，则元波数宽度dk的光谱分量在干涉场中产生的强度为 dI=2I0 dk(1+coskΔ) (2.5-6)式中，I0表示光强度的光谱分布(谱密度)，按假设是常数；I0dk是dk元宽度内的光强度在Δk宽度内各光谱分量产生的总光强度为 (2.5-7) 第 2 章光的干涉图 2-62 Δk范围内光谱分量的强度相等第 2 章光的干涉上式中的第一项是常数，表示干涉场的平均光强度；第二项随光程差Δ变化，但变化的幅度越来越小由上式可得条纹可见度为 (2.5-8) 可见，条纹可见度V由Δk和Δ决定对于一定的Δ，条纹可见度V随着Δk的增大而下降：当Δk=0、光源为单色光源时，V=1；当0＜Δk＜2π/Δ时， 0＜V＜1；当Δk=2π/Δ时，V=0。

对于一定的Δk，V随Δ的变化规律如图2-61(b)所示第 2 章光的干涉　　上面的讨论中，假设了在Δλ(或Δk)内的光谱强度是等强度分布的实际上，光源并非等强度分布，但根据实际光谱分布求得的可见度曲线，与图2-61(b)所示的曲线相差不大，故与V=0相应的最大光程差的数量级，仍可由(2.5-8)式决定 　　最后应当指出，上面讨论光源特性对干涉条纹可见度的影响时，分别是以杨氏实验讨论光源大小的影响，以平行平板实验讨论光源复色性的影响实际上，对于每种干涉实验，光源的大小和复色性均有影响第 2 章光的干涉　　　　2. 光的相干性光的相干性　　1) 光的空间相干性　　上述关于光源大小对干涉条纹可见度V影响的讨论，实际上是考察了扩展光源S′S″所产生的光波波面上S1和S2两点光场的相关性，如果该二光场相关，则知道了S1点的光场(大小和相位)，便可确定出S2点的光场，且由这两点光场产生的光波在周围空间可以产生干涉现象；如果该二光场不相关，则这两点光场产生的光波在周围空间不能产生干涉现象这种垂直于传播方向的波面上空间点间光场的相关性，称为该光的空间相干性 第 2 章光的干涉　　当光源是点光源时，所考察的任意两点S1和S2的光场都是空间相干的；当光源是扩展光源时，所考察S1和S2两点的光场不一定空间相干，具有空间相干性的空间点的范围与光源大小成反比。

根据(2.5-5)式，对于一定的光波长和干涉装置，当光源宽度b较大，且满足b≥λR/d或b≥λ/β时，通过S1和S2两点的光场空间不相干，因此它们在空间将不产生干涉现象通常称 (2.5-9) 为光源空间相干的临界宽度，式中的β=d/R是干涉装置中两小孔S1和S2对S的张角当光源宽度不超过临界宽度的1/4时，由(2.5-5)式可计算出这时的可见度V≥0.9通常称这个光源宽度为许可宽度bp，且第 2 章光的干涉 (2.5-10) 实际上，可以利用这个许可宽度确定干涉仪应用中的光源宽度的容许值 　　我们也可以从另一个角度考察光的空间相干性范围对于一定的光源宽度b，通常称光通过S1和S2点恰好不发生干涉时所对应的距离为横向相干宽度，以dt表示， (2.5-11) 第 2 章光的干涉该横向相干宽度dt也可以用扩展光源对O点(S1S2连线的中点)的张角θ表示： (2.5-12) 如果扩展光源是方形的，由它照明平面上的空间相干范围的面积(相干面积)为 (2.5-13) 理论上可以证明，对于圆形光源，其照明平面上的横向相干宽度为 (2.5-14) 第 2 章光的干涉相干面积为 (2.5-15) 　　有时采用相干孔径角βC表征空间相干范围会更直观方便。

当b和λ给定时，凡是在该孔径角以外的两点(如　和　 )都是不相干的，在孔径角以内的两点(如　和　 )都具有一定程度的相干性(图2-63)公式bβC=λ　　　　　　　　　(2.5-16)表示相干孔径角βC与光源宽度b成反比，通常称该式为空间相干性的反比公式第 2 章光的干涉图2-63第 2 章光的干涉　　2) 光的时间相干性　　上面关于光源复色性对干涉条纹可见度V影响的讨论，实际上是考察了某一时刻、光源沿光波传播方向光程差为Δ的两个不同点处所产生光场之间的相关性，如果这两个不同点的光场相关，则知道了某一点的光场(大小和相位)，便可确定出另一点的光场，并且由这两点光场可以产生干涉现象；如果该二光场不相关，则这两点光场不能产生干涉现象由于光波以恒定速度传播，因而也可以说，上面的讨论实际上是考察了对于空间中的某一点，光源在相差时间τ的不同时刻所产生光场的相关性通常将这种表征光波在不同时刻光场的相关性的属性，称为时间相干性 第 2 章光的干涉　　根据前面的讨论，对于单色光源，Δλ=0，无论上述二点光程差Δ为多大，干涉条纹的可见度恒等于1；对于复色光源，Δλ≠0，只有Δ=0，即二点的光程相等时，才能保证V=1，一旦Δ≠0，其可见度就要下降。

当 (2.5-17) 时，V=0，完全不相干能够发生干涉的最大光程差叫相干长度，用ΔC表示显然，光源的光谱宽度愈宽，Δλ愈大，相干长度ΔC愈小  考虑到光传播速度c是常数，也可以采用相干时间τC来度量时间相干性τC定义为 (2.5-18) 第 2 章光的干涉式中，c是光的速度凡是光源在相干时间τC内不同时刻发出的光，均可以产生干涉现象，而在大于τC时间发出的光波之间，不能产生干涉由(2.5-17)式，再利用波长宽度Δλ与频率宽度Δν的如下关系: 相干时间τC可以表示为 (2.5- 19) 即有该式说明，Δν愈小(单色性愈好)，τC愈大，光的时间相干性愈好 (2.5- 20) 第 2 章光的干涉　　进一步，考虑到光源的跃迁辐射，光的相干长度ΔC和相干时间τC的物理意义是：任意一个实际光源所发出的光波都是一段段有限波列的组合，若这些波列的持续时间为τ，则相应的空间长度为L=cτ，由于它们的初相位是独立的，因而它们之间不相干但对于一个波列，其内光场相干，因此，由同一波列分出的两个子波列，只要经过不同路径到达某点能够相遇，就会产生干涉所以，实际上相干时间τC就是波列的持续时间τ，相干长度ΔC就是波列的空间长度L。

因此可以说，光源复色性对干涉的影响，实际上反映了时域中不同二时刻光场的相关联程度，因而是光的时间相干性问题第 2 章光的干涉 2.5.2　干涉的定域性　干涉的定域性　　　　1. 点光源产生干涉的非定域性点光源产生干涉的非定域性　　在分波面法杨氏干涉实验的讨论中曾指出，当S为单色点(或线)光源时，通过S1和S2两个小孔(或狭缝)后，在空间任一点处均可观察到清晰的干涉条纹，即干涉是非定域的　　对于图2-64所示的分振幅法平行平板干涉实验，当用点光源S照射平行平板时，在与S同侧的空间任意点P上，总会有从S发出、由平行板上下表面反射产生的两束光在该点相交由于这两束光来自同一点光源，它们是相干的，无论P点在空间什么位置，总可以观察到干涉条纹，因此，干涉是非定域的　　类似地，如图2-65所示，当由点光源照射楔形板时，其干涉也是非定域的第 2 章光的干涉图2-64　点光源照射平行平板第 2 章光的干涉图2-65　点光源照射楔形平板第 2 章光的干涉　　　　2. 扩展光源产生干涉的定域性扩展光源产生干涉的定域性　　1) 杨氏干涉的定域性　　如图2-66所示，当用扩展光源照射双孔实验装置时，由于扩展光源可视为大量独立、互不相干的点光源的集合，其干涉图样为各点光源在观察点处所产生的相互错位的条纹强度之和，条纹可见度将降低。

当观察点处的条纹可见度降低到干涉条纹不可分辨时，视为该处不发生干涉由图2-58可见，扩展光源引起空间某处干涉条纹可见度的降低，取决于扩展光源上各点光源在该处产生干涉条纹错开的程度，而条纹错开的相对距离，又取决于相应点光源到该处光程差的差别通常认为，光源上两个点光源通过干涉系统到达空间P点的光程差差别小于λ/4时，所引起的条纹可见度的下降仍能保证较清晰地观察到干涉条纹所以，干涉条纹的定域区可视为满足如下条件的空间点P的集合：对于这些P点，光源上任意两点Sm和Sn所对应的光程差的差别均不大于λ/4若该区域中有一曲面上的点所对应的光程差相等，或其差别取最小值，则称其为条纹定域的中心第 2 章光的干涉图2-66　用扩展非单色光源照明的杨氏实验第 2 章光的干涉　　2) 平行平板和楔形平板的干涉定域性　　由上所述，决定干涉条纹定域性的主要因素是照明光源的尺寸，其实质是光的空间相干性作用根据前面光的空间相干性的讨论，如果光源的横向宽度为b，观察点对应的相干孔径角为βC，则要在P点附近观察到干涉条纹，必须满足条件  (2.5-21)　　或者说，满足这一关系的P点所在区域，即是干涉条纹定域的区域。

随着扩展光源尺寸的增大，βC将减小，相应的条纹定域区也要减小 第 2 章光的干涉　　那么，如何确定干涉条纹的定域区域呢? 由上述讨论可知，干涉条纹定域区随着扩展光源尺寸b的大小发生变化，但无论扩展光源的尺寸b多大，其干涉条纹定域区都必然包含对应β=0的那些点，所以定域区域可以通过β=0的作图法确定　　如图2-67所示，对于点光源S1(或S2)，β=0即表示是由S1发出一条光线，该光线经平行平板上下表面反射所产生的两条光线，通过透镜在其焦平面上相交于P点对于扩展光源上所有点源发出的一组平行光线(β=0)，经平行平板反射后，都将通过透镜后会聚于其焦平面上的一点由此说明，使用扩展光源时，平行平板的干涉条纹定域在透镜的焦平面上，或没有透镜时，定域在无穷远处第 2 章光的干涉图2.67　定域在透镜焦平面的图示第 2 章光的干涉　　对于楔形平板情况，如图2-68(a)所示，主截面(垂直于楔形板棱线的平面)内的入射光线SA1和SA2(β=0)，分别由楔形板两表面反射，其反射光线交于P1和P2点同样，还可以通过作图得到相应于另外入射光线的P3、P4、……交点(图中未画出)，这些点一般处在一个空间曲面上，这个曲面就是楔形板(相应于β=0)的干涉定域面。

在这种情况下，光源与楔形平板的棱线各在一方，其定域面在楔形板的上方对于图2-68(b)所示的情况，光源和楔形平板的棱线在同一方，其定域面在楔形板的下方，该定域面是由反射光反向延长相交得到的，故称为虚定域面而与之相对应的(a)情况的定域面，叫实定域面第 2 章光的干涉图2-68　楔形平板干涉条纹的定域第 2 章光的干涉　　实验证明，楔形平板两表面间的楔角愈小，定域面离平板愈远，楔形板变成平行平板时，定域面就过渡到无穷远处在楔形平板两表面间的楔角不是太小，或者在厚度不规律变化的薄膜情况下，厚度足够小，其定域面实际上很接近楔形平板或薄膜表面因此，观察薄板产生的定域干涉条纹时，通常都是把眼睛、放大镜或显微镜调节在薄板的表面上如果用照相机拍摄条纹，则要将物镜对薄板表面调焦，使之成像于底片平面在日常生活中，我们注视水面上的油膜或肥皂泡等薄膜的表面时，看到薄膜在日光照射下显现出五彩缤纷的色彩，就是复色光在薄膜表面上形成的彩色干涉条纹 第 2 章光的干涉　　上面，利用β=0作图法得到了干涉条纹的定域面实际上，干涉条纹不只发生在定域面上，在定域面附近，凡是满足β<λ/b的区域，均能看到干涉条纹。

例如，光源尺寸为5 cm，对于单色光λ=0.5 μm，在β<2″所确定的区域内都可以看到干涉条纹，只是条纹可见度随着离开定域面的距离增大，逐渐下降而已因此，干涉定域是有一定深度的，并且，定域深度的大小与光源尺寸成反比光源尺寸愈大，干涉定域的深度愈小；反之，光源尺寸愈小，干涉定域的深度愈大；光源为点光源时，定域深度为无限大，干涉变成非定域的了此外，定域深度也与干涉装置本身有关，例如对于非常薄的平板或薄膜，不论考察点P在何处，它对应的β角实际上都很小，因此，干涉定域的深度很大这样，即使使用尺寸很大的光源，定域区域也包含薄板或薄膜表面，所以当我们把眼晴或观察仪器调节在薄板或薄膜表面时，能够看到清晰的干涉条纹 第 2 章光的干涉　　在寻找干涉条纹时，通常用眼晴直接观察比通过物镜成像更容易进行这是由于人的眼晴能够自动调节，使最清晰的干涉条纹成像在视网膜上，而且因为眼晴的瞳孔比透镜的瞳孔小得多，它限制了进入疃孔的光束，如图2-69所示，扩展光源中只有其中一部分S2S3发出的光能反射进瞳孔，故用眼晴直接观察时，扩展光源的实际宽度要小一些，使得定域深度增大，更便于找到干涉条纹第 2 章光的干涉图2-69　眼睛瞳孔对光束的限制第 2 章光的干涉 2.5.3 相干性的定量描述相干性的定量描述 上面，从条纹可见度出发引入了描述光场相干性的相干面积和相干长度，并指出，在相干面积和相干长度内的光波进行干涉实验时，能观察到稳定的干涉条纹。

实际上，由于这种“稳定的干涉条纹”本身就是一种定性的相干性判据，因而相干面积和相干长度的概念只是相干性的一种粗略描述　　在相干性的经典理论中，通常利用复相干函数和复相干度对相干性进行定量描述，它们与干涉条纹的可见度有直接联系，通过实验测量干涉条纹可见度，即可由它们很方便地确定出光的相干性第 2 章光的干涉 1. 复相干函数和复相干度复相干函数和复相干度 作为一般情况，考察采用扩展的非单色光源照明的杨氏干涉实验如图2-66所示，扩展的非单色光源S照明光屏A上的两个小孔S1和S2，由S1和S2发出的二光在观察屏E上叠加，产生干涉条纹假设在t时刻，由于扩展的非单色光源照明，S1和S2两点的复数光场分别为E1(t)和E2(t) ，在屏幕E的某点P上，来自S1和S2的光场分别为E1 (t-t1)和E2(t-t2)(在这里，不计小孔的衍射效应，并且忽略光场由S1和S2到P点的变化)，其中，t1=r1/c和t2=r2/c分别是光波由S1和S2传播到P点的时间，则在t时刻P点的总光场为 Ep(t)=E1(t-t1)+E2(t-t2) (2.5-22) 第 2 章光的干涉由于实际光场的振幅和相位都随时间极迅速地变化，考虑某点的瞬时光强度没有多大的实际意义。

我们只能观测到某一时间间隔内的平均值，所以应把P点的光强度取为 (2.5-23) 将(2.5-22)式代入后，得到 (2.5-24) 第 2 章光的干涉考虑到实际情况，可以假设光场是稳定的，即它们的统计性质不随时间变化，或者说上式中各个量的时间平均值与时间原点的选择无关，可令t=t1 因此， (2.5-24)式可改写为 (2.5-25) 式中，τ=t1-t2，〈E1(0)E1*(0)〉和〈E2(τ)E2*(τ)〉分别为S1和S2在P点产生的光强I1和I2，而 (2.5-26) 第 2 章光的干涉这里的ReΓ12(τ)是函数 (2.5-27) 的实部函数Γ12(τ)在数学上是求(E1(0)E*2(τ))的时间平均值，它是两个光场E1和E2的互相干函数，是相干理论中的一个基本量，表征了S1和S2两点光场的互相关程度于是，(2.5-25)式可表示为 (2.5-28) 其中，2ReΓ12(τ)称为干涉项，由于它的存在，P点的总光强IP可以大于、小于或等于(I1+I2) 第 2 章光的干涉　　当S１和S2两点重合时，互相干函数Γ12(τ)变成自相干函数 (2.5-29) 或 (2.5-30) 并且，当τ=0时，有 (2.5-31) 它们也即是S1和S2点的光强度。

若将互相干函数Γ12(τ)归一化，可以得到归一化的互相干函数γ12(τ) (2.5-32) 第 2 章光的干涉通常称γ12(τ)为复相干度复相干度一般是τ的复数周期函数，它的模值满足0≤|γ12(τ)|≤1，用它来描述光场的相干性更为方便 γ12 |=1时，表示光场完全相干；0＜|γ12|＜1时，表示光场部分相干； | γ12 |=0时，表示光场不相干利用复相干度，可以将(2-162)式表示为 (2.5-33) 该式就是稳定光场的普遍干涉定律第 2 章光的干涉考察(2.5-33)式可以得到，屏幕上干涉条纹的可见度为 (2.5-34) 当I1=I2时，得到 (2.5-35) 由此可见，S1和S2的光强度相等时，复相干度的模就是屏幕上干涉条纹的可见度在光场完全相干(|γ12|=1)时，条纹可见度V=1；光场完全不相干(|γ12|=0)时，条纹可见度V=0；光场部分相干(0＜ (|γ12| ＜１)时，条纹可见度0＜V＜1 第 2 章光的干涉 2. 光的相干性光的相干性 1) 光的时间相干性 在图2-66所示的干涉装置中，如果S是一个非单色的点光源，并且S到S1和S2的距离相等，因而S1和S2处的光场相同，均为E(t)，则所考察的光的相干性仅为光的时间相干性。

P点的干涉效应由取决于光场的互相干函数，变为取决于光场的自相干函数，相应的光场归一化自相干函数为 (2.5-36) 通常称该γ(τ)为时间相干度，它是经历不同时间、从S1和S2传播到P点的两个光场之间时间相干性的定量描述第 2 章光的干涉如果S是一个单色点光源，其时间相干度的模|γ(τ)|=1，它产生的是一个完全相干光，所得到的干涉条纹可见度V=1对于高斯分布型准单色光波，其光场表示式为 (2.5-37) 它可以看作是各种频率成分的组合，不同频率成分的振幅按函数形式分布，相位φ(ν)则为典型的随机分布于是， (2.5-38) 第 2 章光的干涉由此可得 (2.5-40) (2.5-41) 故高斯分布型准单色光的时间相干度的模，也呈高斯函数形式，它即是高斯分布型准单色光进行上述干涉实验时的干涉条纹可见度 (2.5-39) 第 2 章光的干涉 2) 光的空间相干性 在图2-66所示的干涉装置中，如果S是一个单色扩展光源，并且仅考察观察屏中距S1和S2等距离P0点附近的干涉条纹，则光的空间相干性将起主要作用。

此时，复相干度为 (2.5-42)它实际上是S1和S2两点光场空间相干性的量度，称为这两点的空间相干度第 2 章光的干涉由于单色扩展光源S可以看作是大量同频率的单色点光源的集合，所以在S1和S2点处的光场分别为 (2.5-43) 式中，s是扩展光源上各点的坐标; a(s)是各点的振幅；ρ1(s)和ρ2(s)分别是各点到S1和S2的距离；j(s)是典型的随机相位；积分域是全部扩展光源于是第 2 章光的干涉复相干度γ12(0)为 (2.5-44) 第 2 章光的干涉 3) 光的时、空相干性 当光源既是扩展光源，光源上各点又发出非单色光时，光场的时、空相干性的贡献都存在这时，既要描述空间任意两点光场的相干性，又要描述这两点光场各在不同时刻的相干性，即需要考察S1点在t1时刻的光场与S2点在t2=t1+τ时刻光场之间的相关程度，此时的复相干度为 (2.5-45)第 2 章光的干涉通常，γ12(τ)是7个自变量的函数：当7个维度都取遍(-∞，∞)区间时，就对一个光波的时、空相干性作了全面的描述。

对于单纯的空间相干度γ12(0)，具有六个自变量：x1，y1, z1, x2, y2, z2; 对于单纯的时间相干度γ(τ)，只与时间差τ有关 (2.5-46)第 2 章光的干涉 2.5.4 激光的相干性激光的相干性 1. 激光的空间相干性激光的空间相干性 激光的空间相干性主要取决于它的横模特性所谓横模，是指由于激光器谐振腔的作用所形成的横向场结构分布图2-70示出了几种常见的激光横模强度分布图样对于每种横模都是优良的相干光，在其整个横截面内都是空间相干的，即截面上各点光场振动都相关联但是，对于多模激光器而言，可将其看作是多个光源的组合，它们的频率、偏振及位置各不相同，因而彼此不相干，导致多模激光器的相干性变差因此，在光信息处理和计量中都应采用选模技术，以使激光运转在单横模状态第 2 章光的干涉图 2-70 圆形镜腔横模的强度图样第 2 章光的干涉　　光波的空间相干性与其方向性(用光束发散角描述)紧密相关对于普通光源，其空间相干性很差，发散角很大而对于激光器，它有很好的空间方向性，光束发散角很小例如，输出孔径(2a)为3 mm的He-Ne气体激光器(λ=0.6328 μm)，当它工作于基横模(TEM00)状态时，其发散角θ可以达到3×10-4 rad，接近于它的孔径衍射极限θm≈λ/(2a)≈2×10-4 rad。

激光器的这种优良的空间相干性和方向性，对其聚焦性能有重要影响可以证明，一束发散角为θ的基横模高斯激光束被焦距为f的透镜聚焦时，焦平面上的光斑直径D为 D=fθ 　　 (2.5-47)而在衍射极限θm的情况下，有 (2.5-48)第 2 章光的干涉 2. 激光的时间相干性激光的时间相干性 由(2.5-20)式，光的相干时间与光的单色性(频谱宽度)Δν有如下简单的关系： τCΔν=1可见，光的单色性愈好，其相干时间愈长，时间相干性愈好对于普通光源，由于其自发辐射的发光机制，单色性很差，因而时间相干性很差在激光出现前，单色性最好的光源是Kr86灯的 0.6057μm谱线， Δλ=0.47×10-6μm，其单色性为Δλ/λ=7.6×10-7，由相干长度关系式可估算出它的相干长度约为1 m量级这就是说，Kr86灯若用于干涉测长技术，能实现的最大测长量程会不超过1 m (2.5-50)(2.5-49)第 2 章光的干涉对于单横模(TEM00)激光器，其单色性取决于它的纵模结构和模式的频谱宽度。

所谓纵模是指由于激光器谐振腔的作用，所形成的纵向场结构分布对于单纵模气体激光器，其理想的谱线宽度很小，单色性极好例如，一个1mW的He-Ne激光器，若其长度L=1 m，损耗为0.01，则谱线宽度极限为Δνs≈5×10-4Hz实际中，激光器经常工作于多纵模状态，并且由于各种因素(如温度、振动、气流、激励等)的影响，其实际的单色谱线宽度会大大超过谱线极限Δνs因此，为了提高激光的单色性，需要采用各种选频措施第 2 章光的干涉例如，一支经过选频的单支稳频气体激光器，其单色谱宽可以达到106~103Hz，采用非常严格的稳频措施，在He-Ne激光器中已观察到2Hz的谱线宽度正是由于激光器的这种高单色性，使其相干长度大大提高例如，经过稳频的气体激光器，其单色性Δν/ν可达10-10~10-13量级，相应的相干长度约为1~1 000km 如此之长的相干长度，可用于精密干涉测长中，可将量程提高到1~1 000 km，并且因此建立起一系列全新的分析测量技术，有可能对各种物理、化学、生物学过程进行深入的研究和控制第 2 章光的干涉最后应说明，前面介绍的从经典相干性理论出发，引入相干函数和相干度概念对相干性的描述，是针对普通的热辐射光源的相干性而言的。

由于激光器(受激辐射振荡光源)和热光源(自发辐射光源)本质不同，其辐射具有不同的统计特性，因此利用经典相干性理论描述激光器的相干性，有一定的局限性，或者说是一种近似的描述方法第 2 章光的干涉例例题题例例 2-1 讨论平面光波和球面光波的干涉  解解如图2-71所示，有一球面光波O和一平面光波R在空间相遇，产生干涉在正入射时，球面光波的复振幅(近轴情形)为 ~~平面光波的复振辐为式中，初相位C是一个常数，可取为零第 2 章光的干涉图 2-71 平面波和球面波的相干叠加第 2 章光的干涉在干涉场(xOy平面)中任一点，两束光的合振幅为合振幅为合光强度为当满足 m=0, 1, 2, … 时，光强度为极大(亮条纹)因此，干涉场中亮条纹方程为第 2 章光的干涉 m=0, 1, 2, … 该式表明，此时干涉条纹是一组半径R与干涉级m的平方根成正比的同心圆  如果平面光波是斜入射，与z轴夹角为θR，则有此时干涉场中的光强度为第 2 章光的干涉亮条纹方程为可见，条纹仍然是同心圆环，但圆心已离开坐标原点。

如果z0很大，在近轴处只能看到圆弧状条纹及第 2 章光的干涉例例 2-2 图2-72表示一双缝实验，波长为λ的单色平行光入射到缝宽均为b(b>>λ)的双缝上，因而在远处的屏幕上观察到干涉图样将一块厚度为t、折射率为n的薄玻璃片放在缝和屏幕之间  (1) 讨论P0点的光强度特性  (2) 如果将一个缝的厚度增加到2b，而另一个缝的宽度保持不变，P0点的光强发生怎样的变化? (假设薄片不吸收光) 解： (1) 由图2-72可见，从两个缝发出的光，到达P0点时的相位差为第 2 章光的干涉图 2-72　例2-2用图第 2 章光的干涉因而P0点的光强为由上式可知，当相位差满足或者说，薄片厚度满足第 2 章光的干涉或者说，薄片厚度满足时， P0点的光强最小时，P0点的光强最大；当相位差满足第 2 章光的干涉 (2) 当上面的缝宽度增加到2b时，P0点的光场复振幅为由此求出P0点的光强度为第 2 章光的干涉例例 2-3 用λ=0.5μm的绿光照射肥皂膜，若沿着与肥皂膜平面成30°角的方向观察，看到膜最亮。

假设此时的干涉级次最低，并已知肥皂水的折射率为1.33，求此膜的厚度当垂直观察时，应改用多大波长的光照射才能看到膜最亮?  解：解：已知由平行平板两表面反射的两支光的光程差表示式为在观察到膜最亮时，应满足干涉加强的条件 m=1,2,…第 2 章光的干涉由此可得膜厚h为按题意，m=1，可求得肥皂膜厚度 h=1.24×10-5cm 若垂直观察时看到膜最亮，设m=1，应有由此得将n=1.33和h=1.24×10-5cm代入上式，求得波长为第 2 章光的干涉例例 2-4 单色光源S照射平行平板G，经反射后，通过透镜L在其焦平面E上产生等倾干涉条纹(图2-73)光源不直接照射透镜光波长λ=0.6μm，板厚d=1.6 mm，折射率n=1.5，透镜焦距f=40mm若屏E上的干涉环中心是暗的，问屏上所看到的第一个暗环半径r是多少? 为了在给定的系统参数下看到干涉环，照射在板上的谱线最大允许宽度Δλ是多少?  解解：：设干涉环中心的干涉级次为m0(不一定为整数)，则由平板上、下表面反射出来的两支光的光程差第 2 章光的干涉图 2-73　例2-4用图第 2 章光的干涉可以得到如下关系由此，若将m0写成则m1是最靠近中心的亮条纹的干涉级次。

因在本题条件下， m1=8000, ε=1/2，中心是暗点，所以m1也即是中心暗点的干涉级次因此，对应第N个暗环的干涉级次为第 2 章光的干涉且有整理可得在一般情况下θ1N和θ2N都很小，由折射定律有n≈n0θ1N/θ2N，而1-cosθ2N≈θ22N/2≈(n0θ1N/n)2/2，代入上式可得第 2 章光的干涉因而第N个暗环半径的表示式为第一个暗环的半径为为能看到干涉环，最大允许谱线宽度Δλ应满足由此可求得最大允许的谱线宽度为第 2 章光的干涉　　例例 2-5　在玻璃基片(nG=1.52)上镀两层光学厚度为λ0/4的介质薄膜, 如果第一层膜的折射率为1.26,则为实现该膜系对正入射波长为λ0的光全增透的目的, 第二层膜的折射率应为多少？　解：已知镀两层光学厚度为λ0/4的介质薄膜，按等效折射率概念，其反射率为　　为实现该膜系对正入射波长为λ0的光全增透，则R2=0，　　　　　　　　，且第一层为低折射率膜因此，第二层膜应为高折射率膜层，其折射率为第 2 章光的干涉例例 2-6 观察迈克尔逊干涉仪，我们看到一个由同心明、暗环所包围的圆形中心暗斑。

该干涉仪的一个臂比另一个臂长2 cm，且λ=0.5μm试求中心暗斑的级数，以及第6个暗环的级数  解解：对于由虚平板产生的等倾干涉条纹，最小值满足如下干涉条件：按题意，中心为暗斑，应有第 2 章光的干涉相应的干涉级数m0为因为每两个相邻最小值之间的光程差相差一个波长，所以第N个暗环(注意，不是从中心暗点算起)的干涉级次为mN=m0-N，于是第 2 章光的干涉例例 2-7 F-P干涉仪的反射振幅比r=0.9，试计算 (1) 最小分辨本领； (2) 要能分辨开氢红线Hα(0.6563μm)的双线(Δλ=0.1360×10-4μm) ，F-P干涉仪的最小间隔为多大?  解：解： (1) F-P干涉仪的分辨本领为当r=0.9时，最小分辨本领为第 2 章光的干涉 (2) 要分辨Hα的双线，即要求分辨本领为由于A正比于m，所以相应的级次为 F-P干涉仪的间距应为 第 2 章光的干涉例例2-8 设计一块F-P干涉滤光片，使其中心波长λ0=0.6328 μm，波长半宽度Δλ1/2≤0.1λ0，并求它在反射光损失为10%时的最大透过率。

 解：解：根据波长半宽度关系式应有N≥10又由精细度N的表示式，有第 2 章光的干涉求解该方程得到 R≥73.14% 若该干涉滤光片通过镀介质膜制造，并选nH=2.34, nL=1.38，经查表2-1，得到镀5层反射膜时的R=86.1%，满足题意要求，所以干涉滤光片的膜系结构为(HL)2H-2L-H(LH)2 当考虑光损失时，最大透过率由上面的讨论可以看出，提高光的透过率与压缩Δλ1/2是相互制约的，需要根据实际要求折衷考虑  。

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