基于混合式教学的梯度教学案例研究.docx

基于混合式教学的“梯度”教学案例研究 赵文才 刘洪霞 包云霞[摘 要]APOS理论为数学概念的教学提供了理论基础以“梯度”为教学案例，可以探索以问题驱动的混合式教学模式改革，鼓励学生从实际问题出发，充分利用优质课程资源自主探究学习通过活动、过程、对象、图式等阶段的逐层构建，可以帮助学生完成对梯度概念的完整认知[关键词]APOS理论；混合式教学模式；问题驱动；教学案例；梯度[] G642 [] A [] 2095-3437（2018）03-0061-04○、引言20世纪90年代，美国数学教育家杜宾斯基（Dubinsky）在研究数学概念的教学中提出了APOS理论APOS理论认为，高等数学概念的学习过程，是学生分层主动建构的过程首先，通过“活动”（actions）让学生亲身体验和感受问题的直观背景、概念间的关系其次，通过“过程”（processes）让学生对活动阶段进行反思，经过描述、内化和抽象，得出概念所特有的性质再次，通过“对象”（objects）让学生认识概念的本质，并赋予形式化的定义和符号，使其成为一个具体的对象并以此为对象进行新的活动最后是“图式”（schemas）阶段，通过长期的学习和完善，让学生建立起与其他概念、图形和规则的联系，在头脑中形成综合的心理图式。

在数学概念的建构过程中，学生已有的知识结构发挥了重要作用梯度”是多元函数微分学的重要概念，是刻画多元函数变化率的重要工具，在解决许多实际问题中具有广泛应用在学习“梯度”概念之前，学生已掌握了导数、偏导数、方向导数以及向量的数量积等知识如何帮助学生顺利实现已有知识结构到新知识的迁移，从而掌握梯度概念的本质以及与方向导数的关系，是本节课要解决的主要问题一、教学目标课程教学包括知识目标、能力目标、情感目标等三个方面1.知识目标：理解和掌握梯度概念与计算方法；掌握梯度与方向导数的关系；理解梯度的几何意义2.能力目标：培养学生综合运用所学知识发现问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及理论联系实际的能力3.情感目标：引导学生主动从现实生活中提炼数学问题，激发学生学习数学的兴趣，使学生体验数学知识的价值与应用，形成主动学习的态度，提高学习积极性二、教學策略1.采用线上线下相融合的混合式教学模式课前线上学习、小组讨论，课上教师讲解、同学汇报，师生讨论、深化提高2.采用以问题为驱动的教学策略从警犬寻找毒品、蚂蚁逃生等实际问题引入，围绕下列问题渐次展开第一，什么是梯度？如何进行计算？第二，梯度与方向导数的关系如何？第三，梯度的几何表示。

3.课堂教学突出重点由方向导数的计算公式推导出方向导数是两个向量的数量积，从中引出梯度概念进一步利用数量积的定义，讨论梯度与方向导数的关系，使学生掌握梯度就是一个向量的本质内涵，沿梯度方向，函数增长最快4.采用实例教学法，激发学生学习兴趣利用生活中的警犬寻毒、蚂蚁逃生来引入梯度，让学生理解梯度的含义，引导学生主动思考和应用梯度概念三、教学过程（一）活动（actions）阶段——概念引入新概念的引入应充分考虑学生的身心发展和认知基础，体现直观性与可接受性原则建构主义理论认为，此时学生尚处于概念直觉的“活动”阶段教学中一般应从具体问题或数学自身矛盾出发，通过具体实例让学生体验、感受新概念的具体背景，激发求知欲和创造力，主动去构建新知识警犬寻找毒品、蚂蚁逃生等均为现实生活中的真实问题，作为梯度引入的具体背景，学生易于接受，探索问题背后蕴含的数学概念，学生兴趣盎然师生共同分析：根据动物本能，警犬一定沿着气味浓度增加最快的方向搜寻毒品，而蚂蚁一定沿着温度下降最快的方向逃离石板如何描述函数变化最快的方向？这就是梯度，从而引出本节教学内容板书本节课的主要问题（后续教学紧紧围绕这三个问题展开）：第一，什么是梯度？第二，梯度与方向导数的关系如何？第三，梯度的几何表示与应用。

二）过程（processes）阶段——内涵阐释学生通过对实际问题的思考，也就是通过对活动阶段进行反思、内化、压缩等一系列思维过程，初步抽象出新概念的内涵和性质，归纳出概念的基本定义采用线上线下相融合的混合式教学模式，鼓励学生利用网络教学资源，对梯度概念进行充分预习，形成初步印象通过小组讨论，发现问题教师利用课堂进行引导、深化和提高在这一过程中充分体现学生的主体地位任何新知识的产生，都有其内在发展变化的规律，新旧知识之间一定存在千丝万缕的联系，绝不是“无源之水、无本之木”，更不是“天上掉下个林妹妹”教师的作用就是帮助学生建立新旧知识的桥梁，顺利实现从原有知识到新知识的迁移，完成对新知识的构建为了帮助学生实现“梯度”概念的构建，就需要建立与已有知识的联系经过“活动”阶段，学生已经形成直观印象，“梯度”应该是函数增长最快的方向进一步引导学生思考：哪些概念可以描述函数变化的快慢？我们知道，偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率，而方向导数则表示沿给定方向的变化率若函数f（x，y）在点P0（x0，y0）可微，则函数在该点沿任意方向=（cos？琢，cos？茁）的方向导数存在，且有=fx（x0，y0）cos？琢+fy（x0，y0）cos？茁.引导学生观察方向导数的计算公式，不难发现，如果引入矢量fx（x0，y0）=fx（x0，y0）+fy（x0，y0），则有fx（x0，y0） =fx（x0，y0）cos？兹.进一步启发学生思考：哪一个方向函数变化最快？也就是方向导数最大？答案是显而易见的，“梯度”概念的引出，也就水到渠成了。

由于同学们课前进行了网上学习，有同学主动要求汇报学生在黑板上给出了梯度概念并结合下列题目进行求解例1 已知f（x，y）=xy，计算f（1，-1）.教师：该同学讲解清晰，课前进行了认真准备例1讨论的是二元函数的情况，对三元函数，又该如何定义梯度呢？有学生回答：三个偏导数为坐标构成的向量也就是说，对于三元函数u=f（x，y，z），该函数在点P0（x0，y0，z0）的梯度为教师总结：梯度就是以偏导数为坐标构成的向量，帮助学生完成“梯度”概念本质内涵的把握，实现知识结构的初步迁移，完成对“梯度”概念的初步建构三）对象（objects）阶段——梯度与方向导数的关系通过前面的直觉、抽象，逐步认识了概念的本质，并赋予了形式化的定义和符号，使其成为一个独立的精致化的“对象”经过“对象”阶段之后，新概念呈现出一种静态结构关系，便于整体进行把握和使用下面将梯度上升为一个独立的“对象”来研究，讨论与方向导数的关系本部分内容由学生根据线上学习情况汇报，梯度与方向导数的关系完全取决于夹角，经学习小组其他同学完善，得到下表：显然，该组同学课前进行了深入学习和探讨，自主学习能力、创新意识较强为了进一步巩固梯度与方向导数的关系，由另一小组汇报教材下列例题的求解方法。

例2 已知函数f（x，y）=与P（1，1）点， 计算：（1） f（x，y）在P处增加最快的方向及沿该方向的方向导数；（2）f（x，y）在P点减少最快的方向及沿该方向的方向导数；（3）f（x，y）在P处的变化率为零的方向小组推举一人进行课堂汇报，因课前进行了线上学习和组内讨论，学生能够很好地给出题目的解答过程该函数为旋转拋物面，教师进一步从几何直观加以解释和拓展，引导学生思考：如何利用几何直观表示出梯度向量？从而为下一阶段的学习做好铺垫四）图式阶段（schemas）阶段——梯度的几何表示与应用在经过活动、过程、对象等三个阶段之后，学生通过建构、反思形成认知图式认知图式要经过长期的学习活动来完善初级的图式包含定义、符号以及反映概念的特例、抽象过程等内容经过后续学习建立起与其他概念、规则、图形等的联系， 在头脑中形成综合的心理图式在梯度概念的教学过程中， 通过揭示与向量、内积、方向导数等概念之间的关系，加深对梯度概念的理解和把握， 从而形成心理图式和数学意识通过梯度的具体应用，提高分析解决实际问题的能力为了能建立“梯度”概念的完整图式，先来看梯度的几何意义由例2不难发现，梯度方向恰好是曲线的=c一个法向量，从而引出等高线（也称等值线）的概念。

推广到一般情况，得出梯度的几何表示结合图3，教师及时提出质疑：等高线f（x，y）=c在P点有两个法向量，梯度应该是哪一个法向量呢？由于梯度是函数增长最快的方向，因而一定指向较高的等值线及时帮助学生辨析，去掉歧义，实现概念的准确建构教师：请同学们思考，对于三元函数，如何用几何直观表示梯度？学生： 等值面的法向量教师： 法向量的方向有两个，应该是哪一个？教师适时加以引导，运用类比推理方法，完成知识的进一步拓展经课堂共同讨论后得出结论：指向数值较大的等值面为了进一步深化对梯度的认识，提高运用所学知识分析解决问题的能力，下面来看梯度的具体应用如何求解警犬的搜索路径？例3 已知毒品气味浓度在地表平面上的分布函数为警犬从（x0，y0）处沿气味最浓的方向搜索毒品，求警犬搜索的路线师生共同分析：若设搜索路线为y=y（x），则求解搜索路线的关键是建立路径所满足的微分方程如何建立所满足的微分方程？引导学生思考警犬的前进方向由课题的引入，警犬一定沿着气味浓度增加最快的方向，也就是梯度方向搜寻毒品而函数f（x，y）=e- （x+2y）在任意点P（x，y）处的梯度为f（x，y）=fx（x，y）+fy（x，y）=2e- （x+2y）（x+2y），因此，该梯度方向就是警犬前进的速度方向，也就是曲线y=y（x）在任意点P（x，y）处的切线方向。

而切线方向为=dx，dy.于是f（x，y）∥，由此得出，y=y（x）所满足的微分方程为=y（x0）=y0这是一个变量可分离方程，不难求解得y=x.显然，这是一条抛物线由浓度函数f（x，y）=e- （x+2y）不难看出，f（0，0）=1为最大值因此，警犬从（x0，y0）处沿抛物线到达原点，从而找到毒品的藏匿位置该题前后呼应，让学生体会知识的应用和价值，培养学生运用所学知识分析解决问题的能力警犬搜索毒品这样的现实问题，借助于数学，就可以得到完美的解决，进一步激发学生学习数学的兴趣五）内容总结课堂总结复习，回顾梯度的定义， 梯度与方向导数的关系以及梯度的几何表示梯度”概念的教学过程如下：为了帮助学生实现知识的拓展与升华，给出下列思考题：（1）已知石板的温度分布函数为T=80-2x2-y2-x，求蚂蚁的逃生路径2）例3研究的是平面搜索问题，若毒品藏在大山之中，警犬的搜索路径又该如何求解呢？例如，已知毒品气味浓度函数为f（x，y，z）=e- （x+2y+z），求搜索路径？第一题用来呼应课题引入的另一个实际问题，这仍是一个二维平面问题，学生受到例题3的启发，应该容易解决第二题推广到三维空间，难度较大，具有挑战性。

学生成功解决二维搜索问题之后，已体验到成功的快乐，一定会向三维搜索问题发起冲击四、教学反思课题教学从警犬搜索毒品、蚂蚁逃生等实际问题引入，围绕问题展开讨论，最后以解决问题结束，前后呼应得当教学案例以APOS理论作为具体指导，采用了线上线下相融合的混合式教学模式，学生通过课前线上学习，课堂汇报， 充分体现了学生的主体地位，发挥了学生学习的积极性和主动性该教学方法得到基础较好学生的广泛赞同但部分同学参与程度不高，线上学习不到位该教学方法对部分基础较差、学习主动性不强的学生不适合，容易造成掉队[ 参 考 文 献 ][1] DUBINSKY E. Reflective abstraction in advanced mathematical thinking[J]。