中考数学知识点与经典题型练习 全等三角形中的半角模型(解析版).pdf

专题0 2全等三角形中的半角模型【模型展示】过正方形ABCD顶 角 顶 点（设顶角为A）,引两条射线且它们的夹角为学；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点E、F,则B E,E F,F C之间必存在固定关系这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关.【模型证明】以点A 为中心，把A A D F （顺时针或逆时针）旋转角A 度，至A A B F;解决方法结论1、A M N 全等于 A M N ,M N=M N ;2、A E F 全等于 A E F ,E F=E F B E+E F=E F;3、M N2=B M2+D N24、C E F的周长等于正方形ABCD的一半；5、点A到E F的距离等于正方形的边长（A B）应用环境1:顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为3 0或它们的补角、9 0 ;2:正方形、菱形等也能产生等腰三角形；3:过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；4:此等腰三角形的相关弦.【模型柘展】90中央45正方形中的半角模型）条件：在正方形A B CD中，E、F分别是BC、C D边上的点，ZEAF=450,B D为对角线，交A E于M点，交A F于N点。

结论：图1、2中，EF=BE+FD证明D图3证明：如 图3中，将A F绕 点A顺时针旋转90F点落在F处，连 接BF,Z E A F,=90o-ZEAF=90o-45o=45o=ZEAF,且 AE=AE,AF=AF,F A E F,AE(SAS),EF=EF,又D=N ABF=90,ZABE=90o,ZABEZABF,=90o+90o=180o,F B、E三点共线，/.EF,=BEBF,=BE+DFo结论：图2中MN2=BM2+DN2;E图4证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90N点落在N处，连 接AN、BNMN,Z N,AM=90o-ZEAF=90o-45o=45o=ZMAN,且 AM=AM,AN=AN,MAN,乌 AMAN(SAS),二 MN=MN,又ADN=45=NABN,ZABD=45o,二 Z MBN,=Z ABD+Z ABN=45+45=90,二在 RtAMBW 中，MN,2=BM2+BN,2,即 MN2=BM2+BN,2o结论：图 1、2 中 E A 平分NBEF,FA平分NDFE证明过程见证明中时4 FAEF,A E即可结论：图 1、2 中 SMEF=SAABE+SM DF 证明：如 图5中，过A点 作AH_LEF于H点，由结论可知：ZAEH=ZAEB,且AHE=NABE=9(,AE=AE,.ZXAEBdAEH(AAS),AH=AB=AD,进而可以证明 AHFgAADF(AAS),SEF=SMHE+S1MHF=SMBE+SvtDF【题型演练】一、单选题1.如图，四边形ABCO内接于。

A B=A D,N B C D=I 20,E、F分别为BC、CQ上一点，NEAF=30EF=3,DF=.则 BE 的 长 为（)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】延长C8到，使BH=DF=1,连接A H,则可证得 A5”-ZAO凡 从而AH=AF,ZBAH=ZDAFf 易证 AH EgA AP E,可得 HE=EF=3,则可求得 BE 的长.【详解】延长CB到“，使BH=DF=1,连接A H,如图四边形ABCO内接于O，NA8C+NAOC=I 80 V ZABH+ZABC=180.*.ZABH=ZADF在 48和AA D b中AB=AD NABH=ZADFBH=DF AAB的AADF：.AH=AF,ZBAH=ZDAF*：ZBAD+ZBCD=S O o,Z BCD=120 Z BAD=180 o-ZBCD=60 V ZEAF=30 ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=30：.ZEAH=ZBAE+ZBAH=30 在AAHE和 4庄 1中AH ADZEAH=NEAFAE=AE：.AH E AFE：.HE=EF=3.,.BE=HE-BH=3-1=2故选：B【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形的问题的关键与难点.2.如图，点 M、N 分别是正方形ABCD的边8C、CD上的两个动点，在运动过程中保持NMAN=4 5 ,连接 EN、FM相交于点 0,以下结论：MN=BM+DN；BE2+DF2=EF2；BC?=BFDE,)0M=JiO F Q )A.够 B.C.D.【答案】A【分析】由旋转的性质可得Af=AM,BM=DM,ZBAM=ZDAM,ZMAM=90,ZABM=ZADM,=90o,由“SAS”可证 AMN,可得E F=D E,由勾股定理可得8炉+。

产=E-故正确；通过证明ADAESZ B ,可 得 丝=丝，可证BC2=D E B F,故正确；通过AB BF证明点 A,点 6,点 M,点/四点共圆，ZABM=ZAFM=90o,ZAMF=ZAF=450,/BAM=/BFM,TiE M 0=2 E 0,由 N B A gN ZM N,可得母 OR 故错误，即可求解.【详解】解：将AABM绕点A逆时针旋转90得到A A O M l将 A绕点A 顺时针旋转9 0 ,得到：.AM=AM,BM=DM,ZBAM=ZDAM1f NMAM=90ABM=ZADM=90o1J ZADM+ZADC=180,.,点 MI在直线CQ上，NMN=45,/DAN+/MAB=450=N DAN+N DAM=/MAN,：.NMAN=NMAN=450,又:AN=AN,AM=AAf,：,/XAMN学 AMN(SAS),：MN=NM，MN=MD+DN=BM+DN,：,MN=BM+DN故正确；:将 AO尸绕点A 顺时针旋转9 0 ,得到 ABD,.AF=AD,9 DF=DB NADF=NABD=45NDAF=NBAD,ZD,BE=90of NMAN=45,J ZBAE+ZDAF=45o=ZBAD,+ZBAE=ZD,AEf ZD,E=ZEAF=45o,XVAE=AE,AF=AD：./AEF AED,(SAS),：.EF=DE9D,E2=BE2D,B2,：.BE2+DF2=EF2;故正确；ZBAF=ZBAE+ZEAF=ZBAE-45o,ZAEF=ZBAE+ZABE=45+ZBAE,：.ZBAF=ZAEF9又 ZABF=Z ADE=45o,D A EB M,.DE AD-=-,AB BFy.9：AB=AD=BC,：.BC2=DE-BF,故正确；VZFBM=ZM=45o,，点 A,点 8,点 M,点尸四点共圆，ZABM=ZAFM=90o,ZAMF=ZABF=45ot ZBAM=ZBFM1同理可求 NAeV=90。

N DAN=/DEN,：.NEoM=45EO=EM,：MO=五 EO,NBAM*/DAN,：.NBFM/DEN,IEOFO,.()M近F O,故错误,故选：A.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质,旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.二、填空题3.如图，在 Rl ABC和 Rt 8CD 中，ZBAC=ZBDC=90o,BC=4,AB=AC,NCBD=30o,M,N分别在8CO上，NMAN=45则 的 周 长 为【答案】26+2【分析】将A A C N绕点A逆时针旋转，得到A A B E,由旋转得出NNAE=90AN=AE,/ABE=ZACD,NEAB=/C A N,求出 ZEAM=/M A N,根据 SAS 推出 AEM丝ZXANM,根据全等得出MN=ME,求出MN=CN+B M,解直角三角形求出D C,即可求出 DMN的周长=B D+D C,代入求出答案即可.【详解】将绕点A逆时针旋转，得到A A 8 E,如图：由旋转得：ZVAE=90o,AN=AE,ZABE=ZACDf/EAB=NCAN,NBAC=N o=90/AC=360。

90-90=180,J ZABD+ZABE=S0of：E,B,M三点共线，VZMAV=45o,Z BAC=90%：.ZEAM=ZEAB+ZBAM=ZCAN-ZBAM=ZBAC-NMAN=90NEAM=NMAN,在AAEM和AANM中，AE=AN 乙EAM=乙NAM,AM=AM AAEMgzMNM(SAS),IMN=ME,.MN=CN+BM,;在 Rt 8 0)中，NBDC=90NCBO=30C=4f：.CD=；BC=2,BD=BC2-CD2=42-22=2 3,.,.丛DMN 的周长为 DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=2 2,故答案为：23+2.【点睛】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键.4.如图，在边长为6的正方形ABCD内作NE4=45AE交BC于点、E,AF交CD于点尸，连接防，将 一 ADb绕点A顺时针旋转90得 到ABG9若BE=2,则样的长为.GB EC【答案】5【分析】由题意易得8G=F,AG=AENGAF=90则有NG4E=/E 4 E =45然后可证,GAEg二 E 4 E,则有GE=E F,设GB=OF=x,则有CF=6-x,C E=4,EF=X+2,进而根据勾股定理可求解.【详解】解：四边形ABCO是正方形，且边长为6,CD=BC=6,NC=ZABC=ND=90。

ADF绕点A 顺时针旋转90得到，ABG,；.BG=DF,AG=AF,ZGAF=ZABC=ND=90,.点 G、B、E 三点共线，NM F=45ZGAE=ZFAE=45,.AE=AE,：.G A E F A E,JG E =E F,GB-DF-X,则有 C77=6-x,C E =4,E7=x+2,在 RtA ECF中，由勾股定理可得EC2+CF=EF-,即 16+(6-X)2=(X+2),解得：x=3,，EF=5 故答案为5.【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质及勾股定理是解题的关键.5.如图，正方形48C的边长为6,点 E,F 分别在边AB,BC上，若尸是BC的中点，且NEDF=4 5 ,则 QE 的长为.【答案】2i6【分析】延长BA到点G,使 AG=C凡 连接G,E F,利用SAS证明AAOG丝ZCO凡 得ZCDF=ZGDA,DG=DF,再证明 GDE丝ZFQE(SAS),得 GE=ER i AE=x,则 8E=6-x,EF=X+3,再利用勾股定理解决问题.【详解】解：延长BA到点G,使 AG=CF,连接OG,EF,：AD=CD,NDAG=NDCF,D GCD F CSAS),：.ZCD F=ZG D A,DG=DF,：N EOF=45。

/.NEDG=NADE+NADG=ZADE+ZCDF=45o,：DE=DE,FDE(SAS),.,.GE=EF,是 BC的中点，.AG=CF=8F=3,设 AE=X,贝 j8 E=6-,EF=x+3,由勾股定理得，(6-)2+32=(X+3)2,解得x=2,.AE=2,DE=yAD2+AE2=62+22=210，故答案为：2J i i.【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键.三、解答题6.正方形ABCD的边长为3,E、P 分别是AB、8C 边上的点,且/EDF=45将 D4E绕点逆时针旋转9 0 ,得到 DCM.(1)求证：EF=FM(2)当AE=I时，求 E F的长.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）由折叠可得DE=DM,ZED M 为直角，可得出NEDF+NMDF=90由NEDF=45,得到NMOF为45可得出NEZW=NM DF,再由F=）F,利用SAS可得出三角形OEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出E。