§3.3 导数与函数的极值、最值考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．1．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．微思考1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的什么条件？提示 必要不充分．2．函数的极大值一定大于极小值吗？提示 不一定．函数的极大值可能大于、小于或等于函数的极小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．( × )(2)函数的极小值一定是函数的最小值．( × )(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( √ )(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．( × )题组二 教材改编2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析 由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．3．当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是________．答案 ln x0，解得a>或a<－.6．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.答案 4解析 f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．f(x)有两个极值点B．f(0)为函数的极大值C．f(x)有两个极小值D．f(－1)为f(x)的极小值答案 BC解析 由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，∴f′(x)<0，当x∈(－2,0)时，g(x)<0，∴f′(x)>0，当x∈(0,1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0.∴f(x)在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减，在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增．故AD错误，BC正确．命题点2 求已知函数的极值例2 已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．解 因为f(x)＝x2－1－2aln x(x>0)，所以f′(x)＝2x－＝.①当a<0时，因为x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以当x＝时，f(x)取得极小值，且f()＝()2－1－2aln ＝a－1－aln a．无极大值．综上，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值．当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极小值a－1－aln a，无极大值．命题点3 已知极值(点)求参数例3 (1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________.答案 11解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋b，由题意得解得或当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，∴f(x)在R上单调递增，∴f(x)无极值，所以a＝1，b＝3不符合题意，当a＝2，b＝9时，经检验满足题意．∴a＋b＝11.(2)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．答案 解析 f(x)＝x(ln x－ax)，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x－2ax.由题意知，当x>0时，1＋ln x－2ax＝0有两个不相等的实数根，即2a＝有两个不相等的实数根，令φ(x)＝(x>0)，∴φ′(x)＝.当00；当x>1时，φ′(x)<0，∴φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝1，当x→0时，φ(x)→－∞，当x→＋∞时，φ(x)→0，则0<2a<1，即01时，当x>a或x<1时，g(x)>0，f′(x)>0；当11或x0，当a0)，令φ(x)＝－2x2＋x＝－22＋(x>0)，其图象如图所示，故a<.题型二 利用导数求函数的最值例4 已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．解 (1)∵a＝1，∴g(x)＝ln x＋x2－3x，∴g′(x)＝＋2x－3＝，∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0，∴g(x)在[1，e]上单调递增，∴g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1.(2)g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝＋2x－(a＋2)＝＝.①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1；②当1<0；当x>1时，f′(x)<0.∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴f(x)max＝f(1)＝－1.∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0
