第三章-量子力学中的力学量lt.doc

第三章例题剖析1 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数1）转子绕一固定轴转动（2）转子绕一固定点转动[解]：（1）能量的本征方程： ，or 引入 由波函数的单值性 ，其中 （2） ，在球极坐标系中体系的能量算符本征方程：其中，以上方程在的区域内存在有限解的条件是必须取，，即 于是方程的形式又可写成此方程是球面方程，其解为 由及，可解得体系的的能量本征值 2 氢原子处于 状态，求：（1）归一化波函数（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（4）角动量的z分量有无确定值？如果有，求其确定值解：（1）求归一化波函数 （2） 能量无确定值 可能取值： 概率： 平均值： （3）角动量平方无确定值 可能取值： 概率： 平均值： （4）有确定值。

其值为 3．求粒子处在态时角动量的分量和角动量分量的平均值；并证明：[解] (方法一)：（1）先证明两个普遍的关系：可以用两种方法来证明a）从角动量算符所满足的对易关系出发：或 由一式与二式乘i后相加减可得：或 用算符对运算得：另外，注意到和均可对易，故有：所以 从上面二式可见既是的本征函数，本征值为，又是的本征函数，本征值为，亦即，具有的形式令 它的共轭复式是二式相乘，对积分，再注意到的正交性，得：（b）用直接求微分的方法证明而 ；其中 故 同样，对也有 其中 可证明如下：因为勒襄德多项式满足方程对上式求微商次后得到或 故有（2）现在来求和注意到的正交性，亦即令 同理可知 故 （3）注意到的正交性，得：同理可证： 故 (方法二)：在固定z轴不变的情况下，进行坐标旋转，把原来的y轴变为x轴，仍然保持右旋坐标，这时角不变，唯一的改变是变为，注意到和的对称性，不难由在球坐标中的算符表示式看出而 讨论：①为了证明，我们还可以用下面两种简单方法：（a）设为的本征态，则有而 故同理，因为，可以证明 （b）利用测不准来证明令 则显然都是厄密算符，的对易关系为：就是角动量分量之间所必须满足的对易关系利用得出由于态是的本征态，在本征态中测量力学量有确定值，即力学量在态在平均平方偏差必须为零。

故有要保证不等式成立，考虑到为非负的数，所以必须是同理，只须利用，也可以证明②在(方法二)中，不从物理上考虑，直接从对易关系出发，也很容易证明注意到 即 左乘 得：利用 右乘得：比较 和可见，再利用，按照方法二的讨论，很容易证明。