探析电磁驱动过程中的力与能——由2007年上海高考压轴题谈起.pdf

中学物理 Vo1．27 No．17 2009年9月 探析电磁驱动过程中的力与能 ——由2007年上海高考压轴题谈起 洪 波 原题 (2007年上海高考第23题)如图 1(a)所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平 面内，导轨间距为L，左端接有阻值为R的电 阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上．导 轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好．在导轨 平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强 磁场，磁感应强度大小为B．开始时，导体棒静 止于磁场区域的右端，当磁场以速度 匀速向 右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平 向左、大小为厂的恒定阻力，并很快达到恒定速 度，此时导体棒仍处于磁场区域内． I× I ：× I I× ×IJ×× B lI一 ×lI×× I I I 口‘ r— I L一一u_一J — f f (a) 图I (b) (1)求导体棒所达到的恒定速度 2； (2)为使导体棒能随磁场运动，阻力最大 不能超过多少? (3)导体棒以恒定速度运动时，单位时间 内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各 为多大? (4)略． 答案 (1)感应电动势 一 BAS BE( l一 2)at E —— 一 =BL(7．1l一 2)， 感应电流，=E／R，导体棒速度恒定时，安 培力与阻力相等，即 如：B儿： ：厂， 所以口2= 1一B2~L2． (2)fro： ． (3)P棒=Fv2= ( l一 )； n E B L ( l— 2) f2R 电路 一R ——] 一 舂 。

疑问 磁场以速度 向右移动过程中， 磁场给导体棒向右的安培力， F：BIL： ， 瓜 此安培力对棒做正功，正是通过这个安培 力做功，磁场把能量转给棒．但由于在棒匀速运 动时，还受到向左的摩擦阻力作用，且该阻力的 大小等于安培力，因此在棒运动的过程中，又将 能量转化为摩擦热，这样磁场提供的能量最终 完全转化为摩擦热．但实际上棒运动时回路中 必定还会产生焦耳热，这焦耳热究竟从何而来? 另外，由于棒在运动过程中不断切割磁感线产 生感应电流的非静电力似乎应该是洛伦兹力． 但我们知道，洛伦兹力F洛=qvB中的速度 实际应该是电荷相对于静止的观察者的速度． 依据参考答案，本题显然是默认导轨为参考系 的，这样，棒原来静止不动，相对于观察者的速 度为零．因此，磁场无论怎样运动，棒中的自由 电荷都不应受到洛伦兹力作用．这时产生感应 ·25· 2009年9月 Vo1．27 No．17 中学物理 电流的非静电力究竟究竟是什么力呢? 分析 本题所描述的物理情景是高中物 理新课标教材上新增的电磁驱动内容，不过教 材仅给予简单的说明：当磁场相对于导体运动 时，穿过回路中的磁通量将要发生变化，导体中 产生感应电流，而使导体受到安培力的作用，安 培力最终使导体运动起来．实际上电磁驱动过 程中，力做功与能量转化的关系较为复杂，同时 由于磁场与棒存在相对运动，还涉及到参考系 的转化问题．下面对相关问题进行详细讨论． 先从宏观角度看．由于电磁感应，磁场给棒 向右的安培力F，与此同时，磁场本身必定会受 到向左的反作用力，要保持磁场速度不变，就必 须给磁场施加向右的拉力F ．显然F =F．这 样，拉力F 对磁场做功的功率 P =F'vl=Fvl， 安培力F对棒做功的功率P=Fv：，其差值‘ P 一P=F( l一 2) B L ( l一"02) ——— —一 恰好等于回路中的电功率．以上解释可说明电 磁驱动过程中能量是守恒的，不足的是仍无法 说清楚回路中电能，磁场究竟是通过何种方式 由磁场传递给导体棒的． 再从另一个参考系看．前面的分析实际上 是以导轨为参考系(设为 ：系)的．如果以磁 场(严格讲应是产生磁场的场源物体)为参考 系(设为∑ 系)，则导轨以速度 。

向左运动， 稳定时棒以速度( ，一 ：)向左运动．这样，导 轨给棒向左的摩擦力为动力，棒所受向右的安 培力则为阻力．从能量角度看，导轨通过摩擦 (动)力对棒做功，将能量由导轨传递给棒，棒 又通过克服安培力做功将能量转化为焦耳热． 并且，由于导轨与棒之间存在相对运动，二者间 仍有摩擦热产生，但这个摩擦热也是由导轨提 供的．以上解释可以很好地说明各个力做功与 能量转化的关系，但只是在 ： 系中得到的结 ·26· 果．在∑系中，应如何解释呢? 在∑系中，棒原来静止，棒中自由电子的 平均速度为零，磁场虽以速度 匀速向右运 动，但正如前文所说，cob中的速度 应是电荷 相对∑系中观察者的速度，即 =0，所以棒 中的电子不会受到洛伦兹力．原题所谓的匀强 磁场其实是以产生磁场的场源物体而言的，即 对∑ 系来说，矩形区域内只存在磁场．但由于 不同参考系中所观测到的电磁场情况并不完全 一致，一个参考系中的纯磁场，在另一个参考系 中看来，还可能会存在电场．其结果由不同参考 系之间电磁场的变换公式决定： Ex= ， E，=y(E +vB )， Ez=y(E 一vS, )， Bx= ， =y( 一 E )， B =r(S。

一号E )， L 上式中∑ 系相对∑系以速度 沿 轴 厂—— 正方向运动，)，=√1一 ，c为光速．在本题 Y L 中，取水平向右、竖直向上、沿棒由P向Q等分 别为∑系和∑ 系的 轴、 轴、 轴的正方 向如图2所示． 根据题意，在∑ 系中只存在磁场，B =一B．由上述变换公式可得，∑系中同时存 在电场和磁场： 中学物理 Voi27 No．17 2009年9月 E：= (Ez 一诏 )= 1B， B =rB, =一rB． 在低速情况下y一1，则有 E= l B、B =一B， 即∑系中的观察者认为空间同时存在沿 轴正方向的电场E= B和沿Y轴负方向的 磁场 =一B．这样在∑系中，导体棒内电子 所受电场力F=gEl= B，方向由Q指向P， 如图3所示．正是这个电 场力使电子发生定向移 动而形成感应电流． 当棒以速度 ：匀速 运动时棒内电子除受到 Q 图3 晟=z， 电场力F= =ClVB以外，一方面具有随 棒向右运动的速度 ，同时还有一个形成感应 电流的沿棒由Q指向P的定向移动速度 的合速度为 ，方向如图4所示．由于速 度7．1使电子受到垂直于棒向右的的洛伦兹力 q B；由于速度 使电子受到沿棒由P指向 Q的的洛伦兹力qv：B．需要说明的是，在 系 中，由于电子合速度为 ，电子实际所受总的洛 伦兹力F浩=qvB，方向与 垂直， 0B、qv2B 只是F洛=qvB的两个分量．因此电磁场给电 子的实际作用力只有两个，即电场力 和洛 伦兹力F洛=qvB．但如果把电场力gE：和洛伦 兹分力 ：B看成一个力，也可以认为电磁场 给电子施予这样的两个力，即沿7．1。

方向的作用 力(qE．一 B)和沿 2方向的作用力口 0B． 不难理解，g B最终表现为宏观的安培力， (qE：一q B)才是产生感应电动势的非静电 力! 下面从能量角度进行分析．棒匀速运动时， 电场力qE对棒内电子做功，将能量由场源物 体传递给导体棒；由于F洛=qvB与速度7．1垂 × P × × Q 图4 ^ l 直，F洛并不做功，但F洛虽不做功却可以认为 它的两个分力elyoB、 ：B分别做等值的正功 和负功，电子克服分力 ：B所做的功，通过另 一分力 B转化为宏观安培力的功． 设导体棒横截面积为S，单位体积所含自 由电子数目为 ，则长为L的导体棒内所含自 由电子总数为：N=nLS，因此非静电力对棒 内所有自由电子做功的总功率为： P电=N(Eq—qv2B)7．10 = Ls·gB( l一 2) o， 利用电流强度的微观表达式I=nqSv0， 上式可化简为P电=肌( 一 2)，由于回路 的电功率与电动势E的关系满足P电；E1，代 入上式可得E=BL( 一 ：)，这正是参考答 案中感应电动势的表达式． 综上所述，电磁驱动问题，由于磁场本身运 动，导致不同惯性参考系中观测到导体棒的受 力、能量转化情况并不一致．导体棒速度稳定 时，从磁场参考系来看，摩擦力对棒做正功，导 轨将能量传递给棒，棒又通过克服安培力做功， 最终将能量转化为焦耳热；从导轨参考系来看， 电场力对棒做正功，电(磁)场将能量传递给 棒，棒又通过非静电力、安培力做功，最终将能 量转化为焦耳热和摩擦热．尽管参考系不同能 量转化情况不完全一致，但不管在哪个参考系 中，功与能量转化的关系，即能量守恒定律均各 自成立． 【作者单位：(224o05)江苏省盐城中学】 ·27· P囤 。