n维向量与向量空间习题解.doc

1第三章 n 维向量与向量空间1．已知 ，求(3,15)(3,21)αβαβ解： 24519β2．把向量 表示成向量组 线性组合：234α,,（1） ；1 34(,)(,)(1),(1,),(1,)βαα解：设 ，先将这组关系写成线性方程组：1234kkα123412341kk利用矩阵的初等变换解方程组 1(,23)1 1020ir    1 12434 4232, , 1200001rr rr             123,0210r   解得： 1234,,0,2kk所以 124βα2（2） 1234(0,)(,)(1,),(1,),(1,)βααα解：设 ，那么先将这组关系写成线性方程组，再利用矩阵的1234kk初等变换解方程组()1234α,,β 1102110102 解得： ，所以12341,,,2kk12341βαα3 . 已知 线性无关，证明 也线性无关。

123α, 1+,,+解：假设 线性相关，则存在一组不全为零的数 ，使得1+, k123,23()()()0kkk1αα即 13123由于 线性无关， ；123α, 1212330,0,kkk与“ 不全为零”的矛盾, 所以假设不真.k123,34．设 是互不相同的数，令 ，求证：12,,rttn 1(,)niiitα是线性无关的12rα,解：设 ，则120rkkα 1212 110rrnnnrtttkkttt 121121120 0rrrrnnrtkkttttkttkt   注意这个方程组的前 r 个方程 121120rrrrtkktttt  只有零解，因为其系数行列式为范德蒙行列式： 12112()0rijijrrrrttttt这说明：向量组 的秩是 ，所以， 是线性无2rα,, ()R12rα,, 12rα,,关的45．已知 ，问：（1） 为何值时，123(,3)(,1)(2,)cααc线性无关？（2） 为何值时， 线性相关？13, c解：设 1230kkα1230kc此方程组的系数矩阵的行列式为 12321332 2, ,0716075Arrccrα（1）当 时，行列式 ，按照线性齐次方程组的 Cramer 法则，方程组有唯一的5cA零解： ，说明 线性无关。

1230k123,α（2）当 时，行列式 ，按照线性齐次方程组的 Cramer 法则，方程组有非零解c说明 线性相关123,α6．求下列向量组的极大无关组：（1） ；234(,4,)(1,04),(1,96,2)(7,10,3) ααα解：注意：矩阵的秩等于其列向量组的秩找出极大无关组也就是要寻求这个向量组的秩利用初等变换法52113 345634617290044()2961732rr       12α,,5234218019017 155808 8445230082rr      故极大线性无关组为： 或412α,341,α（2） ；1 45(,)(0)(0,7)(1,20),(,16)α α解：2134345 313(,)25406024r   12,2341104r   故极大无关组为： 或 或 或412α,512,α341,α351,（3） ；1 3(,3)()(89)(,7)解：213434104()89718r   12α,,3245070r   故极大无关组为： 或 或12α,31,41α,6（4） 。

12345(,3),(1,),(1,5),(,26),(3,17)ααα解：2134345 402(,)15676r   12, 0130  故极大无关组为： 或 或 或12α,31,41α,51,7．设 是一组 维向量，已知单位向量 可以被它线性表出，12n, 12,ne证明： 线性无关解法１：不妨设 11212 212nnnnkkeαα        所以，1212121212,, nnnnnkkeα   121212nnnkkK两边取行列式得： 1,,eα 由于 ，即 维向量组 的秩是 ｎ 1212,00nneα,  12,nα所以 线性无关α解法２：因为 可以被单位向量 线性表出，又由题设单位向量12,n 12,ne可以被 线性表出，故 与 等价等价的向12,ne α α 12,ne量组具有相同的秩即 1212(,)(,)nnRRe 所以 线性无关。

12,nα7解法 3. 因为单位向量 可以被 线性表示, 所以12,ne 12,nα()(,)RRα,e 又由于 是 维向量, 所以 12,n 12()n因此 , 故向量组 线性无关.12(,)nRα 12,nα8．已知 的秩为 ，证明： 中任意 个线性无关的都s (0)r12,sα r构成它的一个极大无关组解：设 是 中的 ｒ 个线性无关的向量. 12,rttα 12,sα则向量组 中任意 个向量必线性相关, 对()sR 12,sα 1r中的任意一个向量 , 考虑向量组12,s i12,()rttis 由于 线性无关,所以 可以由 线性表出因此12,rttα iα12,rttα构成 的一个极大无关组12rtt, 12,s9．已知等价的向量组有相等的秩，那么同维且有相等的秩的两个向量组是否等价？并说明理由解：同维且有相等的秩的两个向量组不一定等价例如：在 中 与 不能6R12e,56,互相线性表示，因此不等价10．设 12,,0niixxxV 且212,,1niiR 且问 关于向量的加法和数乘向量运算是不是线性空间？V(1,2)i解：任取 ， ，则 。

1,nxαV 121,nyβV 0,iixy由于 ， ，所以()0iiiiyiikx8121,,nxyxyαβVkk这说明 关于向量的加法和数乘向量运算是线性空12,,0niixxxVR 且间另一方面，如果， ，那么 ， ，而122,nxα 122,nyβV 1ixiy()iiiiy122,,nxyxyα这说明 关于向量的加法和数乘向量运算不是线性212,,niixVR 且空间11．设 ， 由次数等于 的所有()[],nnnPxPxn且 的 次 数 等 于 Vn实数域 上的多项式组成，证明：对多项式加法和数乘， 不能构成线性空间R证明：取 ，但是,()nnnxQV()()0nnnxx所以 V 不能构成线性空间12．试证由 所生成的线性空间就是 123(0,)(1,0)(,1)αα3R解：首先由于 ，所以，32,R3123{,2,}ikkR123001010(,) 2α即 线性无关的，故 中任意向123(,),R123(0,)(1,0)(,10)αα3R量可以由向量组 线性表示。

所以123 3123{,2,}ikkR913．设 记12,nmαR，1212(,){}mmiLkkWααR 求证：（1） 为向量空间（称为由 生成的向量） ；,（2） 的极大无关组是 的一组基12,mα证明：（1）任取 ， ，1212,mmkkllαβααW  aR由于 12llklβ makaaααα故 W 成为线性空间2）W 中的任何向量可被 线性表示，因此也可以被 的极大无12,m 12,mα关组线性表示根据基的定义， 的极大无关组是 的一组基α W复习题二 1．设 证明：2343,1,,65αα1231237074, .α证明：只需直接计算 1234777123651α123 03102．证明：包含零向量的向量组是线性相关的证明：设所考虑的向量组为 ，则存在不全为零的一组数 ，使12,,m0α 1,0,20mα这说明含零向量的向量组 是线性相关的12,,m3．证明：包含两个相同向量的向量组是线性相关的。

证明：设所考虑的向量组为 ，则存在不全为零的一组数 ，12,,βα 1,0,使 12()00mα这说明包含两个相同向量的向量组 是线性相关的β4．证明：线性无关的向量组的任何部分组也是线性无关的证明：设向量组 为线性无关向量组，而 为其一个部121,,,msαα  12,mα分组如果部分组 线性相关，则存在不全为零的一组 m 个数 ， 12,k使 12mkkαα0这样就能找到一组 个数 ，它们不全为零，使()ms1,, 12 1mmskk 这与 线性无关是矛盾的说明线性无关的向量组的任何部分组也12,,,msαα 是线性无关的5．证明：如果三个向量 线性相关，且 不能由 线性表出，则123, 3α12,仅差一个数值因子12,α证明：既然 线性相关，就存在不全为零的一组数 ，使123,α123,k123kαα0我们断定 ，因为否则30k1233k即 可由 线性表出，与题设矛盾所以3α12,1112kα0另外 中至少一个非零，比如说 ，那么 12,k212kα6．设 维向量组 是线性无关的，根据数值 之间的大小关系，讨论n12,rα ,rmn向量组 的线性相关性。

12m讨论如下：由于任何 个 n 维向量必线性相关，所以 ；rn如果 ， 必线性相关;,12mα由于线性无关向量组的任何部分组也必线性无关, 故若 ， 必线性无关;mr,12mα如果 ， 可能线性相关，也可能线性无关rn,12m7．求出由向量 生成的线性空间的维数1234397,,,5αα解：注意向量组的秩就是它们所生成的线性空间的维数1234141439703202(,)5Aα ()RA所以线性空间 的维数是 2123{,1,}iWkkαR。