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集合与图论习题第一章 习 题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图4．某次宴会上，许多人互相握手证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解6．设u与v是图G的两个不同顶点若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-18．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边12．设G是图证明：若 δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路； (b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路14．证明：若图G不是连通图，则Gc 是连通图。

15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(GC)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(GC)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥318.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数精选文档20．试证：图四中的图不是哈密顿图21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图u和v是G的两个不邻接的顶点，并且degu+degv≥p证明：G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图24．设G是一个有p个顶点的图证明：若p>2δ(G)，则有长至少为2δ(G)的路 25．证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图26．证明：若p为奇数，则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边的哈密顿回路28．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局。

若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少的路程这个问题是我国数学家管梅谷于1962年首先提出的，国外称之为中国邮路问题1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系第三章 习 题 1．分别画出具有4、5、6个顶点的所有树(同构的只算一个)2．证明：每个非平凡树是偶图3．设G是一棵树且Δ(G)≥k，证明：G中至少有k个度为1的顶点4．令G是一个有p个顶点，k个支的森林，证明：G有p-k条边5．设T是一个k+1个顶点的树证明：若图G的最小度δ(G)≥k，则G有一个同构于T的子图6．一棵树T有n2个度为2的顶点，n3个度为3的顶点，…，nk个度为k的顶点，则T有多少个度为1的顶点？7.设G是一个连通图试证：G的子图G1是G的某个生成树的子图，当且仅当G1没有回路8．证明：连通图的任一条边必是它的某个生成树的一条边9．设G是一个边带权连通图，G的每条边均在G的某个回路上试证：若G的边e的权大于G的任一其他边的权，则e不在G的任一最小生成树中10. 设G=(V，E，w)是一个边带权连通图，对任意x∈E，w(x)≥0。

试证：G的一个生成树T是G的最小生成树，当且仅当时G的任一与T的距离为1的生成树T′′满足条件：在T中而不在T′′中的边e的权w(e)不大于在T′′中而不在T中的边e′的权w(e′)精选文档11.某镇有1000人，每天他们中的每个人把昨天听到的消息告诉他认识的人已知任何消息，只要镇上有人知道，都会经这种方式逐渐地为全镇上所有人知道试证：可选出90个居民代表使得只要同时向他们传达某一消息，经10天就会为全镇居民知道12.P个顶点的图中，最多有多少个割点？13．证明：恰有两个顶点不是割点的连通图是一条路14．证明：有一座桥的三次图中至少有10个顶点15．设v是图G的一个割点，证明v不是G的补图Gc的割点16．设v是图G的一个顶点证明：v是G的割点当且仅当有邻接v的两个不同的顶点u和w，使得v在u与w间的每一条路上17.割点的连通图是否一定不是欧拉图？是否一定不是哈密顿图？有桥的连通图是否一定不欧拉图和哈密顿图18.L是连通图G的一个回路，x和y是L上的两条边证明：G有个割集S使得x与y恰好是L与S的公共边第四章 习 题1．设G是一个有p个顶点的图，δ(G)≥((p+k)-1)/2，试证：G是k-连通的。

2．若(p，q)图G是k-边连通的，试证：q≥kp/23．设G是k-边连通的，k>0，E′是G的k条边的集合证明：G-E′的支数小于或等于24．构造一个(p，q)图G使得δ(G)=[p/2-1]，λ(G)<δ(G).5．设k>0构造一个k-连通图G，以及G的k个顶点之集V′，使得G-V′的支数大于26．G是一个三次正则图，试证：χ(G)=λ(G)7．设r≥2，G是r正则图证明：λ(G)≥[r/2]8．构造一个图G，使得χ(G)=3，λ(G)=4，δ(G)=59．证明：图G是2-边连通的当且仅当任两个不同顶点间至少有两条边不重路10．设G=(V，E)是2-边连通图，X和Y是V的子集，|X|≥2，|Y|≥2且X∩Y=Φ在G中加入两个新的顶点s和t，s与X的每个顶点之间联成一条边，t与Y的每个顶点间加一条边，这样得到的图记为G′试证：G′是2-连通的11. 若G是顶点数p≥11的平面图，试证Gc不是平面图12 设S＝{x1，x2，x3，…，xn}是平面上n个顶点的集合，n≥3，其中任两顶点的距离至少是1证明：S中至多有3n-6对顶点，其距离为1精选文档13．证明：不存在7条棱的凸多面体14. 图G的最短回路的长度称为G的围长；若G中无回路，则定义G的围长为无穷大。

ⅰ)证明：围长为r的平面连通图G中有q≤r(p-2)/(r-2)，r≥3(ⅱ)利用(ⅰ )证明Petersen图(见图15.设G是一个没有三角形的平面图应用欧拉公式证明G中有一个顶点v使得degv ≤316．设G是一个平面图证明：G**同构于G当且仅当G是连通的17．证明：若G是自对偶的，则q=2p-2.18.设G是一个没有三角形的图应用教学归纲法证明G是4－可着色的(事实上，可以证明G是3－可着色的)19.设G是一个有p个顶点的d-正则图，证明：k(G)≥p/(p-d)20.试用5-色定理的证明方法来证明4色定理，在哪一点证明会失败呢？21.设G是一个(p，q)图，证明：k(G)≥p2/(p2-2p)22.证明：若G的任两个奇数长的回路都有一个公共顶点，则k(G)≤523.证明：每个哈密顿平面图都是4-可着色的24.设G是一个立方体哈密顿图，证明：k′(G)=325.若r是奇数且G是r-正则图，证明：k′(G)=r+126.若G是彼德森图，证明：k′(G)=4第五章 习 题1.给出有向图的子图、生成子图、导出子图的定义2.画出具有三个顶点的所有互不同构的有向图的图解3.具有p个顶点的完全有向图中有多少条弧？4.设D是一个有p个顶点q条弧的有向图。

若D是连通的，证明p-1≤q≤p(p-1)5.设D是一个有p个顶点q条弧的强连通的有向图，则q至少是多大？6.在有向图中，含有所有顶点和所有弧的有向闭迹称为有向欧拉闭迹一个有向图若含有有向欧闰闭迹，则称此有向图为有向欧拉图证明：有向图D=(V，A)是有向欧拉图当且仅当D是连通的且对任意的v∈V，总有id(v)=od(v)7.证明：有向图D是单向连通的当且仅当D有一条生成通道8.设A是一个n×n布尔矩阵，试证：精选文档(I∨A)(2)=(I∨A)(I∨A)=I∨A∨A(2)其中I是n×n单位矩阵其次，证明：对任意的正整数r，有(I∨A)(r)=I∨A ∨A(2)∨…∨A(r)9.设B是有向图D=(V，A)的邻接矩阵，|V|=p试证D的可达矩阵R为R=(I∨B)(p)10.有向图D的图解如图一所示(1)写出D的邻接矩阵及可达矩阵2)写出D关联矩阵11.设D为图二中的有向图，试求v2到其余每个顶点的长≤4的所有通道的条数12.已知有向图D的邻接矩阵B，如何从B求D的可达矩阵R？ 13.设T是一个正则m元有序树，它有n0个叶子，T有多有多少条弧？14．令T是一个正则m元树，它有i个内顶点(出度为m)。

若E为所有内顶点深度之和，i为所有叶顶点深度之和， 证明：I=(m-1)I+mi15.设T是一个有n0个叶子的二元树，出度为2的顶点为n2，试证：n0=n2+116.具有三个顶点的有序树共有多少个？具有三个顶点的有根树有多个？注意，同构的只算一个17.一个有序树称为一个2-3树，若每个内顶点有2个或3个儿子，并且从根顶点到每个叶子的路长均相等试证：若T是一个高为h的2-3树，则(1)T的顶点数p满足2h+1-1≤ p≤3h+1-12)T的叶子数在2h与3h之间18．T是一个正则二元树，它有i个内顶点(出度为2)若E为所有内顶点深度之和，I为所叶顶点的深度之和，证明：I=E+2i （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 精选文档。