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第第7章章气体动理论气体动理论(3)1§7.5 §7.5 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律1 1、速率分布的概念、速率分布的概念、速率分布的概念、速率分布的概念 前面得到的气体分子的方均根速率前面得到的气体分子的方均根速率 是一个统计速率对单个分子其速率完全是偶然的，取是一个统计速率对单个分子其速率完全是偶然的，取值可以在值可以在0 0 之间的任一个之间的任一个 平衡态下，气体分子分布在各个速率区间的分子数占总平衡态下，气体分子分布在各个速率区间的分子数占总分子数的百分率分子数的百分率 , ,大部分分子分布在哪个速率区间大部分分子分布在哪个速率区间20 ℃ 0 ℃ 时时 ，，O2 分子速率分布的统计数据分子速率分布的统计数据统计数据表明统计数据表明: : 速率很大和速率很小的分子数占总分子数的比率速率很大和速率很小的分子数占总分子数的比率 均很小，大多数分子以中等速率运动均很小，大多数分子以中等速率运动 速率区间速率区间(m/s)速率区间速率区间(m/s)以下以下以上以上32 2、、、、麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律设总分子数为设总分子数为 N N —— 表示速率在表示速率在 v ~ v +  v 区间内的分子数。

区间内的分子数 N 与与 v 、、  v 有关有关 —— 表示速率处在表示速率处在 v ~ v +  v 区间内的分子数占总区间内的分子数占总 分子数的百分率分子数的百分率1）速率分布函数）速率分布函数也与也与 v 、、  v 有关4—— 分子速率在分子速率在 v 附近单位速率区间内的分子数占总附近单位速率区间内的分子数占总 分子数的比率分子数的比率是是v 的连续函数的连续函数当当 时，时，用用 表示 函数函数 称为称为速率分布函数速率分布函数, 其其物理意义物理意义是是: : 分子速率在分子速率在 v 附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分律附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分律对单个分对单个分子而言就是子而言就是任一分子速率处在任一分子速率处在 v 附近单位速率区间的概率附近单位速率区间的概率(几几率率)f(v)v5（（2）麦克斯韦速率分布函数）麦克斯韦速率分布函数是分子的质量是分子的质量玻耳兹曼常数玻耳兹曼常数（（3 3）速率分布曲线）速率分布曲线 以以 v 为横坐标，为横坐标， 为纵坐标，画出的为纵坐标，画出的曲线称为曲线称为速率分布曲线速率分布曲线。

6f(v)vv2v1分布曲线的物理意义：分布曲线的物理意义：① ① 小矩形的面积小矩形的面积表示速率处在表示速率处在 v ~ v + dv 区间内的分子数占总分子区间内的分子数占总分子数的百分率数的百分率②曲边梯形的面积曲边梯形的面积 表示速率处在表示速率处在 v1 ~ ~ v2 区间内的分子数占总分子数区间内的分子数占总分子数的百分率的百分率③③曲线下的总面积曲线下的总面积归一化条件归一化条件73 3、、三种统计速率三种统计速率三种统计速率三种统计速率1.最可几速率最可几速率 ( (最概然速最概然速率率) )vpf(v)vvpvp把整个速率区间分成许多相等的小区间把整个速率区间分成许多相等的小区间, , 则速率大小与则速率大小与 相相近的气体分子数占总分子数的比率为最大近的气体分子数占总分子数的比率为最大可由求极值条件可由求极值条件 求得求得 分布曲线极大值对应分布曲线极大值对应的速率叫最可几速率的速率叫最可几速率物理意义物理意义: :8讨论两种情况：讨论两种情况：（（1 1））m0 一定一定, , 曲线高峰右移曲线高峰右移, , 同时高度下降。

同时高度下降2 2））T T 一定一定，，f(v)vvp1vp2f(v)v91. 平均速率平均速率大量分子速率的算术平均值叫平均速率　大量分子速率的算术平均值叫平均速率　若用若用dN表示速率在表示速率在v－－v+dv 区间内的分子数区间内的分子数，，v 连续连续分布时，上式过渡到积分分布时，上式过渡到积分102. 方均根速率方均根速率速率平方的平均值速率平方的平均值方均根速率方均根速率11f(v)v三种速率中，三种速率中，　　　　最大，最大，　　次之，　最小次之，　最小12附录附录: 三种统计速率的计三种统计速率的计算算速率分布函数中令速率分布函数中令则13速率平方的平均值速率平方的平均值14讨论思考题：讨论思考题：试说明下列各式的物理意义试说明下列各式的物理意义①②③④⑤速率在速率在 的所有分子的所有分子速率总和被总分子数除速率总和被总分子数除速率在速率在 区间内的分区间内的分子数子数速率在速率在 区间内的分区间内的分子数占总分子数的比率子数占总分子数的比率并非并非 之间的分子之间的分子的平均速率的平均速率15⑦⑧⑥速率在速率在 的所有分子的所有分子速率总和速率总和分子平动动能的平均值分子平动动能的平均值速率在速率在 内的分子的内的分子的平均速率平均速率16f(v)vT1T2例例1、、图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，试问（试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？对应的是氧气，哪条对应的是氢气？解：解：(1) T1 < T2(2) 绿：氧绿：氧 白白：氢：氢17例例2、、处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中自由电子自由电子( “电子气电子气”模型模型 )。

设导体中自由电子数为设导体中自由电子数为 N ,电子速率最大值为费米速率电子速率最大值为费米速率 ，且已知电子速率在，且已知电子速率在 v — v + d v 区间的概率为：区间的概率为：A 为常数为常数（（1））画出电子气的速率分布曲线画出电子气的速率分布曲线（（2）由）由 定出常数定出常数 A（（3）求）求18Ovf ( v )解：解：（（1））19（（2））由归一化条件确定常数由归一化条件确定常数A（（3））20例例3、、求速率在求速率在 v1 — v2 区间内的分子的平均速率区间内的分子的平均速率解：解：21§7.6 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 (了解了解)1、麦克斯韦速度分布律、麦克斯韦速度分布律分子动能分子动能上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即 上述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子的速度方向，上述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子的速度方向，更详细的描述应指出气体分子是如何按速度分布的，如以更详细的描述应指出气体分子是如何按速度分布的，如以 表表示分子的速度，示分子的速度， 分别表示速度沿分别表示速度沿x, ,y, ,z的分量，则理论的分量，则理论表明，平衡态下，在速度分量区间表明，平衡态下，在速度分量区间 内的分子数内的分子数d dN与总分子数与总分子数N的比率为的比率为22全全“速度空间速度空间”捕捉粒子的概率为捕捉粒子的概率为1 “速率区间速率区间 v ~ v +  v ” 对应对应“速度空间速度空间”中半中半径为径为 v 、厚度为、厚度为 d v 的的“球壳球壳”，所以粒子在，所以粒子在速率区间内速率区间内的概率为的概率为232、玻耳兹曼分布律、玻耳兹曼分布律 当系统当系统在保守力场中在保守力场中处于平衡态时，坐标介于处于平衡态时，坐标介于 内，同时速度介于内，同时速度介于 的分子数为的分子数为①①式改写一下式改写一下式中式中n0为势能为势能 时单位体积内具有的各种速度的分子总时单位体积内具有的各种速度的分子总数，上式称为数，上式称为玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律(又称玻耳兹曼分子按能量分布又称玻耳兹曼分子按能量分布律律)。

①24②②式对所有速度积分得体积元式对所有速度积分得体积元 内的总分子数内的总分子数 式中的中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件式中的中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件②③令令 ，，③③式写成式写成25称为分子数密度按势能分布的规律称为分子数密度按势能分布的规律重力场中分子数密度按高度分布的规律重力场中分子数密度按高度分布的规律n0 为为 z = 0 处处的分子数密度的分子数密度由理想气体状态方程得：由理想气体状态方程得：理想气体状态方程的另一形式理想气体状态方程的另一形式26等温气压公式等温气压公式高度计原理高度计原理27作作 业业8 ，， 13 ，， 15, 21气体动理论气体动理论28。