大学物理15-3-4波的能量.ppt

把x=1.5m代入上式，得1.5m处的振动方程为,例 15- 3 波源的振动曲线如图所示已知波速u=4cms-1,方向向右，求 t=3s时的波形曲线解：,由图可知,A=0.5cm , T=4s ,,设波源的振动方程为,t=0时，y=0.5cm,即,∴ 波函数为,,,波函数,t=0s时的波形图,t=3s时的波形图,当t=3s时，,波向前传播的距离为 △x=ut=12cm,∴将图像向前平移△x=12cm的距离得，t=3s时的波形图将t=0s代入上式，通过描点画图得t=0时的波形图或将t=3s代入上式，通过描点画图得t=3时的波形图结束,§15-3 波的能量,振动的传播过程是振动状态的传播，是能量的传播是介质分子之间通过相互作用做功来实现的一、波的能量,设: 一平面简谐纵波,在棒中沿棒长方向以u的速度传播在棒中x处取体积元 △V=S△x,其质量为△m =ρ△VS,设: 棒中平面简谐波的波动方程为,则体积元在任意时刻的振动速度为,相应的动能为,△m 所具有的能量为动能和势能之和当波动传到x处时，体积元在相互作用下向前移动,a端的位移为y,若没有形变b端的位移也应为y,但由于形变b端的位移为y+△y,S,因为体积元在该时刻的伸长量为△y，所以对应的应变为△y/△x，,由（1）式对x求偏导数得,根据杨氏模量的定义,根据胡克定律,,比较得,,则体积元的弹性势能为,又因为固体中纵波的传播速度为,则体积元的机械能为,,波在传播过程中，任意时刻体积元的动能和势能不仅大小相等，而且相位也相同。

动能和势能同时达到最大和最小体积元的能量不守恒，随时间和位置作周期性的变化表明：体积元在振动过程中不断的吸收能量和传递能量，起到输送能量的作用，使能量随着波的波动而传递借助于波形图可很好的理解体积元的能量在B点处，V=0, △Wk =0,B,B点处的斜率，△y／△x =0在B'点处，V最大, △Wk 最大B'点处的斜率，△y／△x 最大， △Wp 也最大所以体积元的动能和势能同时达到最大和最小在零和最大之间周期性的变化B',二、波的能量密度w,1、波的能量密度：介质中单位体积内的能量能量极大,能量极小,,可见,△Wp = 0,.,在介质内垂直于波的传播方向取一截面△S,单位时间内通过截面△S的平均能量为,2、波的强度（平均能流密度)I：,单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的平均能量，称为平均能流密度，或称为波的强度可见,I的单位：W m-2,能量密度的平均值：,u △S例 15- 4 一列余弦空气波，沿直径为0.14m的圆柱形玻璃管传播，波的强度为1.8×10-2Wm-2,频率为300Hz，波速为300ms-1,求 （1）波的平均能量密度和最大能量密度；（2）介质中相邻同相面间含有的能量。

解：（1）,根据波的强度,（2）,因为两个相邻的相面间的距离为λ= uT= u /ν，,§15-4 波的干涉,15.4.1 波的叠加原理,（1）两列水波在水中的传播；,例：,（2）乐队的演奏,（3）几个人同时讲话,1、波的叠加原理 ：,几列波同时在介质中传播时，在相遇处每列波仍然保持各自原有的特性（频率、波长、振动方向等），按照自己的传播方向继续前进，好像在各自的传播过程中没有遇到其他波一样相遇处质点的振动，是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成这种波的独立性称为波的独立性原理，或波的叠加原理15.4.2 波的干涉,,,两个频率相同、振动方向相同、相位差恒定的振动波源发出的波, 在空间相遇时，某些点始终加强，某些点始终减弱，形成波的强度在空间稳定分布，该现象称为波的干涉例：S1、S2是两个振动频率、振动方向都相同的振动波源若Δφ=0,若Δφ=π,能产生干涉现象的波称为相干波波源称为相干波源设: 两个相干波源S1 和S2，其振动方程为,两列波的波程差为δ=r2- r1,两列波在p点引起的振动分别为,根据波的叠加原理， p点的振动方程为,式中,P248(14-27),A的大小有A1 和 A2 及相位差 确定。

相位差,对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而波的强度在空间形成稳定的强弱分布，产生干涉现象相干条件：,若两波源的振幅相近或相等时，干涉现象明显b、振动方向相同；,c、相位差恒定a、两波的振动频率相同；,记,讨论：,（1）干涉加强的条件：,（2）干涉相消的条件：,若 A1=A2 , 则 A max=2A1 , I max=4I1 若 A1=A2 , 则 A min=0 , I min=0 3）波程差：,干涉加强,干涉相消,因为波程差,便于测量，,所以由上式得,干涉加强,干涉相消,记,结论：初相位相同的两列相干波，在空间相遇时，波程差等于波长整数倍的各点干涉加强，波程差等于半波长奇数倍的各点干涉相消干涉现象在日常生活中、在工农业生产中、在科学研究等方面都得到广泛的应用,例： 1、迈克尔孙干涉仪；2、水面的彩色油膜杨氏双缝干涉实验,例 ：光学中的杨氏双缝干涉实验装置如图,例 15-5 设S1和 S2为两个相距λ/4的相干波源， S1比 S2的初相位超前π/2如果两列波在S1和 S2连线上强度相同，不随距离变化，求S1和 S2连线方向上（1） S2右侧各点合成波的强度；（2） S1左侧各点合成波的强度。

解（1）,设 S2右侧P点距S2的距离为X,,S1和 S2产生的两列波在P点的相位差为,r1= λ/4 + x；,r2=x,δ=r2-r1= -λ/4,说明S2右侧各点干涉加强，合振幅A=2A1,强度I=4I1同理设 S1左侧Q点距S1的距离为X,,,同理设 S1左侧Q点距S1的距离为X,,两列波在Q点的相位差为,说明S2右侧各点干涉相消，合振幅A=0，合强度I=0r2= λ/4 + x；,r1=x,δ=r2-r1= λ/4,两列振幅相同的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时，,15.4.3 驻波,（1）、驻波:,t=0,,,t=T/2,合成波,合成波,,,合成波,t=T/4,,其合成波的振幅某些点有极大值，某些点几乎不动,振幅为零，称为驻波设有两列等幅相干波，分别沿X轴正、负方向传播，选初相位均为零，波函数的表达式为：,2.驻波的形成:,其合成驻波的表达式为：,利用三角函数和差与积的关系求出驻波的表达式：,简谐振动方程,简谐振动的振幅,波节,波腹,P277图15-14,它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率但各点振幅随位置的不同而不同驻波是干涉的特例驻波的特点不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的简谐振动。

3、驻波的特征:,（1）各质点都在作振幅不同的稳定的简谐振动波节所对应于的各点x的坐标,波节的位置为：,的各点即,波腹的位置为：,的各点即,波腹各点x的坐标,实际应用中，因为相邻波节或波腹间的距离为λ/2，波节和波腹间的距离为λ/4，所以可通过测量波腹和波节间的距离，即可求得波长波腹的最大值为2A相邻波节间 相位相同,,所以波节两侧各点相位相反波节处,两波节间各点相位相同，该段作为一个整体同步振动2)相邻两个波节之间各点的相位相同，波节两侧各点相位相反振动过程中，每一时刻都具有一个完整的波形，但波形即不右移也不左移，所以称为驻波3）、驻波的动能和弹性势能不断的转换各点振幅最大时,动能为零，弹性势能最大.,,,各点回到平衡位置时,弹性势能为零，动能最大,,当各质点到达振幅最大位移时，各点速度为零，动能为零这时介质形变最大振动的全部能量为弹性势能主要集中在波节处波节处形变最大当各质点回到平衡位置时，介质形变为零，弹性势能为零振动的全部能量为动能主要集中在波腹处波腹处速度最大波节处速度为零1）绳上波在固定端反射,,叠加后的波形,4、半波损失,P277图15-14,例：,ρ1u1,ρ2u2,说明在反射端，入射波垂直到达两种介质分界面时(ρ1u1 <ρ2u2)，反射波和入射波相位相反，其反射波的相位发生π的突变，相当于波多走或少走了半个波长，这种现象称为半波损失。

2）绳上波在自由端反射,在自由端入射波和反射波相位相同，无半波损失结论：当波从波疏介质垂直入射到波密介质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节反之，当波从波密介质垂直入射到波疏介质界面上反射时，无半波损失，界面处为波腹叠加后的波形,,解：（1）,根据题意 x=0处反射的反射波方程是,得x=0处反射波的振动方程为,因为反射波无能量损失，所以入射波振幅为 A ,考虑到入射波与反射波存有半波损失，入射波在x=0处的相位与反射波的相位相差π，所以入射波在x=0处振动方程为,因为反射波沿X正向传播，所以入射波应沿X负向传播，入射波的波函数为,反射波,（2）,根据波的叠加原理得驻波方程,推导过程,三角函数和差与积的关系,§15-5 波的衍射,1、惠更斯原理：,波在传播过程中，波阵面上各点，都可以看作是发射子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络面 就是新的波阵面波在传播过程中，遇到障碍物或进入另一种媒质时，如何传播呢？,可解释波的反射、折射、衍射等现象，但无法解释干涉现象例 1、水波 ； 2、光波 ； 3、声波子波源,15.5.1 惠更斯-菲涅尔原理：,菲涅耳通过分析产生干涉的条件，认为这些子波是相干波，将产生干涉现象，使惠更斯原理更加完善。

波阵面上的各点，不仅看作是发射子波的新波源，而且这些子波源是相干波源，所发出的子波是相干波，相干波的干涉决定波的强度分布，称为惠更斯---菲涅耳原理下面利用惠更斯---菲涅耳原理研究波的衍射、反射、折射，干涉等现象2、惠更斯---菲涅耳原理：,15.5.2 波的衍射,,平面波波面各点作为子波的波源,子波的包络面作为新的波面,新的波面,新的波阵面发生了弯曲，不再是平面波绕过了障碍物向前传播，这种现象称为波的衍射光线从窗帘小孔射出，周围其它方向都可观察到，是衍射的结果例：,15.5.3 波的反射和折射,1、波的反射,,,,,,,,i,i',r,,入射波线,反射波线,折射波线,入射线、反射线、折射线和分界面的法线在同一平面内，入射角等于反射角称为波的反射定律,即,i = i',反射角,入射角,折射角,介质分界面,n1,n2,实验表明：,图15-17 利用 惠更斯---菲涅耳原理可给出很好的解释2、波的折射,,,r,如图,即,式中,因为介质的折射率,所以,D,A,AB波面上各点相位相同,,结论：当波有一种介质进入另一种介质时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等于波速之比，等于两种介质的相对折射率。

且入射线、折射线和法线均在同一平面内，称为波的折射定律当r>=900 时，全反射例：光电纤维,讨论：,当n2 > n1 时，,i >r ,折射线偏向法线方向，近折射当n2 < n1 时，,i < r ,折射线偏离法线方向，远折射作业： 15-1 15-3 15-6 15-7 15-8 15-10,相对这两种介质来说,第15章 小结,1、振动方程、波函数,一、重点内容,2、波的特征量,3、波的干涉,干涉加强的条件：,干涉相消的条件：,干涉条件：频率相同；振动方向相同；相位差恒定4、驻波：,两列振幅相同的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时，形成驻波波腹的位置为：,波节的位置为：,5、惠更斯---菲涅耳原理,二、重点计算,波的干涉,结束,1、波的反射定律,2、波的折射定律,i = i',。