02 第二节 矩阵的特征值与特值向量.doc

第二节 矩阵的特征值与特征向量分布图示★ 特征值与特征向量的概念★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3★ 例 4 ★ 例 5★ 特征值与特征向量的性质 ( 1 ) ★ 例 6★ 特征值与特征向量的性质 ( 2 )★ 例 7 ★ 例 8★ 定理 ★ 例 9 ★ 例 10 ★ 例 11★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题 4-2内容要点一、特征值与特征向量定义 1 设 是 阶方阵, 如果数 和 维非零向量 使AnnXAX成立, 则称数 为方阵 的特征值, 非零向量 称为 的对应于特征值 的特征向量（或A称为 的属于特征值 的特征向量）.注：1. 阶方阵 的特征值 ，就是使齐次线性方程组n0)(E有非零解的值, 即满足方程 ||A的 都是矩阵 的特征值.A称关于 的一元 次方程 为矩阵 的特征方程，称 的一元 次多项式n0||En||)(f为矩阵 的特征多项式.根据上述定义，即可给出特征向量的求法：设 为方阵 的一个特征值，则由齐次线性方程组iA0)(XAEi可求得非零解 ，那么 就是 的对应于特征值 的特征向量，且 的对应于特征值ipi i A的特征向量全体是方程组 的全体非零解。

即设 为i 0)(i sp,21的基础解系，则 的对应于特征值 的特征向量全体是0)(XAEi Ai不同时 .spkpk21 sk,(1)0二、特征值与特征向量的性质性质 1 阶矩阵 与它的转置矩阵 有相同的特征值.nATA性质 2 设 是 阶矩阵，则)(ijannnnnaaAEf   2122112||)(|)1()(1 ASakin 其中 是 的全体 阶主子式的和. 设 是 的 个特征值，则由 次代数方程kSAkn,21 n的根与系数的关系知，有(1) ;212 nnaa (2) .|A其中 的全体特征值的和 称为矩阵 的迹, 记为 .Anaa21 A)(Atr性质 3 设 是 阶矩阵,如果)(ijn(1) ),21(|1ianjij或(2) ),21(|1njanij有一个成立, 则矩阵 的所有特征值 的模小于 1, 即Ai),21(|nii定理 1 阶矩阵 的互不相等的特征值 对应的特征向量 线性无n m,1 mp,,2关.注：1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的;2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一; 一个特征向量不能属于不同的特征值 .例题选讲例 1 (E01) 求矩阵 的特征值和特征向量.153A解 矩阵 的特征方程为A0153|| E ,0)2(4所以 是矩阵 的两个不同的特征值.2,41以 代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得基础解系是0521x,1故 是矩阵 对应于 的全部特征向量.)0(1kA41以 代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得2，基础解系是0521x,51，故 是矩阵 对应于 的全部特征向量.)0(122k，A21，例 2 (E02) 设 求 A 的特征值与特征向量.,31402A解 2)(1314E特征值 .2,21当 时，解方程10)(xEA由 基础解系4130EA01,10p故对应于 的全体特征向量为1).(1kp当 时，解方程22 .)2(xEA由 1402AE014得基础解系 ,4,022p故对应于 的全部特征向量为：2( 不同时为 0).3pk32,例 3 (E03) 求 n 阶数量矩阵 的特征值与特征向量.aaA  0解 ,0)(0|| naaAE  故 的特征值为 .21n把 代入 得 这个方程组的系数矩a)(xAE .0,0,21  nxx阵是零矩阵，所以任意 个线性无关的向量都是它的基础解系，取单位向量组1,0,1 nn作为基础解系，于是， 的全部特征向量为A( 不全为零).ncc21 nc,21例 4 试求上三角矩阵 A 的特征值: .02211nnaa  解 ,0|| 22111nmaaAE  这是一个上三角行列式，因此，).()(|| 21na因此 的特征值等于A.,,21n例 5 令 则 不难看出 1 是 的一个,12,0B.123,23ABAA特征值，－1 是 的一个特征值，但 1+(-1)不是 的特征值，因为 的特征值是B又 的特征值是 因此 也不是 的特.62，A.7，)(征值.例 6 (E04) 试证: n 阶矩阵 A 是奇异矩阵的充分必要条件是 A 有一个特征值为零.证 必要性 若 是奇异矩阵，则 于是.0||)1(||0| En即 0 是 的一个特征值.A充分性 设 有一个特征值为 0，对应的特征向量为 由特征值的定义，有,p)(pAp所以齐次线性方程组 有非零解x.由此可知 即 为奇异矩阵.,0|注: 此例也可以叙述为：n 阶矩阵 A 可逆 它的任一特征值不为零.例 7 (E05) 设 是方阵 A 的特征值 , 证明(1) 是 的特征值; (2) 当 A 可逆时, 是 的特征值.2 1证 因 是 的特征值，故有 使 有 因 知 故0p,p,1pA,0,即 是 的特征值.证毕.,1pA1注：易进一步证明：若 是 的特征值, 则 是 的特征值， 是 的特征值，Ak)(其中 特别地, 设特征多项式 则 是)( 110nnaxxax |,|AEf)(f的特征值, 且)(Af .0|)1()(121 EAAaaAnnn 例 8 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 , 求 .|23|*解 因 的特征值全不为 0，知 可逆，故 而 所以|1,2|31.231EAE把上式记作 有 故 )(的特征值为),(A,.3,1)1( 于是 .9)(|23| EA例 9 求 3 阶矩阵 的特征值以及相应的线性无关的特征向量组.13解 的特征多项式为A).1(2485113|| 23  E这个多项式的根为 ,2,32因此 的特征值等于 1，2，2.接下来求特征向量：A对 将 代入 得,1,0)(xAE(1).012)( 321x容易算出这个方程组得系数矩阵等于 2，因此齐次线性方程组(1)的基础解系只有一个线性无关的向量，不难求出为.),(1T对 将 代入可得齐次方程组：,232 .0132x求出这个齐次线性方程组的基础解系为(2).),(,)0(32 TT因此 的相应于特征值 1 的线性无关的特征向量有 1 个，而相应于特征值 2 的线性无关的A特征向量有 2 个，于是 的线性无关的特征向量有 3 个，正好等于 的阶数 3.AA例 10 设 和 是矩阵 A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量依次为 和 , 证明12 1p2不是 A 的特征向量.21p证 按题设，有 故,,21pp.)(2121A用反证法，设 是 的特征向量，则应存在数 使21),()(2121A于是 即,)(2121pp .0p因 由本节定理知 线性无关，故由上式得,,021即 与题设矛盾.,21因此 不是 的特征向量.pA例 11 (E06) 正交矩阵的实特征值的绝对值为 1.证 设 为正交矩阵， 是方阵 的对应于特征值 的特征向量，则 pApA因 (1)2|)( pApTTT(2)2|)(又 所以 式(1)-式(2)得 即,0,0|,1.|注: 的特征值 是特征方程 的根，也是 的根. 的对应特征值A0||AE0||EAA的特征向量是齐次方程组 的非零解，也是 的非零解.)(X)(X课堂练习1. 求矩阵 的特征值和特征向量.31A2. 求矩阵 的特征值与特征向量.163054。