含绝对值不等式的解法含答案.pdf

含绝对值的不等式的解法含绝对值的不等式的解法一、一、 基本解法与思想基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法一）公式法：（一）公式法：即利用主要知识：主要知识：距离.2、x  a与x  a的解集求解x是指数轴上点x到原点的距离；1、绝对值的几何意义：x1 x2是指数轴上x1，x2两点间的x  a与x  a型的不等式的解法x 的解集是x x  a,或x  a不等式当a 0时，不等式x  a的解集是xa  x  a;当a 0时，不等式x  a的解集是x xR不等式x  a的解集是;3．ax b c与ax b c型的不等式的解法x  a与x  a型的不等式来求解ax b c的解集是xax  b  c,或ax  b  c把ax b看作一个整体时，可化为当c  0时，不等式不等式ax b c的解集是xc  ax bc;当c  0时，不等式ax b c的解集是x xR不等式a bx c的解集是;[ [例例 1]1] 解不等式解不等式x  2 3分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“x  2”看着一个整体。

答案为 [ [例例 2]2]不等式不等式|x|x2 2－－3x|3x|＞＞4 4 的解集是的解集是________________．．分析可转化为(1)x2－3x＞4 或(2)x2－3x＜－4 两个一元二次不等式．x 1 x 5由(1)可解得x＜－1或x＞4，(2)．答填{x|x＜－1 或 x＞4}．［例［例 3 3］解不等式］解不等式 2 2＜｜＜｜2 2x x－－5 5｜≤｜≤7 7．．|2x 5| 2解法解法 1 1：原不等式等价于|2x 5| 7732x 5|2或2x 5 2x 或x ∴即227  2x 5| 71 x  637或＜x≤6｝22解法解法 2 2：：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．(Ⅰ)2＜2x－5≤7(Ⅱ)2＜5－2x≤773不等式(Ⅰ)的解集为｛x｜＜x≤6｝，不等式(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜｝2237∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝．22∴原不等式的解集为｛x｜－1≤x＜[ [例例 4]4]解关于解关于x的不等式的不等式x2 3x 8 10x2 3x 810，解：原不等式等价于10 x2 3x 8 10x  1或x  2即2 6 x 3x  3x 810∴ 原不等式的解集为(6,2)(1,3)练习：4x3  2x1； （2）4 | 2x 3| 7；（3）3 52x 9；（4）1| x1|3（1）（5）x210 3x（6）x 1  4  2。

117或x  2（2）x  2 x  或 x 5322（3）2,1 4,7（4）(4,2)(0,2)（5）x|2  x  5（6）x 5 x  1或3 x 7解答：（1）x x a(a  0),（二）定义法（二）定义法: :即利用a 0(a  0),去掉绝对值再解a(a  0).[ [例例] ]解不等式解不等式xx. .x2x2分析:由绝对值的意义知，a  aa≥0，a  aa≤0x＜0x(x+2)＜0-2＜x＜0x2练习练习: : （1）|x＋2|＞x＋2的解集是；｛x｜x＜－2｝解:原不等式等价于（2）不等式xx的解集是x x  2或x 02  x2  x（三）平方法（三）平方法: :解f (x)  g(x)型不等式[ [例例] ]、解不等式、解不等式x1  2x3. .解:原不等式(x1)  (2x3)(2x3) (x1)  02222(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<0练习：练习：解关于x的不等式4 x  2。

3(1)2x 1  5 x；(2)2x 1  x  2； （3）| x 2|| x 1|答案：（1）；（2）(（四）分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解四）分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解[ [例例 1]1] 解不等式解不等式x1  x2 5. .11,3)；（3）x x 23x 1 0，x  2 0，得x 1和x  2 2和1把实数集合分成三个区间，即x  2， 2 x 1，x 1，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论分析:由解:当 x＜-2 时，得x  2，(x1)(x2)5解得：3 x  2当-2≤x≤1 时，得当x 1时，得2  x 1,，解得： 2 x 1(x1)(x2) 5x 1,解得：1 x  2(x1)(x2) 5.综上，原不等式的解集为x 3 x  2[ [例例 2]2] 解关于解关于x的不等式的不等式2x 1  x  x 3 1. .x  3解：当x  3时，得，无解 (2x 1)  x  (x  3) 111313 x  x 当3 x ，得，解得：2242 (2x 1)  x  x  31111x x 当x 时，得，解得：2222x 1 x  x  3131综上所述，原不等式的解集为(，)42练习练习：1.解不等式：x1  2 x  2（答案：x x 2.解不等式：15a或x ）22x 1  x  2 5（答案：(,3][2,)）1x2| 4（答案：x x  或x 123. 解不等式：|2x1| |（五）几何法：即转化为几何知识求解。

五）几何法：即转化为几何知识求解[ [例例] ] 对任何实数对任何实数x，若不等式，若不等式x1  x2  k恒成立，则实数恒成立，则实数 k k 的取值范围为的取值范围为 ( ((A)k<3(B)k<-3(C)k≤3(D)k≤-3) )分析:设y  x1  x2，则原式对任意实数 x 恒成立的充要条件是k  ymin，于是题转化为求y的最小值x-102解:x1、x2的几何意义分别为数轴上点x 到-1 和 2 的距离x1-x2的几何意义为数轴上点x 到-1 与 2 的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B）练习练习: :1对任意实数x，| x1| | x2| a恒成立，则a的取值范围是；2对任意实数x，| x1| | x3| a恒成立，则a的取值范围是；3若关于x的不等式| x4|| x3| a的解集不是空集，则a的取值范围是；⑴a 3； ⑵a  4； ⑶a 7；。