太原理工大学2011-2012高等数学A(上)期中试卷及解答.pdf

太原理工大学考试试题纸课程名称高等数学（上）（期中）专业班级： 2011级各专业题号一二三四五六七八九十总分题分备注 : 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、选择题（每小题3 分，共 15 分）1、设f可导，且01()2fx，当0 x时，( )f x在0 x处的微分是（）（A）与x等价无穷小；（B）比x低阶无穷小；（C）比x高阶无穷小；（D）与x同阶无穷小21x是2221( )11xxf xxx的（）（A）跳跃间断点；（B）可去间断点；（C）无穷间断点；（D）振荡间断点3曲线2yx与ln0yax a相切，则a（）（A）4e；（B）3e；（C）2e；（D）e4函数234( )(1)(2) (3) (4)f xxxxx的不可导点有（）个A）；（B）；（C）；（D）5设(0)0,(0)6ff，则220( )2()limxxfxf xx（）（A）6；（B）12；（C）6；（D）二、填空题（每小题3 分，共 15 分）1222111lim12nnnnn2. 2( )ln1f xx的驻点有个3设( )f x是可导的偶函数，则(0)f4设ln 12yx，则(0)ny5.曲线3221xyx的渐近线方程为。

三、计算题（每小题6 分，共 24 分）1201 ln(1)limsinxxexx；20121limarctanxxxxx3. 设( )0f x在xa处可导，n为正整数，求1()lim( )nnf anf a4 设( )p x是多项式，且320( )( )lim2,lim1xxp xxp xxx，求( )p x四、计算题（每小题6 分，共 24 分）1设( )f x可导，21sinyfxfx，求dy2( )yy x由方程261yexyx所确定，求(0)y3( )yy x由参数方程( )( )( )xftytftf t所确定（其中( )0ft） ，求22d ydx4 设22411xyx求( )( )nyx五、应用题（ 6 分）由直线0,8yx及抛物线2yx围成一个曲边三角形，在曲边上求一点P，使曲线在该点处的切线与直线0,8yx所围成的三角形面积最大六、 （8 分）已知24(1)2xyx，试求：（ 1）曲线( )yy x的单调区间及极值点；（ 2）曲线( )yy x的凹凸区间及拐点七、证明题（每小题4 分，共 8 分）1设( )f x在0 ,3上连续，在0,3内可导，且(0)(1)(2)3,(3)1ffff，求证：(0,3)使得( )0f。

2. 设2eabe，求证：2224lnlnbab ae期中试卷参考答案：一、选择题：D、B、C、B、A二、填空题：1、1；2、 1；3、0；4、2(1)!nn；5、2 .yx三、计算题1、222001 ln(1)limlim1.sinsinxxxexxxx2、2001211211limlim.arctan2L Hospitalxxxxxxxxx3、1()( )lim()()( )1()lim.( )nnfafannfafafanf aneef a4、依题意，03232( )21,0. .( )2.xp xxxaxbxabi ep xxxx四、计算题：1、221sin2sin.fxdyx fxdxx2、(0)0(0)02(0)062(0)0;6 22(0)2.yyyyyyeyyxyxyyeyeyyxyyxyy3、22( )( )( )1.( )( )dyfttftftd ytdxftdxft4、1131131141!.211211nnnnyynxxxx五、应用题：解：设 P 点坐标2( ,)x x，则切线方程为22012 ()816082Yxx XxSxxxx令1603dSxdx（唯一驻点） ，根据实际情况知，164096327S为所求。

六、计算题：344283xxyyxx1、(, 2)(0,);( 2,0);2, 3是极小点2、26(, 3),( 3,+);3,9凸凹是拐点七、证明题：1、证明：02020, 2max( ) ,min( )xxfCMf xmf x，使得(0)(1)(2)3fffmM由介值定理，0,2，使得( )1f对( )f x在,3上应用Rolle定理即可得证2、证明：令2( )lnf xx，对( )f x在, a b上应用Lagrange中值定理，222lnlnln.,*baa bba再令2222ln1 ln4( )( )0( ,)2 ( )2 ()xxg xg xxege egg exxe亦即2222224lnln4lnln.bababaebae。