泰勒公式及其在解题中的应用.doc

毕 业 设 计（论 文）题目：泰勒公式及其在解题中的应用Title: Taylor formula and its application in solving problems学 院：理学院专 业：信息与计算科学姓 名：罗书云学 号：08102209指导教师：蔡奇嵘 二零一二年六月The general staff (1 employees in addition to vice president, director, manager, deputy manager and special positions outside the contract period) to resign, to give 10 days notice, the project manager or department manager, administrative personnel department or relevant responsible person for the relevant visa after departure procedures; in addition to general staff personnel outside the contract period of turnover must submit the resignation report, a month ahead of schedule, the administrative personnel department, general manager of visa before separation procedures; probation employees shall pay in advance 5 resignation report, the project manager or department manager and administrative personnel department visa before departure; positive after special reasons did not sign a contract with reference to general employees Through the staff摘 要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求。

它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用，而且泰勒公式“化繁为简”的功能在数学领域的研究方面也起到了很大的作用文章除了介绍了带佩亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、判断函数极值上作求解证明外，特别地，对泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断、级数和广义积分敛散性判断、行列式计算等问题的应用上做了详细系统的介绍，并且本文讨论了一种新的证明泰勒公式的方法，进一步将泰勒公式推广到更一般的形式关键词：泰勒公式； 佩亚诺型余项； 拉格朗日型余项； 应用ABSTRACTTaylor's formula is an important part of mathematical analysis, the theory has become an indispensable tool of the research function limits and estimation error, which embodies the essence of calculus "approximation method", It have an unique advantage in the approximate calculation, it also can make complex issues into simplistic, non-linear problem into a linear problem, and can meet the very high accuracy requirements. It is the promotion of the mean value theorem in calculus, is also an important tool for the application of higher order derivatives of the functional state. Taylor formula in the calculus of the various fields have important applications, and the Taylor formula for complex simple "function in the mathematical field of research has played a significant role. This article in addition introdution Peano remainder and Lagrange remainder term of Taylor formula commonly used in approximate calculation, the limit inequality proof to determine the function extremum for solving prove, in particular, A detailed introduction of the Taylor formula in the application of the function bump and the inflection point judgment, the judgment of convergence and divergence of series and generalized integral, determinant calculation, and the article discusses a new method to prove that the Taylor formula, further Taylor formula to the more general form.Keywords: Taylor formula; Peano more than; Lagrange remainder; application目 录1. 绪论 11.1 综述 11.2 泰勒公式的研究背景 21.3 泰勒公式的研究意义 21.4 泰勒公式的研究目的 21.5 本论文所做的工作 31.6 本论文的基本思路与采用的方法 32. 泰勒公式 42.1 泰勒公式的建立 42.2 泰勒公式的定义 62.2.1 带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式 62.2.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式 73. 泰勒公式的新证明及其推广 83.1 罗尔中值定理的两种推广形式 83.2 泰勒公式的新证明 103.3 泰勒公式的推广 114. 泰勒公式在解题中的应用 154.1 利用泰勒公式求近似值 154.2 利用泰勒公式求极限 164.3 泰勒公式在判断级数和广义积分的敛散性中的应用 174.3.1 判断级数的敛散性 174.3.2 判断广义积分的敛散性 184.4 泰勒公式在判别函数的极值中的应用 194.5 泰勒公式在不等式证明中的应用 204.6 泰勒公式在判断函数凹凸性及拐点中的应用 224.6.1 判断函数凹凸性 224.6.2 判别函数拐点 244.7 泰勒公式在行列式计算方面的应用 24结论及展望 27致 谢 28参考文献 29东华理工大学毕业设计（论文） 绪论1. 绪 论1.1 综述十七世纪中叶，随着近代微积分的蓬勃发展，极限作为数学中的一个概念也就被明确地提了出来。

但是最初提出的极限概念是含糊不清的，相关的许多理论常常难以自圆其说，甚至自相矛盾极限理论的确立使得数学中出现了暂时混乱的局面，直到十九世纪才有了改善，首次给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克的数学家贝尔纳·波尔查诺，但对他来说有点遗憾的是，他的数学著作多半没有受到他同时代的人的重视，他的许多成果等到后来才被人们重新发现，但是此时功劳已经被别人抢占1820年，法国著名数学家柯西深度研究了极限定义，并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的全面的证明但柯西的极限定义中应用了描述性的语言“无限的趋近” “随意小”这些词汇，使得计算不够精确在这一点上后来德国数学家魏尔斯特拉斯先生给出了精确的“”方法，并且获得了圆满的解决至此，极限概念和极限理论才被完全地确定了下来由于近代微积分的蓬勃发展以及函数的极限的重要地位，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作，于是泰勒公式应运而生了泰勒公式的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求，泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用。

泰勒公式是18世纪英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的泰勒将函数展开成级数从而得到了泰勒公式对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点上存在直至阶的导数，则有即称为在点处泰勒公式众所周知， 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断级数和广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面1.2 泰勒公式的研究背景在数学史上，泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法1715年泰勒出版的《增量法及其逆》一书中载有现在微积分教程中以他名字命名的一元函数的幂级数展开公式，当时是他通过对格雷戈里—牛顿插值公式求极限而得到的但是他的成果被同时代的很多人所忽视，直到1755年，欧拉把泰勒级数应用于他的“微分学”时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位，泰勒也以函数的泰勒展开而闻名于后世泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也发挥了很大的作用关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估和近似值的计算等等。

虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但。