九年级上数学2412垂直于弦的直径 (2).ppt
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人教版九年级上册人教版九年级上册 问题问题: :你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗? ? 它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧弧的中点到弦的距离的中点到弦的距离) )为为7.2m7.2m，，你能求出赵州桥主你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ 由此你能得到圆的什么特性？ 由此你能得到圆的什么特性？ 可以发现：可以发现：圆是轴对称图形任何圆是轴对称图形任何一条直径所在直线都是它的对称轴．一条直径所在直线都是它的对称轴． 不借助任何工具，你能找到圆形不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗纸片的圆心吗? ? 如图如图,AB,AB是是⊙⊙O O的一条弦的一条弦, , 直径直径CD⊥AB, CD⊥AB, 垂足为垂足为E.E.你能发现图中有那些相等的线段你能发现图中有那些相等的线段和弧和弧? ? 为什么为什么? ?·OABCDE线段线段: AE=BE: AE=BE弧弧: AC=BC, AD=BD: AC=BC, AD=BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒ 垂径定理垂径定理垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧CD⊥ABCD⊥AB ∵ CD ∵ CD是直径，是直径，∴ AE=BE,∴ AE=BE,⌒⌒⌒⌒ AC =BC, AC =BC,⌒⌒⌒⌒AD =BD.AD =BD.·OABCDE•老师提示老师提示: :•垂径定理是圆中一个重要的定理垂径定理是圆中一个重要的定理, ,三种语言要相互转化三种语言要相互转化, ,形成整体形成整体, ,才能运用自如才能运用自如. . 下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？是是不是不是是是不是不是OEDCAB 垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心过圆心CD⊥ABCD⊥AB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD 1 1、如图，、如图，ABAB是是⊙⊙O O的直径，的直径，CDCD为弦，为弦，CD⊥ABCD⊥AB于于E E，则下列结论中，则下列结论中不成立不成立的是（的是（ ））A、、∠∠COE=∠DOEOE=∠DOEB、、CE=DECE=DEC、、OE=AEOE=AED、、BD=BCBD=BC⌒⌒ ⌒⌒·OABECD 2 2、如图，、如图，OE⊥ABOE⊥AB于于E E，若，若⊙⊙O O的半径为的半径为10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,则则AB=AB= cmcm。
·OABE解：解：连接连接OAOA，，∵ ∵ OE⊥ABOE⊥AB∴∴∴ AB=2AE=16cm∴ AB=2AE=16cm 3 3、如图，在、如图，在⊙⊙O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆，圆心心O到到AB的距离为的距离为3cm3cm，求，求⊙⊙O的半径·OABE解：解：过点过点O O作作OE⊥ABOE⊥AB于于E E，连接，连接OAOA∴∴∴∴即即⊙⊙O的半径为的半径为5 5cm.cm. 4 4、如图，、如图，CDCD是是⊙⊙O的直径，弦的直径，弦AB⊥CDAB⊥CD于于E E，，CE=1CE=1，，AB=10AB=10，求直径，求直径CDCD的长·OABECD解：解：连接连接OAOA，，∵ CD∵ CD是直径，是直径，OE⊥ABOE⊥AB∴ AE=1/2 AB=5∴ AE=1/2 AB=5设设OA=xOA=x，则，则OE=x-1OE=x-1，由勾股定理得，由勾股定理得x x2 2=5=52 2+(x-1)+(x-1)2 2解得：解得：x=13x=13∴ OA=13∴ OA=13∴ CD=2OA=26∴ CD=2OA=26即直径即直径CDCD的长为的长为26.26. 你能利用垂径定理解决求你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗赵州桥拱半径的问题吗? ? 37.4m7.2mABOCD¡关于弦的问题，关于弦的问题，常常需要常常需要过圆心作过圆心作弦的垂线段弦的垂线段，这是，这是一条非常重要的一条非常重要的辅辅助线助线。
¡圆心到弦的距离、圆心到弦的距离、半径、弦半径、弦构成构成直角直角三角形三角形，便将问题，便将问题转化为直角三角形转化为直角三角形的问题 ABOCD解：解：如图，用如图，用ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O O，半径为，半径为r.r.经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OCOC垂足为垂足为D D，与，与ABAB交于点交于点C C，则，则D D是是ABAB的中点，的中点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高. .∴ AB=37.4m∴ AB=37.4m，，CD=7.2mCD=7.2m∴ AD=1/2 AB=18.7m∴ AD=1/2 AB=18.7m，，OD=OC-CD=r-7.2OD=OC-CD=r-7.2∵ ∵ ∴∴解得解得r=27.9r=27.9（（m m））即即主桥拱半径约为主桥拱半径约为27.9m.27.9m.⌒⌒⌒⌒ 。
