第1章3几何概率.ppt

第四讲第四讲 几何概率几何概率 早在概率论发展初期，人们就认识到，早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的够的.请看演示请看演示 把等可能推广到无限个样本点场合把等可能推广到无限个样本点场合,人人们引入了们引入了几何概型几何概型. 由此形成了确定概率的由此形成了确定概率的另一方法另一方法——几何方法几何方法.几何概率几何概率一一.定义定义: 设有一个可度量区域设有一个可度量区域S（这个区域可以是（这个区域可以是二二. 直线区域、平面区域或空间区域），直线区域、平面区域或空间区域），向向三三. 区域内任意掷一质点区域内任意掷一质点M，此点落于，此点落于S内任内任四四. 一位置是等可能的，且落在一位置是等可能的，且落在S内任何子区内任何子区五五. 域域A上的可能性与上的可能性与A的度量（如长度，面的度量（如长度，面六六. 积，积，…）成正比，而与）成正比，而与A的位置和形状的位置和形状七七. 无关，无关，则这个试验称为几何概型试验；则这个试验称为几何概型试验；八八. 并定义并定义M落在落在A中的概率中的概率P（（A）为：）为：1．样本空间无限．样本空间无限——无限性；无限性； 2．每个样本点发生的可能性相同．每个样本点发生的可能性相同 ——等可能性。

等可能性特点：特点：请看演示请看演示会面问题会面问题例例1．（约会问题）甲、乙两人约定在．（约会问题）甲、乙两人约定在6点到点到7点之间在点之间在 某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟， 过时即可离去，求两人能会面的概率过时即可离去，求两人能会面的概率以以x, y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，则分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是：两人能够会面的充要条件是：|x－－y|≤15. 在平面在平面 上建立直角坐标系，如图上建立直角坐标系，如图则（则（x, y）的所有可能结果是边）的所有可能结果是边长为长为60的正方形，图中阴影表示的正方形，图中阴影表示可会面的时间可会面的时间 设设A=两人能会面，则两人能会面，则 解：解： 0 15156060yxy－－x＝＝15x－－y＝＝15例例2．甲、乙两人约定在下午．甲、乙两人约定在下午1点到点到2点之间到某车站乘公点之间到某车站乘公　　　　 共汽车，这段时间内有共汽车，这段时间内有4班公共汽车，发车时间分别班公共汽车，发车时间分别 为为1：：15，，1：：30，，1：：45，，2：：00。

如果规定见车就如果规定见车就 上，求两个人乘同一辆公共汽车的概率上，求两个人乘同一辆公共汽车的概率设甲、乙到达车站的时间分别为设甲、乙到达车站的时间分别为x, y 则则1≤x≤2, 1≤y≤2, 确定平面确定平面S，， 如图正方形，设如图正方形，设A=两人两人 乘同一辆公共汽车，则：乘同一辆公共汽车，则： A发生的充要条件是：发生的充要条件是： 两人到达时间两人到达时间x, y在同一在同一 发车区间，即阴影部分发车区间，即阴影部分 故故 P（（A））=4/16=1/4。

01122yx1.51.51.51.5解：解： 二二. 性质性质: 3．若．若 互斥，则：互斥，则： 古典概率的其他性质对几何概率也同样成立古典概率的其他性质对几何概率也同样成立1．对任意事件．对任意事件A，有，有0≤P（（A））≤1；；2．．P（（S））=1；；蒲丰投针试验蒲丰投针试验 法国科学家蒲丰于法国科学家蒲丰于1777年发现了随机年发现了随机投针的概率与圆周率投针的概率与圆周率π之间的关系，提供了之间的关系，提供了早期学者们用随机试验求早期学者们用随机试验求π 值的范例值的范例.请看演示请看演示第五讲第五讲 统计概率统计概率 下面我们从几个试验入手，揭示随机下面我们从几个试验入手，揭示随机事件一个极其重要的特征：事件一个极其重要的特征： 频率稳定性频率稳定性 在充分多次试验中，事件的频率总在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫这个性质叫做频率的稳定性做频率的稳定性. 频率稳定性频率稳定性请看下面的试验请看下面的试验掷硬币试验掷硬币试验掷骰子试验掷骰子试验高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验 频率在一定程度上反映了事件发生的频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小可能性大小. 尽管每进行一连串（尽管每进行一连串（n次）试次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的相当大，频率与概率是会非常接近的. 因此，因此，概率是可以通过频率来概率是可以通过频率来“测量测量”的的, 频率是概率的一个近似频率是概率的一个近似.频率频率概率概率 统计概率是以事件的频率具有稳定性为基统计概率是以事件的频率具有稳定性为基础的，下面先介绍事件频率的概念。

础的，下面先介绍事件频率的概念 一一.频率定义：频率定义：设设A为联系于某一试验的事件，将为联系于某一试验的事件，将二二. 试验在相同的条件下重复进行试验在相同的条件下重复进行n次，次，三三. 用用m表示表示A出现的次数，则比值出现的次数，则比值四四. m/n称为事件称为事件A的相对频率，的相对频率，五五. 记为记为fn(A),即即 一般情况下：一般情况下： ，只有当，只有当n充分大充分大时，频率才呈现出稳定性时，频率才呈现出稳定性 二二. 统计概率统计概率: 在一组固定条件下，重复做在一组固定条件下，重复做n次试验次试验 ，， 如果当如果当n增大时，事件增大时，事件A出现的频出现的频 率率fn(A)围绕着某一个常数围绕着某一个常数p摆动；而摆动；而 且一般说来，随着且一般说来，随着n的增大，这种摆的增大，这种摆 动的幅度越来越小，则称常数动的幅度越来越小，则称常数p为事为事 件件A的概率，即的概率，即 P（（A））=p。

此定义适合于一切类型的试验此定义适合于一切类型的试验， 当当n充分大时，频率作为概率的近似值，即充分大时，频率作为概率的近似值，即 ，足以满足实际需要足以满足实际需要 例例1．用某种药物对患有胃溃疡的．用某种药物对患有胃溃疡的512个病人进个病人进 行治疗，结果行治疗，结果368人有明显疗效，现有胃人有明显疗效，现有胃 溃疡病人预服此药，你能对其效果作何溃疡病人预服此药，你能对其效果作何 估计？估计？有明显效果的频率为：有明显效果的频率为： ，由统，由统计概率定义该患者服此药有明显效果的可计概率定义该患者服此药有明显效果的可能性为能性为0.72解：解： 定理：定理：事件频率具有如下性质：事件频率具有如下性质：1. 对任意事件对任意事件A，有，有 2．．3．若．若 为互不相容事件，为互不相容事件，则：则： 古典概率的其他性质对统计概率也同样成立古典概率的其他性质对统计概率也同样成立。

由概率是由概率是频率的数学抽象，可以推得率的数学抽象，可以推得统计概率概率具有如下性具有如下性质：：3. 若若 互不相容，互不相容，则1. 0≤P（A）≤1；2. P（S）=1； 第六讲第六讲 概率的公理化定概率的公理化定义义 在学习几何和代数时，我们已经知道在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础公理是数学体系的基础. 数学上所说的数学上所说的“公理公理”，就是一些不加证明而公认的前提，，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容一步的内容. 即即通过规定概率应具备的通过规定概率应具备的基本性质来定义概率基本性质来定义概率. 下面介绍用公理给出的概率定义下面介绍用公理给出的概率定义. 1933年，前苏联数学家柯年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的尔莫哥洛夫给出了概率的公理公理化定义化定义. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，极为简单， 但在此基础上建立起了概率论但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦的宏伟大厦.概率的公理化定义概率的公理化定义公理公理2 P(S)=1 —— 规范性规范性 　　　　 (2)　　公理公理3 若事件若事件A1, A2 ,… 互不相容，则有互不相容，则有　　　　 (3)这里事件个数可以是有限或无限的这里事件个数可以是有限或无限的 . ——可列可加性或完全可加性可列可加性或完全可加性公理公理1 P(A)≥ 0 —— 非负性非负性 　　　　　　(1) 设设E是随机试验，是随机试验，S是它的样本空间，对是它的样本空间，对于于S中的每一个事件中的每一个事件A，，赋予一个实数，记为赋予一个实数，记为P(A) ，，称为事件称为事件A的概率，如果集合函数的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理满足下述三条公理:推论推论1：： 证明：证明： 推论推论2：： 若 互不相容，则： 证明：证明： 证明：证明： 同理可证：同理可证：4. 推论推论5. 设设A、、B为任意俩事件，为任意俩事件， 则则P（（A－－B））=P（（A）－）－P（（AB）；）；推论推论6. (一般概率加法公式一般概率加法公式)对任意事件对任意事件A、、B有有 P（（A∪∪B））=P（（A））+P（（B）－）－P（（AB）；）；推论推论3：：0≤P（（A））≤1。

推广推广: P (A∪B∪C) =P (A) + P (B) + P (C) － P (AB) － P (AC) － P (BC) + P (ABC)；即即 古典概率的性质也是一般公理化概率的性质古典概率的性质也是一般公理化概率的性质古典概率、几何概率、统计概率都是公理化概率古典概率、几何概率、统计概率都是公理化概率的特殊情况，而公理化概率是它们的数学抽象的特殊情况，而公理化概率是它们的数学抽象总结：总结：1. 了解几何概率、统计概率、概率的公了解几何概率、统计概率、概率的公 理化定义；理化定义； 2. 会判定和计算几何概率会判定和计算几何概率例例1 设元件盒中装有设元件盒中装有50个电阻，个电阻，20个电感，个电感，30个电容，从盒中任取个电容，从盒中任取30个元件，求所取元个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率概率. 理解题意理解题意,用字母表示事件用字母表示事件电阻50个, 电容30个,电感20个…...导出所求事件概率导出所求事件概率的计算公式的计算公式所求概率为所求概率为P(AB)解解: 设设A={所取元件中至少有一电阻所取元件中至少有一电阻}B={所取元件中至少有一电感所取元件中至少有一电感} 代入数据计算代入数据计算电阻50个, 电容30个,电感20个…...从盒中任取从盒中任取30个元件，求所取元件中至少有个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率一个电阻同时至少有一个电感的概率. 设设Ai ={第第i封信装入第封信装入第i个信封个信封} i =1,2,3 A={没有一封信装对地址没有一封信装对地址} 某人将三封写好的信随机装入三个写某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？址的概率是多少？直接计算直接计算P(A)不易，我们先来计算不易，我们先来计算例例2配配对对问问题题 ={至少有一封信装对地址至少有一封信装对地址}则则代入计算代入计算 的公式中的公式中应用加法公式应用加法公式 于是于是推广到推广到n封信封信,用类似的方法可得用类似的方法可得:把把n 封信随机地装入封信随机地装入n个写好地个写好地址的信封中址的信封中, 没有一封信配对的没有一封信配对的概率为概率为:。